高中数学必修1 212 指数函数及其性质.docx

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高中数学必修1212指数函数及其性质

2.1.2　指数函数及其性质

第1课时　指数函数的图象及性质

[学习目标]　1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质.

知识点一　指数函数的概念

一般地，函数y＝ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

思考　指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?

答　规定a大于0且不等于1的理由：

（1）如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义.

（2）如果a<0，如y＝（－2）x，对于x＝，，…时在实数范围内函数值不存在.

（3）如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.

知识点二　指数函数的图象和性质

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域：

R

值域：

（0，＋∞）

过点（0,1），即x＝0时，y＝1

当x＞0时，y＞1；

当x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；

当x＜0时，y＞1

在R上是增函数

在R上是减函数

题型一　指数函数的概念

例1　给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝（－2）x.其中，指数函数的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.4

答案　B

解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.

反思与感悟　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：

（1）底数a为大于0且不等于1的常数；

（2）指数位置是自变量x；（3）ax的系数是1.

2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.

跟踪训练1　函数y＝（2a2－3a＋2）·ax是指数函数，求a的值.

解　由题意得解得a＝.

∴a的值为.

题型二　指数函数的图象

例2　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（　　）

A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜c

C.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c

答案　B

解析　方法一　在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.

由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.

∴b＜a＜1＜d＜c.

方法二　如图，作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.

反思与感悟　无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与直线x＝1相交于点（1，a），由图象可知：

在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.

跟踪训练2　如图，若0

答案　D

解析　0

题型三　指数函数的图象变换

例3　已知f（x）＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f（x）的图象通过怎样的变化得到：

（1）y＝2x＋1；

（2）y＝2x－1；（3）y＝2x＋1；

（4）y＝2－x；（5）y＝2|x|.

解　

（1）y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移一个单位得到.

（2）y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到.

（3）y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到.

（4）∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象.

（5）∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象.

反思与感悟　指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象变换：

（1）平移变换：

把函数y＝ax的图象向左平移φ（φ>0）个单位，则得到函数y＝ax＋φ的图象；若向右平移φ（φ>0）个单位，则得到函数y＝ax－φ的图象；若向上平移φ（φ>0）个单位，则得到y＝ax＋φ的图象；若向下平移φ（φ>0）个单位，则得到y＝ax－φ的图象.即“左加右减，上加下减”.

（2）对称变换：

函数y＝a－x的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于x轴对称；函数y＝－a－x的图象与函数y＝ax的图象关于原点对称；函数y＝a|x|的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象就是y＝ax－b在x轴上方的图象不动，把x轴下方的图象翻折到x轴上方.

（3）一般的情形：

①函数y＝|f（x）|的图象由y＝f（x）在x轴上方图象与x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；②函数y＝f（|x|）的图象由函数y＝f（x）在y轴右方图象与其关于y轴对称的图象合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.

跟踪训练3　

（1）函数y＝|2x－2|的图象是（　　）

（2）直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是________.

答案　

（1）B　

（2）0＜a＜

解析　

（1）y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的.

（2）当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象（如图

（1））.由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解.当0＜a＜1时，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象（如图

（2））.若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个交点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜.

题型四　指数型函数的定义域、值域

例4　求下列函数的定义域和值域：

（1）y＝；

（2）y＝；（3）y＝；

（4）y＝4x＋2x＋1＋1.

解　

（1）由x－4≠0，得x≠4，

故y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠4}.

又≠0，即≠1，

故y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}.

（2）由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，

∴y＝的定义域为（－∞，0].

由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，

∴y＝的值域为[0,1）.

（3）y＝的定义域为R.

∵x2－2x－3＝（x－1）2－4≥－4，

∴≤－4＝16.

又∵＞0，

故函数y＝的值域为（0,16].

（4）定义域为R.

∵y＝4x＋2x＋1＋1＝（2x）2＋2·2x＋1＝（2x＋1）2，

又2x>0，∴y>1，故函数的值域为{y|y>1}.

反思与感悟　1.对于y＝af（x）（a＞0，且a≠1）这类函数，

（1）定义域是使f（x）有意义的x的取值范围；

（2）值域问题，应分以下两步求解：

①由定义域求出u＝f（x）的值域；

②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.

