相似三角形的面积问题题型总结+答案.docx
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相似三角形的面积问题题型总结+答案
相似三角形的有关面积问题
复习引入：
求三角形而积常用方法
1、面积公式:
2、等髙法：
3、相似三角形:
【精选例题】
【例题】如图，平行四边形ABCD中，AE:
EB=2:
3,则SδAPE≡SδCPD=
解答:
4:
25。
【例题】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线,且BE=EF=FDZ求SδAMH:
S忖训边形ABCD的值。
解答：
Y平行四边形ABCD…∙∙AB∕∕CD,AD//BC
・•・△BME〜ADAE,△DHF〜心BMF
・•・BM：
DA=BE:
DEzDH:
BM=DF:
BF
・・•BE=EF=FDz所以BE：
DE=DF:
BF=I:
2
3
・•・AD=2BMzBM=2DH^WAD=4DHz∕.AH=-AD
4
3
・・AMHZS∙f⅛pk⅛j∣;ABCD=—G
8
变式：
如图，在平行四边形ABCD中∙AE:
EB=2:
3.则厶AEF和厶CDF的周长比
解答：
∙.∙四边形ABCD是平行四边形,.∙.AB=CD,AB//CD,
・•・ZEAF=ZDCF,ZAEF=ZCDF,/.AAEF〜△CDF,
•••△AEF的周长：
ΔCDF的周长=AE：
CD=2:
5・
变式：
如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:
AB=2:
3,ΔBEF的面积为4,则平行四边形
ABCD的而积为・
答案T四边形ABCD是平行四边形，・•・AD=CBZCB∕∕ADzBC∕∕AB.∙.△DEF-△AEB,•・•DE:
AB=2:
3,・•・DE:
AE=2:
5>.β.SδDEF:
SAAEB=4:
25,
T∆BEF的面积为4,・•・SAAEB二25,
・•・Shi边形ABFD=SAAEB-SADEF=21,
TAD=CB,DE:
AD二2:
3,/.DEBC=23∙
∙.∙AB∕∕CD,/.∆BEF^δCDF,二SaDEF:
SACBF=49ASδCBF=9,
.,.S平行Pa边影ABCD=S円边形ABFD+S°CBF=21+9=30
【例题】如图,EE√∕FF√∕MM√∕BC,若AE=EF=FIVI=MB,则SAAEExSNgEEIHF:
S啊边形FFiWM:
SN奶MMlCB为答案:
设SAAEEI=X
∙.∙EE√∕FF1.∙.ΔAEEI-∆AFF1（平行于三角形一边的宜线和其它两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似）•・・WAEE=竺（相似三角形而积比等于对应边的平方比）
SSAFF；AF2
•・•AE=EF/.∆∆=l・•・S^AEE∖=I.・・SδAFFl=4x.∙.SlfQ边形EElFIF=3xAF2SsAFFy4
同理可得Sw⅛mFFιMιM=5xSUQ边形MMICB二IX
/.SAAED:
SJM边形EEIFIF:
SWi4®FFIMIM:
S曲边形MMiCB==1:
3:
5:
7
变式：
如图，在ΔABC中，FG//DE//AB,且AF=FG=CGo设ΔABC被分成的三部分的面积分别为S“S?
和
求Si:
S2：
S3C
解答：
∙∙∙F∖G为AC边上的三等分点,D、E为AB边上的三等分点
・•・AF：
AG：
AC=I:
2：
3
TFD//EG//BC八SδCFG:
SδCDE：
SδCAB=I:
4：
9,.β.SI：
S2：
S3=l:
3：
5
变式：
如图，DE//FG//BC,设ZkABC被分成的三部分的而积分别为S1,S2,S3,且SI二S2=S3,则AD:
DF:
FB二答案：
∖∙S1=S2,・・SaADE:
SAAFG=4:
2,
.β.DE2:
FG2=1:
2,.β.DE:
FG=l:
%/2:
同理，DE:
BC=1：
a/3,ΛDE：
FG：
BC=I:
√2:
√3o
【例题】如图：
在梯形ABCD中,AD∕/BCBC=2AD,对角线AC与BD相交于点0,把4ABOzΔBCO,ΔCODzΔDOA的面积分别记作S1,S2,SXS4,则下列结论中,正确的是（）a
・•・ON:
MN=2:
3,・•・2SδAOB=SδOBCzS2=2S1.同理S2=2S3./.S2=2S1=2S3=4S4
变式:
如图表示一个梯形两条对角线相交于一点，则图中面枳相等的三角形共有（）o
【例题】如图，点D、E、F分别是△ABC三边上的中点•若△ABC的而积为12cm∖则厶DEF的而积为cm2.
