二次函数中的等腰三角形问题doc.docx

1、二次函数中的等腰三角形问题doc二次函数与等腰三角形的点存在性问题适用学科数学适用年级初三适用区域北师大版课时时长（分钟）120知识点1.二次函数综合2.等腰三角形的性质3等腰三角形的判定4.相似三角形的性质5.勾股定理6.二次函数解析式的确定教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2. 灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题教学过程L二次函数的基础知识2. 等腰三角形的性质3. 相似三角形的性质二知识讲解考点1二次函数的基础知识1.一般地,如果y=ax2+bx+c （a rbzc是常数且aO ），那么y叫做x的二次函数,它

2、是 关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是 二次函数的重要依据.当b=c=O时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数.2.二次函数y=ax2+bx+c （ a , b , c是常数，aHO ）的三种表达形式分别为：一般式：y二ax?+bx+c ,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式:y=a（x-h）2+k ,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:y=a（x-xi）（x-x2）r 通常要知道图像与x轴的两个交点坐标xi M才能求出此解析式；对于y二ax4bx+c而言, b 4gc b， 其顶点坐标为（亍，一 ）对于y=a

3、（ x - h ） 2+k而言其顶点坐标为（h , k ）,2a 4a由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点.考点2等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两个底角度数相等（简写成等边对等角）。2. 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成等腰三角形的三 线合）。3. 等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4. 等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5. 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。&等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7. 等腰三角

4、形是轴对称图形,（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴”顶角平分线所 在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8. 等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9. 等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。考点3相似三角形的性质1. 相似三角形对应角相等，对应边成正比例。2. 相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、夕卜接圆半径、内切圆半 径等）的比等于相似比。3相似三角形周长的比等于相似比。4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。5相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接

5、圆面积比是相 似比的平方6若a/b =b/c ,即b2=ac , b叫做a,c的比例中项7. c/d=a/b 等同于 ad = bc.8. 不必是在同一平面内的三角形里(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例.(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3) 相似三角形周长的比等于相似比三.例题精析【例题1如图，抛物线y二t x2+y- x4与x轴相交于点A、B ,与y轴相交于点C ,抛物线的 对称轴与x轴相交于点M。P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直 线上)。分别过点A、B作直线C P的垂线,垂足分别为D、E ,连接MD、ME。(1) 求

6、点A、B的坐标(直接写出结果)，并证明MDE是等腰三角形；(2) aMDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标，若不能，说明理由；(3) 若将P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)改为 P是抛物线在x轴下方的一个动点，其他条件不变，D E能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标(直接写出结果)，若不能，说明理由。【答案】(1)抛物线解析式为y=卫x2+聖x4 ,令y二0 ,5 5即-Jx2+ x 4二 0 ,解得 x=l 或 x=5 , .A (1,O),B(5,O).5 5/AD丄PC , BE丄PC , /.ADII BE , /.zMAF=zMBE ;

7、在“AMF与aBME 中,zMAF=zMBE , MA=MBzzAMF=zBME ;/.AMFBME ( ASA), ME二MF，即点M为RfEDF斜边EF的中点,.*.MD = ME ,即aMDE是等腰三角形(2 )能;抛物线解析式为y=-上X?+型X4二上(x3 ) 2+兰，5 5 5 5対称轴是直线x=3, M(3ZO);令 x=0,得 y=4,.C(0, -4)MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形；1 若DE丄EM ,由DE丄BE,可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，由DE丄BE ,可知点E只能与点0重合，即直线PC与y轴重合,不符合题意，故此种

8、情况不存在；2 若DE丄DM ,与同理可知，此种情况不存在；设直线PC与对称轴交于点N ,tEM丄DM , MN丄AM # /.zEMN=zDMA在aADM 与公NEM 中，zEMN=zDMA , EM = DM,zADM=zNEM = 135 ;.ADM妥aNEM (ASA),.MN二MA抛物线解析式为y=按+单X4二譚(x3 ) 2+芈，故对称轴是直线x=3 ,5 5 5 5/.M (3,0), MN = MA=2 # N (3,2)设直线PC解析式为y二kx+b八点N(3,2),C(0,4)在抛物线上，严：2 ,解得 k=2 , b= - 4 , .*.y=2x - 4b= - 4 将y

9、=2x4代入抛物线解析式得2x-4=-次+单x45 5解得x=0或,2当x=0时，交点为点C;当x二丄时，y=2x - 4=32.叫，3)综上所述,MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为(g，3 )乙(3 )能;如答题3所示”设对称轴与直线PC交于点N ；与(2 )同理，可知若WDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M ;/MD丄ME , MA丄MN r /.zDMN=zEMB在eMN 与MB 中，zDMN=zEMB , MD = MB,zMDN=zMEB=45 ;.DMN 呂 aEMB ( ASA),.MN二MB ;N ( 3 , 2 )设直线PC解析式为y二kx+b点N (3,2),C

10、(0,4 )在抛物线上，3k+b二-2 o o二 ，解得1諾小二4,.二禺42-4 3 3将y=_2x4代入抛物线解析式承x - 4=-上x2+型x - 4 ,3 3 5 5解得x=0或x二卑，6当x=0时，交点为点C;当x二里 时z y=x - 4= -总6 3 9.p( 31 _ 5 综上所述，AMDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为(牟，- 2 )6 9【解析】(1)在抛物线解析式中，令y二0 ,解一元二次方程,可求得点A、点B的坐标;如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形AAMFBME ,得到点M为为RfEDF斜边EF 的中点，从而得到MD=MEZ问题得证；(2 )首先分析，若aM

