相似三角形的面积问题题型总结+答案.docx

1、相似三角形的面积问题题型总结+答案相似三角形的有关面积问题复习引入：求三角形而积常用方法1、 面积公式:2、 等髙法：3、 相似三角形:【精选例题】【例题】如图，平行四边形ABCD中，AE:EB=2:3,则S APESCPD=解答:4:25。【例题】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线, 且BE=EF=FDZ求S AMH: S忖训边形ABCD的值。解答：Y平行四边形ABCD ABCD, AD/BC BMEA DAE, DHF心 BMF BM： DA=BE: DEzDH: BM=DF: BF BE=EF=FDz所以 BE： DE=DF: BF=I: 23 AD=2BMzBM=2DHWAD=4D

2、Hz. AH=-AD43 AMHZS fpkj;ABCD= G8变式：如图，在平行四边形ABCD中 AE:EB=2:3.则厶AEF和厶CDF的周长比 解答：.四边形ABCD是平行四边形,. AB=CD,AB/CD, Z EAF=Z DCF, Z AEF=Z CDF, /. A AEF CDF,AEF 的周长： CDF 的周长=AE： CD=2: 5变式：如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:3, BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的而积为 答案T四边形ABCD是平行四边形，AD=CBZCBADzBCAB. DEF- AEB, DE:AB=2:3, DE:AE

3、=2:5 . S DEF:SAAEB=4:25,T BEF的面积为4,SAAEB二25, S hi边形 ABFD=SAAEB-SA DEF=21,TAD=CB, DE:AD二2:3, /. DEBC=23.ABCD, /. BEF CDF,二 Sa DEF:SACBF=49 A S CBF=9,.,.S 平行Pa边影ABCD=S 円边形 ABFD+S CBF=21+9=30【例题】如图,EEFFMMBC,若 AE=EF=FIVI=MB,则 SA AEExSNgEEIHF:S啊边形FFiWM:SN奶MMlCB 为 答案:设SA AEEI=X. EEFF1. AEEI- AFF1 （平行于三角形一

4、边的宜线和其它两边（或两边的延长线）相交,所构成的 三角形与原三角形相似） WAEE = 竺（相似三角形而积比等于对应边的平方比）SSAF F； AF2 AE=EF/. = l SAEE =I . S AFFl= 4x . SlfQ边形 EElFIF=3x AF 2 SsAFFy 4同理可得 S wmFFMM= 5x S UQ边形MMICB二 IX/. SA AED:S JM边形 EEIFIF:S Wi4 FFIMIM:S 曲边形 MMiCB=1:3:5:7变式：如图，在 ABC中，FG/DE/AB,且AF=FG=CGo设 ABC被分成的三部分的面积分别为S“ S?和求 Si: S2： S3C

5、解答：F G为AC边上的三等分点,D、E为AB边上的三等分点 AF： AG： AC=I: 2： 3T FD/EG/BC 八 SCFG: S CDE： S CAB=I: 4： 9, . SI： S2： S3=l: 3： 5变式：如图，DE/FG/BC,设ZkABC被分成的三部分的而积分别为S1,S2,S3,且SI二S2=S3,则AD:DF:FB二 答案： S1=S2, Sa ADE:SAAFG=4:2,. DE2:FG2=1:2, . DE:FG=l:%/2 :同理，DE:BC=1：a/3, DE： FG： BC=I: 2 : 3 o【例题】如图：在梯形ABCD中,AD/BCBC=2AD,对角线

6、AC与BD相交于点0,把4 ABOz BCO, CODz DOA 的面积分别记作S1,S2,SXS4,则下列结论中,正确的是（）a ON:MN=2:3, 2S AOB=S OBCzS2=2S1.同理 S2=2S3./. S2=2S1=2S3=4S4变式:如图表示一个梯形两条对角线相交于一点，则图中面枳相等的三角形共有（）o【例题】如图，点D、E、F分别是 ABC三边上的中点若 ABC的而积为12cm则厶DEF的而积为 cm2.答：点D. E、F分别是AABC三边上的中点，DF、DE、EF为 ABC的中位线， ABCS DEF,相似比为1:2,所以而积比为1:2,SABC: S DEF=4:1=

7、12:SaDEF S DEF=3cm2变式：如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D, E, F,得ADEE若 ABC的边长为a.（1） DEF与厶ABC相似吗?如果相似，相似比是多少?分别求出这两个三角形的面积。(3)这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系？解答：TD、E.F分别是 ABC的边AB、BCX Ae的中点，. DE=丄ACDF=丄BC,EF=丄AB,22 2T等边三角形ABCCDEf是等边三角形CDEF与 ABC相似,相似比是丄，2 1 3 3 , 1 1 3 3 7(2)S ABC= a a= Cr , SA DEF= -a CI = X 2 2 4 2 2 4 16两个三角

8、形的而积比为1:4,边长之比为1:2,三角形的而积比等于边长之比的平方 变式：厨房角柜的台而是三角形，如图，如果把各边中点的连线所国成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分)，其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的而积与白色大理石而积的比是 答案：1:3.【例题】如图，点D和E分别在 ABC的边AB、AC上，若S ADE=4 jS BCE=24f求S BDEo解答：设 S BDE=X,则设 S ABE=X+4. AE:AC=(X+4):(X+28)(髙相等的三角形面积之比等于底长之比。 DE/BCSDE(AE C 4 十 + 仃SXXBC AC) x +28 lx + 28S BDE=8变式：