答：
•••点D.E、F分别是AABC三边上的中点，
••・DF、DE、EF为ΔABC的中位线，
∙∙∙δABCSδDEF,相似比为1:
2,所以而积比为1:
2,
SδABC:
SδDEF=4:
1=12:
SaDEF>SδDEF=3cm2・
变式：
如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D,E,F,得ADEE若△ABC的边长为a.
（1）∆DEF与厶ABC相似吗?
如果相似，相似比是多少?
⑵分别求出这两个三角形的面积。
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系？
解答：
⑴TD、E.F分别是ΔABC的边AB、BCXAe的中点，.∙.DE=丄ACDF=丄BC,EF=丄AB,
222
T等边三角形ABCCDEf是等边三角形CDEF与△ABC相似,相似比是丄，
2
…1√3√3,11√3√37
（2）SδABC=—×a×a=Cr,SADEF=—×-a×CI=X・
22422416
⑶两个三角形的而积比为1:
4,边长之比为1:
2,三角形的而积比等于边长之比的平方变式：
厨房角柜的台而是三角形，如图，如果把各边中点的连线所国成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影
部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的而积与白色大理石而积的比是・
答案：
1:
3.
【例题】
如图，点D和E分别在ΔABC的边AB、AC上，若SδADE=4jSδBCE=24f求SδBDEo
解答：
设S∆BDE=X,则设S∆ABE=X+4
.∙.AE:
AC=（X+4）:
（X+28）（髙相等的三角形面积之比等于底长之比。
DE//BC
S^DE（AE^C4十+仃
SXXBC∖AC）x+28lx+28>
SδBDE=8
变式：
如图"点D・E分别在ΔABC的边AB、AC上jDE∕∕BC.
⑴若SδADE=2,SδBCE=7.5,求SABDE：
（2）若SδBDE=m,S∆BCEf求SAABC（用m、n表示）・
解答：
⑴设S∆BDE=X./.SδADE：
SaBDE=ADQB,/.SδABE:
SaBCE=AEiEC∙.∙DE//BG・•・AD:
DB=AE:
EC,
VSδADE=2,SδBCE=7.5,.∖2:
x=（X+2）:
7.5,解得:
×1=-5（⅜K×2=3,ASδBDE=3:
（2）由⑴知SδADE:
SABDE=SδABE:
SABCE,设SδADE=½XSδBDE=m,S∆BCE=n,.β.y:
m=（y+m）:
n,
In
解得y=——
n一m
Ir
：
.SδABC=m+n+=
n一IrlH一In
【例题】如图用松ABC中上C=90o,AC==4,BC=3,D是AC边上的一个动点,DE∕∕AB交BC于E,设CD=x,ΔBDE的面积为y.
（1）当X=I时，直接写岀CE的长；
⑵求y关于X的解析式：
⑶填空：
当X=—时，ΔBDE的而积有最大值，最大值是
解答:
（I）*/DE//AB,・•・△CDE〜ACAB,.β.CD:
CA=CE:
CB,
3
TCD",AC=4,BC=3,/.1:
4=CE:
3・.β.CE=-:
4
3C3
⑵•・•CD:
CA=CE:
CB,Ax：
4=CE:
3,・β.CE=-X,.∖BE=BC-CE=3--X,
44
33333
⑶“飞七―古2）近，.••当旦时QBDE的面积有最大值,最大值%•变式:
如图，矩形EFGH内接于AABC,E、H分别在AB、AC上,F、G在BC±,AD丄BC,交EH于点P,BC=24,AD二&
EH:
HG二9:
5,求矩形EFGH的而积。
答案：
如图，设矩形的边长EF=5x,则FG=9x,
V四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，
.∙.EH∕∕BC,EH=FG,
又TAD丄BC,贝IJID=5x,AI=AD∙ID,.∙.EH:
BC=Al:
ADBC=24
•••9x24=8-5x8,
解得，x=l,即5x=5∙/.S⅛^EFGH=EFxFG=5×9=45.
