长春师范高等专科学校单招数学模拟试题及答案docx.docx

1、长春师范高等专科学校单招数学模拟试题及答案docx2016长春师范高等专科学校单招数学模拟试题及答案选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1 .下列各式中，值为f的是()A . 2sin 15： cosl5 B . cos215： 一sin215：C 2sin215-l D . sin215 + cos2152.如图，ABCD-A.B.CD,为正方体，下面结论错误的 女是( )(A) BD/平面 CBQ(B ) AC】丄 BD(C) AC】丄平面CBQ(D )异面直线4D与CB、所成的角为603 在等比数列” ( /2WN* )中，

2、若q =1,4 ，则该数歹啲前10项和为(OA 若a, b与a所成的角相等，则a/bB .若 a/ a . b/ f3 , a0 ,则 a/bC.若 aua , b u (3 , a/ b 则 a / (3D.若a丄or , b丄0 , a丄0，贝Jd丄b6如果双曲线于I上-点P到双曲线右焦点的距离是2 ,那么点P到y轴的距 离是( )7.设是1-d和1 +。的等比中项,则a + 4b的最大值为(A . 1 B . 3 C . V5A . /(X)= 3v B /(x) = sinx8.给出下列三个等式：/(xy) = /(%) + /() , f(x+y) = f(x)f(y) t 站沪吿號

3、下列函数中不满足其中但I等式的是()C . /(x) = log2 x D /(x) = tan x9 .在棱长为1的正方体ABCQ-A0CQ中，E, F分别为棱3目的中点z G为棱3上的一点z且AG = 2(0 W 2 W 1).则点G到平面DE卜的距离为( )d-t10.已知抛物线y = -F+3上存在关于直线x+y = 0对称的相异两点A、B，则 等于( )(A) 3 (B)4 (0)32 ( D) 4a/2二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题 号后的横线上.11 .数列的前斤项和为S若严,则55等于 n(n + l)12.若向量馮的夹角为60 ,

4、a = b =，则a (a-b).2 213以双曲线罕-2- = 1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程4 5是14 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1 ,2,3,则此球的表面积为.15.已知正方形ABCD ,则以A, B为焦点,且过C, D两点的椭圆的离心率为=.解答题：本大题共6小题，共75分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)设锐角三角形的内角A, B, C的对边分别为巧bf c, 6/ = 2&sinA(I )求3的大小；(II )若a = 3壬,c = 5 ，求力17.(本小题满分12分)如图,在底面为

5、平行四边形的四棱锥P-ABCD中,丄AC , PA丄平面ABCD ,且PA = AB ,点E是PD的中点.(I )求证：AC丄PB ；(n )求证:PB/平面AEC ；(m )求二面角E-AC-B的大小18.(本小题满分12分)设数列aH的前n项和为Sn=2n2 , bn为等比数列，且=b,b2(a2 -)=也.(I )求数列匕和仇的通项公式；(n )设c” =),求数列的前n项和T19.(本小题满分13分)已知函数f(x) = x2 +- (2 0 ,常数owR) X2(1 )当。=1时，解不等式.f(x) X(2 )讨论函数/(x)的奇偶性，并说明理由；20.(本小题满分13分)如图，一载

6、着重危病人的火车从0地岀发，沿射线OA行驶，其中tga = *,在距离0地5日(日为正数)公里北偏东B角的N处住有一位医学专家，其中 sinp=丄,现有110指挥部紧急征调离0地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与0B 围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时(1 )求S关于p的函数关系；(2 )当p为何值时，抢救最及时.21.(本小题满分13分)椭圆的中心是原点0,它的短轴长为22 ,相应于焦点F ( c , 0 ) ( c 0 )的准线/ 与x轴相交于点A , |0F|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两

