1、九年级数学二次函数测试题及答案 二次函数一、选择题:1. 抛物线y (x 2)2 3的对称轴是( )A. 直线x 3 B. 直线x 3 C. 直线x 2ca) D. 直线x 2 2. 二次函数y ax2 bx c的图象如右图,则点M(b,在( )A. 第一象限C. 第三象限 B. 第二象限 D. 第四象限3. 已知二次函数y ax2 bx c,且a 0,a b c 0,则一定有( )A. b2 4ac 0 B. b2 4ac 0 C. b2 4ac 0 D. b2 4ac04. 把抛物线y x2 bx c向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y x2 3x 5,则有( )A.
2、 b 3,c 7C. b 3,c 3kx B. b 9,c 15 D. b 9,c 21 5. 已知反比例函数y y 2kx22的图象如右图所示,则二次函数 x k的图象大致为( )x A BC D6. 下面所示各图是在同一直角坐标系 )1 A B C D7. 抛物线y x2 2x 3的对称轴是直线( )A. x 2 B. x 2 C. x 1 D. x 18. 二次函数y (x 1)2 2的最小值是( )A. 2 B. 2 C. 1D. 1 9. 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示,若M 4a 2b cN a b c,P 4a b,则( )A. M 0,N 0,P 0B. M 0,N
3、 0,P 0C. M 0,N 0,P 0D. M 0,N 0,P 0二、填空题:10. 将二次函数y x2 2x 3配方成y (x h) k的形式,则y=_. 211. 已知抛物线y ax2 bx c与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况是_.12. 已知抛物线y ax2 x c与x轴交点的横坐标为 1,则a c=_.13. 请你写出函数y (x 1)2与y x2 1具有的一个共同性质:_.14. 有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点:甲:对称轴是直线x 4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形
4、面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:2 15. 已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_.16. 如图,抛物线的对称轴是x 1,与x轴交于A、B两点,若B点坐标是(3,0),则A点的坐标是_.16题图 三、解答题:1. 已知函数y x2 bx 1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)当x 0时,求使y2的x的取值范围. 2. 如右图,抛物线y x2 5x n经过点A(1,0),与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)P是y轴正半轴上一点,且PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标. 3 3.
5、 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 4. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11000的比例图上去,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DEAB,如图(1). 在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的
6、对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:21.4,计算结果精确到1米). C D O A B E(1) (2) 4 5. 已知二次函数y ax2 ax m的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x1 x2,交y轴的负半轴与C点,且AB=3,tanBAC= tanABC=1.(1)求此二次函数的解析式;(2)在第一象限,抛物线上是否存在点P,使SPAB=6?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明
7、理由. 提高题1. 已知抛物线y x2 bx c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0).(1)求b、c的值;(2)若抛物线与y轴的交点为B,坐标原点为O,求OAB的面积(答案可带根号). 2. 启明星、公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件. 为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y x210 710x 710,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费:(1)试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润
8、是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元,问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目.5 3. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计). 货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成
