高中数学必修1 212 指数函数及其性质.docx

1、高中数学必修1 212 指数函数及其性质2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质.知识点一指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?答规定a大于0且不等于1的理由：(1)如果a0，当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义.(2)如果a0且a1.知识点二指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域：R值域：(0，)过点(0,1)，即x0时，y1当x0时，y1；当x0时

2、，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数题型一指数函数的概念例1给出下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是()A.0 B.1 C.2 D.4答案B解析中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数.中，底数20，不是指数函数.反思与感悟1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2.

3、求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.跟踪训练1函数y(2a23a2)ax是指数函数，求a的值.解由题意得解得a.a的值为.题型二指数函数的图象例2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A.ab1cd B.ba1dcC.1abcd D.ab1dc答案B解析方法一在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知cd1，ba1.ba1dc.方法二如图，作直线x1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知ba1dc.故选B.

4、反思与感悟无论指数函数的底数a如何变化，指数函数yax(a0，a1)的图象与直线x1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.跟踪训练2如图，若0a1，则函数yax与y(a1)x2的图象可能是()答案D解析0a1时，a10且a1)的图象变换：(1)平移变换：把函数yax的图象向左平移(0)个单位，则得到函数yax的图象；若向右平移(0)个单位，则得到函数yax的图象；若向上平移(0)个单位，则得到yax的图象；若向下平移(0)个单位，则得到yax的图象.即“左加右减，上加下减”.(2)对称变换：函数yax的图象与函数yax的图象关于y轴对称；函数yax的图象与

5、函数yax的图象关于x轴对称；函数yax的图象与函数yax的图象关于原点对称；函数ya|x|的图象关于y轴对称；函数y|axb|的图象就是yaxb在x轴上方的图象不动，把x轴下方的图象翻折到x轴上方.(3)一般的情形：函数y|f(x)|的图象由yf(x)在x轴上方图象与x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；函数yf(|x|)的图象由函数yf(x)在y轴右方图象与其关于y轴对称的图象合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.跟踪训练3(1)函数y|2x2|的图象是()(2)直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.答案(1)B(2)0

6、a解析(1)y2x2的图象是由y2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y|2x2|的图象是由y2x2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的.(2)当a1时，在同一坐标系中作出函数y2a和y|ax1|的图象(如图(1).由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解.当0a1时，作出函数y2a和y|ax1|的图象(如图(2).若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个交点，由图象可知02a1，所以0a.题型四指数型函数的定义域、值域例4求下列函数的定义域和值域：(1)y；(2)y；(3)y；(4)y4x2x11.解(1)由x40，得x4，故y的定义域为x|xR

7、，且x4.又0，即1，故y的值域为y|y0，且y1.(2)由12x0，得2x1，x0，y的定义域为(，0.由02x1，得12x0，012x1，y的值域为0,1).(3)y的定义域为R.x22x3(x1)244，416.又0，故函数y的值域为(0,16.(4)定义域为R.y4x2x11(2x)222x1(2x1)2，又2x0，y1，故函数的值域为y|y1.反思与感悟1.对于yaf(x)(a0，且a1)这类函数，(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域.2.求形如yAa2xBaxC类函数

8、的值域一般用换元法，设axt(t0)再转化为二次函数求值域.跟踪训练4(1)函数f(x)的定义域为()A.(3,0B.(3,1C.(，3)(3,0D.(，3)(3,1(2)函数f(x)x1，x1,2的值域为_.答案(1)A(2)，2解析(1)由题意，得自变量x应满足解得3x0.(2)1x2，x3，x12，值域为.换元时忽略新元范围致误例5求函数y()x()x1的值域.错解令t()x，则原函数可化为yt2t1(t)2，当t时，ymin，即函数的值域是，).正解令t()x，t(0，)，则原函数可化为yt2t1(t)2.因为函数y(t)2在(0，)上是增函数，所以y(0)21，即原函数的值域是(1，

9、).纠错心得凡换元时应立刻写出新元范围，这样才能避免失误.1.下列各函数中，是指数函数的是()A.y(3)x B.y3xC.y3x1 D.yx答案D解析由指数函数的定义知a0且a1，故选D.2.函数y()|x|的图象是()答案B解析因为y()|x|所以选B.3.函数y(a25a7)(a1)x是指数函数，则a的值为()A.2 B.3C.2或3 D.任意值答案B解析由指数函数的定义可得a25a71，解得a3或a2，又因为a10且a11，故a3.4.已知函数f(x)4ax1的图象经过定点P，则点P的坐标是()A.(1,5) B.(1,4)C.(0,4) D.(4,0)答案A解析当x10，即x1时，a

10、x1a01，为常数，此时f(x)415，即点P的坐标为(1,5).故选A.5.函数y的值域是_.答案(0,2解析x211，y12，又y0，函数值域为(0,2.1.指数函数的定义域为(，)，值域为(0，)，且f(0)1.2.当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.一、选择题1.若函数f(x)(a1)x在R上是指数函数，那么实数a的取值范围是()A.a0且a1 B.1a1且a2 D.a0答案C解析由题意得a10且a11，所以a1且a2.2.函数f(x)ax21(a0，且a1)的图象恒过定点()A.(2,0) B.(1,0)C.(0

11、，1) D.(1，2)答案A解析令x20，得x2，此时y110，所以图象恒过定点(2,0).3.y2x1的定义域是()A.(，) B.(1，)C.1，) D.(0,1)(1，)答案A解析不管x取何值，函数式都有意义，故选A.4.函数y823x(x0)的值域是()A.0,8) B.(0,8) C.0,8 D.(0,8答案A解析x0，x0，3x3，023x238，0823x0，a1)的图象可能是()答案D解析函数f(x)的图象恒过(1,0)点，只有图象D适合.6.已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A.3 B.1 C.1 D.3答案A解析依题意，f(a)f(1)212，2x0，a0，f(a)a12，故a3，选A.二、填空题7.指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_.答案1a2解析由题意可知，02a1，即1a2.8.函数y的值域为_.答案0,1)解析由3x0，得3x0，13x1，又13x0，所以0