小学奥数几何计数道.docx
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小学奥数几何计数道
【题型】应用题
【题目】
用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?
【答案】
630
【解析】
把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：
最上一“层”只用了3根火柴；
从上向下数第二层用了3×2＝6根火柴；
从上向下数第三层用了3×3＝9根火柴；
……
从上向下数第20层用了3×20＝60根火柴．
所以，总共要用火柴3×（1+2+3+…+20）＝630根．
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?
【答案】
13975
【解析】
横放需1996×4根，竖放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．
【难度】
难度2
【知识点】几何计数
【题目】
图19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?
【答案】
121
【解析】
把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121个．
或直接数出有121个．
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-4，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？
【答案】
216
【解析】
如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：
1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×6＝216个．
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．
【答案】
100，10664
【解析】
确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．
于是横向线段有（1+2+3+4）＝10种选法，竖向线段也有（1+2+3+4）＝10种选法，则共有10×10＝100个长方形．
这些长方形的面积和为：
（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）＝124×86＝10664（平方厘米）．
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-6，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?
【答案】
36
【解析】
我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．
其中只占有下面一行的有如下12种情况：
于是共有12×3＝36个正、长方形包含“*”．
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
图19-7是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?
【答案】
130
【解析】
每个4×4正方形中有：
边长为1的正方形4×4个；边长为2的正方形3×3个；边长为3的正方形2×2个，边长为4的正方形1×1个．
总共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30个正方形．
现在5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×5－5×4＝130．
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
图19-8中共有多少个三角形?
【答案】
22
【解析】
边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．
【难度】
难度2
【知识点】几何计数
【题目】
图19-9是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?
【答案】
6
【解析】
设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，
边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；
因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．
【难度】
难度2
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?
【答案】
20
【解析】
图中共有三角形（1+2+3+4）×4＝40个，梯形（1+2+3+4）×（1+2+4）＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
在图19-1l中，共有多少个不同的三角形?
【答案】
85
【解析】
下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×2＝15个三角形，共计35×2+15＝85个三角形．
【难度】
难度5
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-12，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图19-13．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?
【答案】
11
【解析】
按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，
面积为1的正方形有5个，如图a所示；
面积为2的正方形有4个，如图b所示；
面积为4的正方形有1个，如图c所示；
还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；
于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-14，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?
【答案】
32
【解析】
我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：
（1）等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．
（2）直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．
（3）钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．
于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-15，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?
【答案】
200
【解析】
我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形．
所以有12×11×10÷6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．
所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200个不同的三角形．
【难度】
难度2
【知识点】几何计数
【题目】
如图19-16，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?
【答案】
12
【解析】
如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×3×2×1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是（7×6×5×4）÷24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．
对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．
正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．
所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．
那么需要排除的情况有4×3＝12种．
所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
数一数下列图形中各有多少条线段.
【答案】
15
【解析】
要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.
第一种：
按照线段的端点顺序去数，如上图
（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图
（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图
（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图
（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.
第二种：
按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图
（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？
首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：
AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？
按照基本线段多少的顺序是：
首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.
解：
①2＋1＝3（条）.
②3＋2＋1＝6（条）.
③4＋3＋2＋1＝10（条）.
小结：
上述三例说明：
要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：
线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
数出下图中总共有多少个角.
【答案】
10
【解析】
在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？
首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：
4＋3＋2＋1＝10（个）.
解：
4＋3＋2＋1＝10（个）.
小结：
数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
数一数下图中总共有多少个角？
【答案】
55
【解析】
因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.
所以总共有角：
10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
如下图中，各个图形内各有多少个三角形？
【答案】
（1）6
（2）10
【解析】
可以采用类似
例1数线段的两种方法来数，如图
（2）：
第一种方法：
先数以AB为一条边的三角形共有：
△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.
再数以AD为一条边的三角形共有：
△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.
以AE为一条边的三角形共有：
△AEF、△AEC二个三角形.
最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.
所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.
第二种方法：
先数图中小三角形共有：
△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.
再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：
△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，
以三个小三角形组合在一起的三角形共有：
△ABF、△ADC二个三角形，
最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.
所以图中三角形的个数总共有：
4+3+2+1=10（个）.
解：
①3+2+1=6（个）
②4+3+2+1=10（个）.
答：
图
（1）及图
（2）中各有三角形分别是6个和10个.
小结：
计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
如下图中，数一数共有多少条线段？
共有多少个三角形？
【答案】
60,30
【解析】
分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？
怎么数？
这样两个问题.数：
就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：
就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.
①要数多少条线段：
先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.
②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.
解：
①在△ABC中共有线段是：
（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）
②在△ABC中共有三角形是：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
如右图中，共有多少个角？
【答案】
13
【解析】
分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.
∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：
∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：
∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.
所以图中总共有角是：
4×3+1=13（个）.
解：
所以图中共有角是：
4×3+1=13（个）.
小结：
由本题可以推出一般情况：
若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n（n-1）+1.
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
在图中（单位：
厘米）：
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?
【答案】
100,12384
【解析】
①一共有
（个）长方形；
②所求的和是
（平方厘米）。
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
由20个边长为1的小正方形拼成一个
长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个，它们的面积总和是。
☆
【答案】
48,360
【解析】
含☆的一行内所有可能的长方形有：
（八种）
含☆的一列内所有可能的长方形有：
（六种）
所以总共长方形有
个，面积总和为
。
【难度】
难度3
【知识点】几何计数
【题目】
图中共有多少个三角形？
【答案】
118
【解析】
显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类
（1）最大的三角形1个（即△ABC），
（2）第二大的三角形有3个
（3）第三大的三角形有6个
（4）第四大的三角形有10个
（5）第五大的三角形有15个
（6）最小的三角形有24个
所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）
图中共有三角形2×59=118（个）。
【难度】
难度4
【知识点】几何计数
【题目】
一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
【答案】
55
【解析】
我们采用递推的方法．
I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．
Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个
点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。
Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：
①A1所在三角形的一个边所对的弧上；
②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．
在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．
如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；
如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法.
共有12种连法．
Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：
①9个点都在同一段弧上：
②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．
共有12×3+3×6+1＝55种．
所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。
【难度】
难度5
【知识点】几何计数
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