长春师范高等专科学校单招数学模拟试题及答案docx.docx
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2016长春师范高等专科学校单招数学模拟试题及答案
选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各式中，值为f的是（）
A.2sin15：
cosl5B.cos215：
一sin215：
C・2sin215°-lD.sin215°+cos215°
2.如图，ABCD-A.B.CD,为正方体，下面结论错误的女
是（）
（A）BD//平面CBQ
（B）AC】丄BD
（C）AC】丄平面CBQ
（D）异面直线4D与CB、所成的角为60°
3•在等比数列{"”}（/2WN*）中，若q=1,4，则该数歹啲前10项和为（
O
A•若a,b与a所成的角相等，则a//b
B.若a//a.b//f3,a〃0,则a//b
C.若aua,bu（3,a//b'则a//（3
D.若a丄or,b丄0,a丄0，贝［Jd丄b
6•如果双曲线于『I上-点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（）
7.设"是1-d和1+。
的等比中项,则a+4b的最大值为（
A.1B.3C.V5
A./（X）=3vB•/（x）=sinx
8.给出下列三个等式：
/（xy）=/（%）+/（>）,f（x+y）=f（x）f（y）t站沪吿號’下列函数中不满足其中但I等式的是（）
C./（x）=log2xD•/（x）=tanx
9.在棱长为1的正方体ABCQ-A0CQ中，E,F分别为棱
3目的中点zG为棱£3上的一点z且
AG=2（0W2W1）.则点G到平面D]E卜的距离为（）
d-t
10.已知抛物线y=-F+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则等于（）
（A）3（B）4（0）3^2（D）4a/2
二填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11.数列｛①｝的前斤项和为S「若①严―^—,则55等于
n（n+l）
12.若向量馮的夹角为60°,a=b=\，则a（a-b）.
22
13•以双曲线罕-2-=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程
45
是
14•一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,
2,3,则此球的表面积为.
15.已知正方形ABCD,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为
=.解答题：
本大题共6小题，共75分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
设锐角三角形的内角A,B,C的对边分别为巧bfc,6/=2&sinA・
（I）求3的大小；
（II）若a=3壬,c=5，求力・
17.（本小题满分12分）
如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,丄AC,PA丄平面
ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
（I）求证：
AC丄PB；
（n）求证:
PB//平面AEC；
（m）求二面角E-AC-B的大小
18.（本小题满分12分）
设数列｛aH｝的前n项和为Sn=2n2,｛bn｝为等比数列，且=b｝,b2（a2-^）=也.
（I）求数列｛匕｝和仇｝的通项公式；
（n）设c”=）,求数列｛"｝的前n项和T®
19.（本小题满分13分）
已知函数f（x）=x2+-（20,常数owR）・X
2
（1）当。
=1时，解不等式.f（x）>—
X
（2）讨论函数/（x）的奇偶性，并说明理由；
20.（本小题满分13分）
如图，一载着重危病人的火车从0地岀发，沿射线OA行驶，其中
tga=*,在距离0地5日（日为正数）公里北偏东B角的N处住有一位医学专家，其中sinp=丄,现有110指挥部紧急征调离0地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医
学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与0B围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时•
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时.
21.（本小题满分13分）
椭圆的中心是原点0,它的短轴长为2^2,相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线/与x轴相交于点A,|0F|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（I）求椭圆的方程及离心率；
（H）若丽•页=0,求直线PQ的方程；
（in）设乔=2元（兄〉1）,过点p且平行于准线/的直线与椭圆相交于另一点m,证明:
而二-久甩.
参考答案
_、选择题
1、B2、D3、B4、D5、D6、A7、C8、B9、D10、C
二填空题
11.-12、-13、y2=12x14、13龙15、72-1
62
三、解答题
16、解:
2
由△ABC为锐角三角形得B=Z6分
6
（n）根据余弦定理,得X=a2+c2-2gccosB=27+25-45=7.
