二次函数中的等腰三角形问题doc.docx
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二次函数中的等腰三角形问题doc
二次函数与等腰三角形的点存在性问题
适用学科
数学
适用年级
初三
适用区域
北师大版
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数综合2.等腰三角形的性质3•等腰三角形的判定
4.相似三角形的性质5.勾股定理6.二次函数解析式的确定
教学目标
1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2.灵活运用数形结合思想
教学重点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题
教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题
教学过程
L二次函数的基础知识
2.等腰三角形的性质
3.相似三角形的性质
二知识讲解
考点1二次函数的基础知识
1.一般地,如果y=ax2+bx+c（arbzc是常数且a^O），那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当b=c=O时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，aHO）的三种表达形式分别为：
一般式：
y二ax?
+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式:
y=a（x-h）
2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:
y=a（x-xi）（x-x2）r通常要知道图像与x轴的两个交点坐标xiM才能求出此解析式；对于y二ax4bx+c而言,b4gc—b，—
其顶点坐标为（■亍，一）・对于y=a（x-h）2+k而言其顶点坐标为（h,k）,
2a4a
由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：
开口方向，对称轴，顶点.
考点2等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成"等边对等角"）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成〃等腰三角形的三线合）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
&等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形,（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴”顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形的腰与它的高的关系
直接的关系是：
腰大于高。
间接的关系是：
腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3相似三角形的性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、夕卜接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6若a/b=b/c,即b2=ac,b叫做a,c的比例中项
7.c/d=a/b等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面内的三角形里
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
三.例题精析
【例题1]
如图，抛物线y二・tx2+y-x・4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M。
P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）。
分别过点A、B作直线CP的垂线,垂足分别为D、E,连接MD、ME。
（1）求点A、B的坐标（直接写出结果），并证明^MDE是等腰三角形；
（2）aMDE能否为等腰直角三角形？
若能，求此时点P的坐标，若不能，说明理由；
（3）若将"P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）"改为"P是抛物线在x轴下方的一个动点"，其他条件不变，DE能否为等腰直角三角形？
若能，求此时点P的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。
【答案】
（1）抛物线解析式为y=・卫x2+聖x・4,令y二0,
55
即-Jx2+^x・4二0,解得x=l或x=5,...A（1,O）,B（5,O）.
55
/AD丄PC,BE丄PC,/.ADIIBE,/.zMAF=zMBE;
在“AMF与aBME中,zMAF=zMBE,MA=MBzzAMF=zBME;
/.^AMF^BME（ASA）,
••ME二MF，即点M为RfEDF斜边EF的中点,
.*.MD=ME,即aMDE是等腰三角形
（2）能;
抛物线解析式为y=-上X?
+型X・4二•上（x・3）2+兰，
5555
••対称轴是直线x=3,M（3ZO）;
令x=0,得y=・4,.・.C（0,-4）
△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形；
1若DE丄EM,
由DE丄BE,可知点E、M、B在一条直线上，
而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE丄BE,可知点E只能与点0重合，即直线PC与y轴重合,
不符合题意，故此种情况不存在；
2若DE丄DM,与①同理可知，此种情况不存在；
设直线PC与对称轴交于点N,
tEM丄DM,MN丄AM#/.zEMN=zDMA
在aADM与公NEM中，zEMN=zDMA,EM=DM,zADM=zNEM=135°;
.•.△ADM妥aNEM（ASA）,「.MN二MA
抛物线解析式为y=・按+单X・4二譚（x・3）2+芈，故对称轴是直线x=3,
5555
/.M（3,0）,MN=MA=2#
••N（3,2）
设直线PC解析式为y二kx+b八•点N（3,2）,C（0,・4）在抛物线上，
严：
2,解得k=2,b=-4,.*.y=2x-4
b=-4将y=2x・4代入抛物线解析式得2x-4=-次+单x・4
55
解得x=0或,
2
当x=0时，交点为点C;当x二丄时，y=2x-4=3
2
.叫，3）
综上所述,^MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（g，3）
乙
（3）能;
如答题3所示”设对称轴与直线PC交于点N；
与
（2）同理，可知若WDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M;
•/MD丄ME,MA丄MNr/.zDMN=zEMB
在eMN与"MB中，zDMN=zEMB,MD=MB,zMDN=zMEB=45°;
••.△DMN呂aEMB（ASA）,
「.MN二MB;
「•N（3,・2）
设直线PC解析式为y二kx+b「点N（3,・2）,C（0,・4）在抛物线上，
3k+b二-2oo
二，解得1＜諾小二・4,."二禺・4
2-433
将y=_2x・4代入抛物线解析式承x-4=-上x2+型x-4,
3355
解得x=0或x二卑，
6
当x=0时，交点为点C;当x二里时zy=^x-4=-总
639
.p（31_5\
综上所述，AMDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（牟，-2）
69
【解析】
（1）在抛物线解析式中，令y二0,解一元二次方程,可求得点A、点B的坐标;
如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形AAMF^BME,得到点M为为RfEDF斜边EF的中点，从而得到MD=MEZ问题得证；
（2）首先分析，若aMDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M;如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N,首先证明aADM^NEM,得到MN=AM,从而求得点N坐标为（3,2）;其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式;最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标；
（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与
（2）完全相同；
【例题2]
如图，已知抛物线y=a^+bx+c与x轴一个交点A的坐标为（-1,0）,对称轴为直线%=
・2.