7、点.(I)求椭圆的方程及离心率；(H )若丽页=0 ,求直线PQ的方程；(in)设乔=2元(兄1 ),过点p且平行于准线/的直线与椭圆相交于另一点m , 证明:而二-久甩.参考答案_、选择题1、B 2、D 3、B 4、D 5、D 6、A 7、C 8、B 9、D 10、C二填空题11. - 12、- 13、 y2 =12x 14、13龙 15、72-16 2三、解答题16、解:2由 ABC为锐角三角形得B = Z 6分6(n )根据余弦定理,得X = a2 +c2-2gccosB =27 + 25-45 =7 .所以，b = 4i 12分(I )由a = 2bsinA ,根据正弓玄定理得sin

8、A = 2sinBsinA ,所以sin B二丄z17. ( I ) tPA丄平面 ABCDAB是PB在平面ABCD上的射影又TAB 丄 AC z ACu 平面 ABCD ,/.AC丄 PB 3 分(口)连接BD ,与AC相交于0 ,连接E0otABCD是平等四边形，0是BD的中点，又E是PD的中点,/.EOIIPB又PB(Z平面AEC , EOu平面AEC ,.PBll 平面 AEC。 7 分 b(m)取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为(-,-,0) ,OG= (0,-,0)2 2 2* b b X0E = (0-,-),AC = (t/,0,0).-.oeac = o,6g-ac =

9、oOE 丄 AC , OG ACzEOG是二面角E-AC-B的平面角。 cos EOG = cos =/.ZEOG = 13518.解：（1 ）：当 =1 时,纠=&=2;当 n2 时宀=S”S“_i =2宀 2（If =%-2,故禺的通项公式为= 4h - 2,即色是d|= 2,公慕 =4的等差数歹!J.设Q/?的通项公式为g,贝Ub、qd = b, = 4,. q = *.1 2故仇f 严2x占，即仮的通项公式为hn = 5分（）严牛二写= （21）4二b.、 丄 Tn =c, +q+ + c“ =1 + 3x4* +5x4? + + (2-1)4心, 47； =lx4 + 3x42 +5

10、x4? + + (2 3)4_ +(2“ 1)4两式相减得37； = 1 一 2(屮 + 4? + 牟 + + 4,_1) + (2/2 -1)4“ = |(6/?- 5)4“ + 5 7*伽-5)4+5. 12分(2)当“0时，/，x e (-00, 0)U(0, + oo) , /(-x) = (-x)2 =x2 =/(x) , /(兀)为偶函数.当 dHO 时，f(x) = x2+ AO),取兀=1，得 /(_1)+ /(1) = 2h0, /(-l)-/(l) = -2a0 ,20、解：(1 )以0为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系,则 fOA : , = 3x设 N (也/比)z

11、.-.Xo =5asin/3 = 3a y0 = 5a cos /? = 4a :. N(3a,4a) 又B(P/0) ,直线BC的方程为：尸出 (x_p)3a- p由得C的纵坐标)卫(# ,.尸上j-p) c 3p-5d 33ci 一 p3p 5a 3(2 )由(1 )得 6卯2卯 5 /.5 = 26/ + + /3 5广 5、P 3( ) 9/ 3 3当且仅当心空，即心竺此时防丛时，上式取等号，当巴。公里时,抢救9/ 3 3 3最及时. 13分21、( I )解：由题意，可设椭圆的方程为4 + = l(tzV2).由已知得 a 2a -c2 = 2, 2 2 q2 解得。=亦，C = 2所以椭圆的方程为+ = 1，离心率 c = 2(- - C). 6 2. C(n )解：由(1 )可得A ( 3 , 0 ).设直线PQ的方程为y = k(x-3).由方程组 I = 11，解得X2= 因F(2, O),M(X|, y),2几古攵FM=(X-2, )=(几(兀23) + 1, 一必)=一久%) J 1 而 FQ = (x2 - 2, y2)=(-,儿)，所以 FM =-A,FQ.2 A 13分4 .如图，正四棱柱4BCD-A/CQ中，AA = 2AB ,则异面直线4/与所成 角的余弦值为( ) D