所以，b=4i12分
（I）由a=2bsinA,根据正弓玄定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB二丄z
17.（I）tPA丄平面ABCD
•••AB是PB在平面ABCD上的射影
又TAB丄ACzACu平面ABCD,
/.AC丄PB3分
（口）连接BD,与AC相交于0,连接E0o
tABCD是平等四边形，
•••0是BD的中点，
又E是PD的中点,
/.EOIIPB
又PB（Z平面AEC,EOu平面AEC,
.•.PBll平面AEC。
7分
‘•b
（m）取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为（-,-,0）,OG=（0,-,0）
222
—*bb—►
X0E=（0--,-）,AC=（t/,0,0）
.-.oeac=o,6g-ac=o
••・OE丄AC,OG±AC
••・zEOG是二面角E-AC-B的平面角。
••cosEOG=cos<0E,0G>=
/.ZEOG=135°
18.
解：
（1）：
当〃=1时,纠=&=2;
当n>2时宀=S”—S“_i=2宀2（—If=%-2,
故｛禺｝的通项公式为=4h-2,即｛色｝是d|=2,公慕〃=4的等差数歹!
J.
设｛Q/?
｝的通项公式为g,贝Ub、qd=b,=4,「.q=*.
12
故仇f严—2x占，即仮｝的通项公式为hn=5分
（"）"严牛二写=（2—1）4二
b.、丄
・•・Tn=c,+q+・・・+c“=[1+3x4*+5x4?
+・・・+（2〃-1）4心],47；=[lx4+3x42+5x4?
+…+（2〃—3）4"_+（2“—1）4"]
两式相减得
37；=—1一2（屮+4?
+牟+…+4,,_1）+（2/2-1）4“=|[（6/?
-5）4“+5]•••7>*[伽-5）4〃+5].
12分
（2）当“0时，/⑴"，
xe（-00,0）U（0,+oo）,/（-x）=（-x）2=x2=/（x）,/（兀）为偶函
数.当dHO时，f（x）=x2+—A^O）,
取兀=±1，得/（_1）+/
（1）=2h0,/（-l）-/（l）=-2a^0,
20、解：
（1）以0为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系,
则fOA:
>,=3x
设N（也/比）z.-.Xo=5asin/3=3ay0=5acos/?
=4a:
.N（3a,4a）又B（P/0）,••・直线BC的方程为：
尸出（x_p）
3a-p
由得C的纵坐标）"卫」（#〉％,.•・
尸上j-p）c3p-5d3
3ci一p
3p—5a3
（2）由
（1）得6卯—2卯5/.5=26/[/+—+—]>—/
•35广5、"—P3（）9/33
当且仅当心空，即心竺此时防丛时，上式取等号，•••当"巴。
公里时,抢救
9/333
最及时.
13分
21、（I）解：
由题意，可设椭圆的方程为4+—=l（tz>V2）.由已知得a2
a-c2=2,22
=亦，C=2所以椭圆的方程为—+—=1，离心率c=2（---C）.62
.C
（n）解：
由
（1）可得A（3,0）.设直线PQ的方程为y=k（x-3）.由方程组
I=1
<62'得（3/+l）x2-1肿x+27/-6=0依题意4=12（2-3疋）〉0,得
y=k（x-3）
一¥V2V¥•设P（"l，X），Q（“2，『2），则兀1+兀2=3/1~+]7①
所以直线PQ的方程为x-V5y-3=0或x+^5y-3=07分
（m）证明:
AP=（x}-3,y）,AQ=（x2-3,y2）.由已知得方程组X|—3=2（兀2—3）,
5A-1
注意几>1，解得X2=——•因F（2,O）,M（X|,—y）,
2几
古攵FM=（X]-2,—）\）=（几（兀2—3）+1,—一必）=一久%）•
—>J—1・
而FQ=（x2-2,y2）=（—-,儿），所以FM=-A,FQ.
2A
13分
4.如图，正四棱柱4BCD-A/CQ中，AA=2AB,则异面直线4/与所成角的余弦值为（）D}
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