11、DE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M ;如答图2所示，设直 线PC与对称轴交于点N ,首先证明aADMNEM ,得到MN=AM ,从而求得点N坐标 为(3,2);其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式;最后联立直线PC与抛物 线的解析式，求出点P的坐标；(3)当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与(2)完全相同；【例题2如图，已知抛物线y=a+bx+c与x轴一个交点A的坐标为(-1,0),对称轴为直线%=2 .(1) 求抛物线与x轴的另一个交点3的坐标；(2) 点Q是抛物线与p轴的交点,点U是抛物线上的另一点.已知以力3为一底边的梯形/3G的面积为9 .求此抛物线的解析式，

12、并指出顶点F的坐标;(3 )点P是(2 )中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为f秒1 当r为秒时，PAD的周长最小?当r为 或 秒时,PAD是以ZQ为腰的等腰三角形？(结果保留根号)2 点P在运动过程中，是否存在一点P.使乡I。是以力Q为斜边的直角三角形？若存在, 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)由抛物线的轴对称性及A (1,0 ),可得B ( -3,0).(2 )设抛物线的对称轴交CD于点M ,交AB于点N , 由题意可知AB II CD ,由抛物线的轴对称性可得CD二2DM . */MNlly 轴，ABllCD ,

13、四边形ODMN是矩形.DM 二ON二2 r .CD二2x2二4 .A( 1,O),B( 3 0), AB二2 #.梯形ABCD的面积二丄(AB+CD )OD二9 ,乙/.y = X2+4x + 3 PAD是以将 y 二 X2+4X+3 化为顶点式为 y=(x+2)2-l/ 得 E ( 2 , -1).(3 )当t为2秒时，aRAD的周长最小；当t为4或4 旋或4+侗少时,AD为腰的等腰三角形 vzAPD=90 , zPMD=zPNA=90 , /.zPDM+zAPN=90 , zDPM+zPDM二90。r /.zPDM=zAPN , vzPMD=zANP,APN-aPDM ,.AN=PN 1

14、_PN.PN2 3PN+2二0 ,.PN = 1 或 PN=2 .P(2,1)或(-2Z2).故答案为：2 ; 4或4低或4+旋.【解析】(1)根据抛物线的轴对称性可得抛物线与X轴的另一个交点B的坐标；(2 )先根据梯形ABCD的面积为9 ,可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式, 转化为顶点式可求顶点E的坐标；(3 )根据轴对称最短路线问题的求法可得 PAD的周长最小时t的值;根据等腰三角 形的性质可分三种情况求得 PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值；先证明，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标.四.课堂运用【基础】如图，二次函数y=ax+bx+c的图象的顶点U的

15、坐标为(0,-2),交x轴于4 B两点，其中4(1,0),直线/：小/77(力 1)与x轴交于Do(1) 求二次函数的解析式和夕的坐标；(2) 在直线/上找点P(P在第一象限)，使得以只D、3为顶点的三角形与以5 C O 为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含力的代数式表示)；(3 )在(2 )成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使弘Q是以P为 直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由。力点的坐标为力(2,0).(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;(2 )求点U的坐标，连接/4C 3U并求线段所在直线的解析式；(3 )试判断/OU与UO3是

16、否相似？并说明理由;(4 )在抛物线的对称轴上是否存在点Q.使为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由【拔高】如图，已知抛物线经过A ( 1,0),8(0,3)两点，对称轴是x二1 .(1)求抛物线对应的函数关系式；(2 )动点Q从点0岀发，以每秒1个单位长度的速度在线段0A上运动，同时动点M从 M从0点岀发以每秒3个单位长度的速度在线段0B上运动，过点Q作x轴的垂线交线段 AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； aAON能否为等腰三角形？若能,求出t的值；若不能，请说明理由.课程小结本节课主要硏究了二次函数和等腰三角形

17、的点存在性问题，考查了学生是否能够灵活运用二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点解决实际问题，注重数形结合思想及分类思想的运用。课后作业【基础】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=abx-2与x轴交于点0)、3(4,0).点M、/V在x轴上，点/V在点右侧，MN=2以M/V为直角边向上作等腰直角三角形CMN,乙CMN=90。设点M的横坐标为m .(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.(2 )求点U在这条抛物线上时m的值.(3 )将线段GV绕点/V逆时针旋转90。后z得到对应线段DN.1 当点Q在这条抛物线的对称轴上时，求点Q的坐标

18、.2 以QA/为直角边作等腰直角三角形DNE,当点F在这条抛物线的对称轴上时,直接写出所有符合条件的加值.【参考公式：抛物线尸屁+bx + c (丟0 )的顶点坐标为(丄严)】 2a 4。【巩固】如图，直线y = 3x + 3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点 C ( 3,0 ).(1)求抛物线的解析式；在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使MBQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.【拔高】 已知抛物线与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点如图,设它的顶点为B 求力的值；(2)过Z作x轴的平行线,交抛物线于点U,求证是是等腰直角三角形；将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线且与x轴的左半轴交于F点，与y轴 交于F点,如图.请在抛物线U上求点P,使得是以FF为直角边的直角三角形.