答：
矩形EFGH的而积为45
【例题】如图，△ABC中，AD//BC.联结CD交AB于点E,且AE:
EB=I:
3,过点E作EF//BC,交AC于点F,
SAADE=2,求SδBCE和SAAEFO
解答：
设AADE'ΔBCE.ΔACE.ΔABC.ΔAEF的而积分別为；入、μ.γ.p、θ∙TEF//BC//AD.・•・△ADE〜△BCE,
Δ=Z^j,而2=2cm2,AE:
EB二1:
3,
“[be）
・•・/∕=18cm∖即SδBCE=I8：
•//:
/∕=AE:
BE=I:
3,・β.∕=6>ΔABC的面积/7=6+18=24,
3
综上所述求SδBCE和SδAEF的值分别为18Cm\-cm2.
2
变式:
如图所示，已知AB//EF//CD,若AB=a,CD=b,EF=c,求证：
V111
1）-=—+—:
Cab
2）找岀SSABD.SλBED.S1BCD之间的关系，并证明你的结论.
解答：
I）'/AB//EF//CD■••△DEFMDAB'BEF沁BCD9
EF二DFEF二BF
•篦=丽~CD=~BD
/
2）证明:
AB//EF//CD
.DEDF
BE
BF
DEIBEI
~DB
/
BC
一BD
--^AD+BC=i
.S厶BDE_DE
SABDE
i>E
・SW）£
卜SMoE]
SbBCD
SZUBD虫匕
S^BCD
一卜；（
SbABD
1
1
1
SWBDSbBCDS'BDE
其他：
IX如图,DE∕/BCAD:
BD=I:
2,则AADE与△ABC的而积之比是I
答案：
1：
93
2、如图G是AABC的重心，直线/过A点与BC平行•若直线CG分別与AB、/交于D.E两点，直线BG与
AC交于F点，贝∣J∆AED的而积:
四边形ADGF的而积=_3:
2
:
SMiF:
SMBF鈿J4:
10:
25
3、如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：
CE=2：
3,连结AE.BE、BD,且AE、BD交于点F,则
解答：
由题意得厶DFES厶BFA
・•・DE:
AB二2:
5,DF:
FB=2:
5
・•・SADEF:
SAEBF:
SAABF二4:
10:
25.
4、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ZiADE,BE、CE分别交AD于G、H,设△CDH、ΔGHE的面积分
别为s「S2,则_3S1=2S2_O
解答：
作EF垂直于AD则厶EFH-∆CDH,
又TEF:
CD=EF:
AD=73:
2,
・•・SδEHF:
SI=3:
4
T△EGH为等腰三角形怠ABG=SbS2=2SAEFH,
∙∙∙3S1=2S2
5、如图，已知平行四边形ABCD,CE=丄BC,SδAFD=I6cm2,则SδCEF=_4cm2_,平行四边形ABCD的而积2
48cm2βo
6、如图，点M是厶ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边•所形成的三个小三角形厶△2、
△/图中阴影部分）的面积分别是4,9和49・贝∣J∆ABC的而积是—144
解答：
过M作BC的平行线交AB、AC于D.E,过M作AC的平行线交AB、BC于F.H,过Ivl作AB的平行线交AC、BC于I.G,
V∆1.Δ2.A3的面积比为4:
9:
49,Λ他们对应边边长的比为2:
3:
7,又T四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形,ΛDM=BGtEM=CH,设DM为2x,则ME=3x,GH=7x,
：
.BC=BG+GH+CH=DM+GH÷ME=2×+3×+7x=12×.
∙∙∙BC:
DM=12x:
2x=6:
l,
由面积比等于相似比的平方故可得出：
SAABC:
SAFDM=36:
1,所以SAABC=36×SδFDM=36×4=144.
7、如图，在AABC中，中线BD与CE相交于O点，SAADE=1,贝IJSm^BCDE二
解答：
•・•中线BD与CE相交于O点
・•・点EQ分别为AB.AC的中点，・•・ED是厶ABC的中位线
.∙.ED∕∕BC,ED=-BC
2
/.AAED的周长：
ΔABC的的周长=1:
2,・β.SδAED:
S∆ABC=I:
4
•・・SδAED=1
・•・SAABC=4
・•・S四边形BCDE=SδABC-SδAED=4-1=3
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