9、如图点DE分别在 ABC的边AB、AC上jDEBC.若 S ADE=2,S BCE=7.5,求 SA BDE：(2)若 S BDE=m,S BCEf求 SA ABC(用 m、n 表示)解答：设 S BDE=X./. S ADE： SaBDE=ADQB, /. S ABE:Sa BCE=AEiEC . DE/BG AD:DB=AE:EC,V SADE=2,S BCE=7.5, . 2:x=(X+2):7.5,解得:1=-5(K2=3, A S BDE=3:(2)由知 S ADE:SA BDE=S ABE:SA BCE,设 SADE=X S BDE=m,S BCE=n, . y:m=(y+m):n

10、,In解得y =n 一 mIr：.S ABC= m + n + = n 一 Irl H 一 In【例题】如图用松ABC中上C=90o ,AC=4, BC=3,D是AC边上的一个动点,DEAB交BC于E,设CD=x, BDE 的面积为y.(1)当X=I时，直接写岀CE的长；求y关于X的解析式：填空：当X=时， BDE的而积有最大值，最大值是解答:(I)*/ DE/AB, CDEA CAB, . CD:CA=CE:CB,3T CD, AC=4, BC=3, /. 1:4=CE:3. CE=-:43C 3 CD:CA=CE:CB, A x： 4=CE: 3,. CE=-X, . BE=BC-CE=3

11、-X ,443 3 3 3 3“飞七古2)近，.当旦时QBDE的面积有最大值,最大值% 变式:如图，矩形EFGH内接于AABC, E、H分别在AB、AC上,F、G在BC, AD丄BC,交EH于点P, BC=24, AD二&EH:HG二9:5,求矩形EFGH的而积。答案：如图，设矩形的边长EF=5x,则FG=9x,V四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，.EHBC, EH=FG,又TAD丄BC,贝IJ ID=5x, AI=ADID, . EH:BC= Al:ADBC=24 9x24= 8-5x8 ,解得，x=l,即 5x=5 /. S EFGH =EFxFG=59=45.答：矩形EFGH的而积

12、为45【例题】如图， ABC中，AD/BC.联结CD交AB于点E,且AE:EB=I:3,过点E作EF/BC,交AC于点F,SAADE=2,求 S BCE 和 SA AEFO解答：设AADE BCE. ACE. ABC. AEF 的而积分別为；入、. . p、 T EF/BC/AD. ADE BCE,=Zj ,而2=2cm2, AE:EB二 1:3,“ be) /=18cm 即 S BCE=I8：/ /:/=AE:BE=I:3,. =6 ABC 的面积/7=6+18=24,3综上所述求S BCE和S AEF的值分别为18Cm - cm2.2变式:如图所示，已知AB/EF/CD,若AB=a, CD

13、=b, EF=c,求证：V 1 1 11） - = + :Cab2）找岀SSABD . SBED . S1BCD之间的关系，并证明你的结论.解答：I)/ AB/EF/CD DEFMDAB BEF沁BCD 9EF 二 DF EF 二 BF篦=丽 CD = BD/2)证明:AB/EF/CD.DE DFBEBFDE I BE IDB/BC一 BD-AD+BC = i.S厶BDE _ DESABDEiE SW)卜 SMoE SbBCDSZUBD虫匕SBCD一卜；（SbABD111S WBD SbBCD S BDE其他：IX如图,DE/BCAD:BD=I:2,则AADE与 ABC的而积之比是 I答案：1

14、：932、如图G是AABC的重心，直线/过A点与BC平行若直线CG分別与AB、/交于D. E两点，直线BG与AC交于F点，贝J AED的而积:四边形ADGF的而积=_3:2 :SMiF : SMBF 鈿 J 4:10:253、如图，在ABCD中，E为CD上一点，DE：CE = 2：3,连结AE. BE、BD,且AE、BD交于点F,则解答：由题意得厶DFES厶BFA DE:AB二2:5, DF:FB=2:5 SA DEF:SA EBF:SA ABF二4:10:25.4、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ZiADE, BE、CE分别交AD于G、H,设 CDH、 GHE的面积分别为 sS2,则_3

15、S1 = 2S2_O解答：作EF垂直于AD则厶EFH- CDH,又T EF:CD=EF:AD=73 :2, S EHF:SI=3:4T EGH为等腰三角形怠ABG=SbS2=2SAEFH, 3S1=2S25、如图，已知平行四边形ABCD, CE=丄BC, S AFD=I6cm2 ,则S CEF=_4cm2_,平行四边形ABCD的而积 248cm2o6、如图，点M是厶ABC内一点，过点M分别作直线平行于 ABC的各边所形成的三个小三角形厶 2、 /图中阴影部分）的面积分别是4, 9和49贝J ABC的而积是144解答：过M作BC的平行线交AB、AC于D.E,过M作AC的平行线交AB、BC于 F.

16、H,过Ivl作AB的平行线交AC、BC于I. G,V 1. 2. A3的面积比为4:9:49, 他们对应边边长的比为2:3:7, 又T四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形,DM=BGt EM=CH, 设 DM 为 2x,则 ME=3x, GH=7x,：.BC=BG+GH+CH=DM+GHME=2+3+7x=12. BC:DM=12x:2x=6:l,由面积比等于相似比的平方故可得出：SAABC:SAFDM=36:1, 所以 SA ABC=36S FDM=364=144.7、如图，在AABC中，中线BD与CE相交于O点，SAADE=1,贝IJSmBCDE二 解答：中线BD与CE相交于O点点EQ分别为AB.AC的中点，ED是厶ABC的中位线.EDBC, ED= - BC2/. A AED 的周长： ABC 的的周长=1:2,. SAED: S ABC=I:4 SAED=1 SAABC=4 S 四边形 BCDE=S ABC -S AED=4-1=3