1、高中数学导数知识点归纳总结高中数学导数知识点归纳总结14. 导 数 知识要点1. 导数(导函数的简称)的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.注:是增量,我们也称为“改变量”,因为可正,可负,但不为零.以知函数定义域为,的定义域为,则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系:函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.事实上,令,则相当于.于是如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的.例:在点处连续,
2、但在点处不可导,因为,当0时,;当0时,故不存在.注:可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义:函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为4. 求导数的四则运算法则:(为常数)注:必须是可导函数.若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如:设,则在处均不可导,但它们和在处均可导.5. 复合函数的求导法则:或复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性:函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果0,则为
3、增函数;如果0,则为减函数.常数的判定方法;如果函数在区间内恒有=0,则为常数.注:是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如在上并不是都有,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样是f(x)递减的充分非必要条件.一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.7. 极值的判别方法:(极值是在附近所有的点,都有,则是函数的极大值,极小值同理)当函数在点处连续时,如果在附近的左侧0,右侧0,那么是极大值;如果在附近的左侧0,右侧0,那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0. 此外,函数
4、不可导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).注: 若点是可导函数的极值点,则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.例如:函数,使=0,但不是极值点.例如:函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.注:函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数:I.(为常数) () II. III. 求导的常见方法:常用结论:.形如或两边同取自然对数,可转化
5、求代数和形式.无理函数或形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对两边求导可得.导数知识点总结复习经典例题剖析考点一:求导公式。例1. 是的导函数,则的值是 。考点二:导数的几何意义。例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是,则 。例3.曲线在点处的切线方程是 。点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三:导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C:,直线,且直线与曲线C相切于点,求直线的方程及切点坐标。点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。考点四:函数的单调性
6、。例5.已知在R上是减函数,求的取值范点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。考点五:函数的极值。例6. 设函数在及时取得极值。(1)求a、b的值;(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤:求导数;求的根;将的根在数轴上标出,得出单调区间,由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。考点六:函数的最值。例7. 已知为实数,。求导数;(2)若,求在区间上的最大值和最小值。点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值,要先求出函数在区间上的极值,然后与和进行比较,从而得出函数的最大最小值。考点七:导数的综合性问题。例8. 设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为。(1)求,的值;(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。
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