2.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t（t>0）再转化为二次函数求值域.

跟踪训练4　

（1）函数f（x）＝＋的定义域为（　　）

A.（－3,0]

B.（－3,1]

C.（－∞，－3）∪（－3,0]

D.（－∞，－3）∪（－3,1]

（2）函数f（x）＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________.

答案　

（1）A　

（2）[－，2]

解析　

（1）由题意，得自变量x应满足

解得∴－3＜x≤0.

（2）∵－1≤x≤2，∴≤x≤3，∴－≤x－1≤2，∴值域为.

换元时忽略新元范围致误

例5　求函数y＝（）x＋（）x＋1的值域.

错解　令t＝（）x，

则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝（t＋）2＋≥，

当t＝－时，ymin＝，

即函数的值域是[，＋∞）.

正解　令t＝（）x，t∈（0，＋∞），

则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝（t＋）2＋.

因为函数y＝（t＋）2＋在（0，＋∞）上是增函数，

所以y>（0＋）2＋＝1，即原函数的值域是（1，＋∞）.

纠错心得　凡换元时应立刻写出新元范围，这样才能避免失误.

1.下列各函数中，是指数函数的是（　　）

A.y＝（－3）xB.y＝－3x

C.y＝3x－1D.y＝x

答案　D

解析　由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.

2.函数y＝（）|x|的图象是（　　）

答案　B

解析　因为y＝（）|x|＝所以选B.

3.函数y＝（a2－5a＋7）（a－1）x是指数函数，则a的值为（　　）

A.2B.3C.2或3D.任意值

答案　B

解析　由指数函数的定义可得a2－5a＋7＝1，

解得a＝3或a＝2，

又因为a－1>0且a－1≠1，故a＝3.

4.已知函数f（x）＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是（　　）

A.（－1,5）B.（－1,4）

C.（0,4）D.（4,0）

答案　A

解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f（x）＝4＋1＝5，即点P的坐标为（－1,5）.故选A.

5.函数y＝的值域是________.

答案　（0,2]

解析　∵x2－1≥－1，

∴y＝≤－1＝2，

又y＞0，∴函数值域为（0,2].

1.指数函数的定义域为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞），且f（0）＝1.

2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.

一、选择题

1.若函数f（x）＝（a－1）x在R上是指数函数，那么实数a的取值范围是（　　）

A.a>0且a≠1B.1

C.a>1且a≠2D.a>0

答案　C

解析　由题意得a－1>0且a－1≠1，所以a>1且a≠2.

2.函数f（x）＝ax＋2－1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　）

A.（－2,0）B.（－1,0）

C.（0，－1）D.（－1，－2）

答案　A

解析　令x＋2＝0，得x＝－2，此时y＝1－1＝0，所以图象恒过定点（－2,0）.

3.y＝2x－1的定义域是（　　）

A.（－∞，＋∞）B.（1，＋∞）

C.[1，＋∞）D.（0,1）∪（1，＋∞）

答案　A

解析　不管x取何值，函数式都有意义，故选A.

4.函数y＝8－23－x（x≥0）的值域是（　　）

A.[0,8）B.（0,8）C.[0,8]D.（0,8]

答案　A

解析　∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，

∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，

∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8）.

5.函数f（x）＝ax－（a>0，a≠1）的图象可能是（　　）

答案　D

解析　函数f（x）的图象恒过（－1,0）点，只有图象D适合.

6.已知函数f（x）＝若f（a）＋f

（1）＝0，则实数a的值等于（　　）

A.－3B.－1C.1D.3

答案　A

解析　依题意，f（a）＝－f

（1）＝－21＝－2，

∵2x＞0，∴a≤0，∴f（a）＝a＋1＝－2，故a＝－3，

∴选A.

二、填空题

7.指数函数y＝（2－a）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.

答案　1＜a＜2

解析　由题意可知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.

8.函数y＝的值域为________.

答案　[0,1）

解析　由3x>0，得－3x<0，∴1－3x<1，

又1－3x≥0，所以0≤<