（1）求抛物线与x轴的另一个交点3的坐标；
（2）点Q是抛物线与p轴的交点,点U是抛物线上的另一点.已知以力3为一底边的梯形
/3G的面积为9.求此抛物线的解析式，并指出顶点F的坐标;
（3）点P是
（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E
向上运动.设点P运动的时间为f秒・
1当r为—秒时，'PAD的周长最小?
当r为或秒时,'PAD是以ZQ为腰
的等腰三角形？
（结果保留根号）
2点P在运动过程中，是否存在一点P.使△乡I。
是以力Q为斜边的直角三角形？
若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）由抛物线的轴对称性及A（・1,0）,可得B（-3,0）.
（2）设抛物线的对称轴交CD于点M,交AB于点N,由题意可知ABIICD,由抛物线的轴对称性可得CD二2DM.*/MNlly轴，ABllCD,
•••四边形ODMN是矩形.
.•.DM二ON二2r••.CD二2x2二4.
•・A（・1,O）,B（30）,••・AB二2#
•.梯形ABCD的面积二丄（AB+CD）・OD二9,
乙
/.y=X2+4x+3•
△PAD是以
将y二X2+4X+3化为顶点式为y=（x+2）2-l/得E（・2,-1）.
（3）①当t为2秒时，aRAD的周长最小；当t为4或4•旋或4+侗少时,
AD为腰的等腰三角形・vzAPD=90°,zPMD=zPNA=90°,/.zPDM+zAPN=90°,zDPM+zPDM二90。
r/.zPDM=zAPN,vzPMD=zANP,
•••△APN-aPDM,
.AN=PN
・1_PN
.\PN2・3PN+2二0,
••.PN=1或PN=2.
.・.P（・2,1）或（-2Z2）.
故答案为：
2;4或4・低或4+旋.
【解析】
（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与X轴的另一个交点B的坐标；
（2）先根据梯形ABCD的面积为9,可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式,转化为顶点式可求顶点E的坐标；
（3）①根据轴对称•最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值;根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值；
②先证明，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标.
四.课堂运用
【基础】
如图，二次函数y=ax^+bx+c的图象的顶点U的坐标为（0,-2）,交x轴于4B两点，
其中4（・1,0）,直线/：
小/77（力＞1）与x轴交于Do
（1）求二次函数的解析式和夕的坐标；
（2）在直线/上找点P（P在第一象限），使得以只D、3为顶点的三角形与以5CO为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含力的代数式表示）；
（3）在
（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△弘Q是以P为直角顶点的等腰直角三角形？
如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由。
力点的坐标为力（・2,0）.
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
（2）求点U的坐标，连接/4C3U并求线段所在直线的解析式；
（3）试判断△/OU与△UO3是否相似？
并说明理由;
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q.使为等腰三角形？
若不存在，求出符合条
件的Q点坐标；若不存在，请说明理由•
【拔高】
如图，已知抛物线经过A（1,0）,8（0,3）两点，对称轴是x二・1.
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点0岀发，以每秒1个单位长度的速度在线段0A上运动，同时动点M从M从0点岀发以每秒3个单位长度的速度在线段0B上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②aAON能否为等腰三角形？
若能,求出t的值；若不能，请说明理由.
课程小结
本节课主要硏究了二次函数和等腰三角形的点存在性问题，考查了学生是否能够灵活运用二
次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、相似三角形的性质、等腰
三角形的性质等知识点解决实际问题，注重数形结合思想及分类思想的运用。
课后作业
【基础】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a^bx-2与x轴交于点0）、3（4,0）.点
M、/V在x轴上，点/V在点〃右侧，MN=2・以M/V为直角边向上作等腰直角三角
形CMN,乙CMN=90。
・设点M的横坐标为m.
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式.
（2）求点U在这条抛物线上时m的值.
（3）将线段GV绕点/V逆时针旋转90。
后z得到对应线段DN.
1当点Q在这条抛物线的对称轴上时，求点Q的坐标.
2以QA/为直角边作等腰直角三角形DNE,当点F在这条抛物线的对称轴上时,
直接写出所有符合条件的加值.
【参考公式：
抛物线尸屁+bx+c（丟0）的顶点坐标为（丄严"）】2a4。
【巩固】
如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于
另一点C（3,0）.
（1）求抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使MBQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条
件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
【拔高】已知抛物线与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点
如图,设它的顶点为B⑴求力的值；
（2）过Z作x轴的平行线,交抛物线于点U,求证是是等腰直角三角形；
⑶将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线「且与x轴的左半轴交于F点，与y轴交于F点,如图.请在抛物线U上求点P,使得是以FF为直角边的直角三角形.
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