9、水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行). 试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 4. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出. 在此基础上,当每套设备的月租金提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元,设每套设备的月租金为x(元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入支出费用)为y(元).(1)用含x的
10、代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;(2)求y与x之间的二次函数关系式;(3)当月租金分别为4300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该租出多少套机械设备?请你简要说明理由;(4)请把(2)中所求的二次函数配方成y (x b2a)2 4ac b4a2的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少? 6 参考答案1. y (x 1)2 22. 有两个不相等的实数根3. 14. (1)图象都是抛物线;(2)开口向上;(3)都有最低点(或最小值) 5. y 15x2 85x 3或y 15x2 85x 3或y 17
11、x2 87x 1或y 17x2 87x 16. y x2 2x 1等(只须a 0,c 0) 7. (2 3,0)8. x 3,1 x 5,1,4 三、解答题:1. 解:(1)函数y x2 bx 1的图象经过点(3,2),9 3b 1 2. 解得b 2. 函数解析式为y x2 2x 1.(2)当x 3时,y 2.根据图象知当x3时,y2.当x 0时,使y2的x的取值范围是x3.2. 解:(1)由题意得 1 5 n 0. n 4. 抛物线的解析式为y x2 5x 4.(2)点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0, 4). OA=1,OB=4.2在RtOAB中,AB OA OB2 ,且点P在y轴正
12、半轴上.当PB=PA时,PB . OP PB OB 4. 7 此时点P的坐标为(0, 4).当PA=AB时,OP=OB=4 此时点P的坐标为(0,4).3. 解:(1)设s与t的函数关系式为s at2 bt c,1 a , a b c 1.5, a b c 1.5,2 1 由题意得 4a 2b c 2,或 4a 2b c 2, 解得 b 2, s t2 2t.2 25a 5b c 2.5; c 0. c 0. (2)把s=30代入s 12t2 2t,得30 12t2 2t. 解得t1 10,t2 6(舍去)答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元. (3)把t 7代入,得s 把t 8代入,
13、得s 1212 7 82 2 7 10.5. 2 8 16.216 10.5 5.5. 答:第8个月获利润5.5万元.4. 解:(1)由于顶点在y轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为y ax2 因为点A( 52,0)或B(910.52( ,0)在抛物线上,所以0 a52)2 910,得a 18125.因此所求函数解析式为y (2)因为点D、E的纵坐标为 所以点D的坐标为( 所以DE 542 ( 545418125x2 9910( 1812552x 9105452).542.9202,,所以920525220 ,得x 2,920).),点E的坐标为(2.2) 因此卢浦大桥拱内实际桥长为
14、2 1100 0.01 2752 385(米).5. 解:(1)AB=3,x1 x2,x2 x1 3. 由根与系数的关系有x1 x2 1.x1 1,x2 2. 8 maOA=1,OB=2,x1x2 2.OCOA OCOB 1. tan BAC tan ABC 1,OC=2. m 2,a 1.此二次函数的解析式为y x2 x 2.(2)在第一象限,抛物线上存在一点P,使SPAC=6.解法一:过点P作直线MNAC,交x轴于点M,交y轴于N,连结PA、PC、MC、NA.MNAC,SMAC=SNAC= SPAC=6.由(1)有OA=1,OC=2. 12 AM 2 12 CN 1 6. AM=6,CN=
15、12.M(5,0),N(0,10).直线MN的解析式为y 2x 10. y 2x 10, y x2由 x 2, 得 x1 3 x2 4,(舍去) y 18y 4; 2 1在 第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使SPAC=6.解法二:设AP与y轴交于点D(0,m)(m>0)直线AP的解析式为y mx m. y x2 x 2, y mx m. 9 x2 (m 1)x m 2 0.xA xP m 1,xP m 2.又SPAC= SADC+ SPDC=CDAO 2112CDxP=12CD(AO xP). 122(m 2)(1 m 2) 6,m 5m 6 0m 6(舍去)或m 1.在 第一象限
16、,抛物线上存在点P(3,4),使SPAC=6.提高题1. 解:(1)抛物线y x2 bx c与x轴只有一个交点,方程x2 bx c 0有两个相等的实数根,即b2 4c 0. 又点A的坐标为(2,0),4 2b c 0. 由得b 4,a 4.(2)由(1)得抛物线的解析式为y x2 4x 4.当x 0时,y 4. 点B的坐标为(0,4).在RtOAB中,OA=2,OB=4,得AB OA2 OBOAB的周长为1 4 25 6 25.2. 解:(1)S 10 ( x22 25.106 710x 710) (4 3) x x2 6x 7. 2当x 2 ( 1) 3时,S最大 4 ( 1) 7 64 (
17、 1) 16.当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.(2)用于投资的资金是16 3 13万元.经分析,有两种投资方式符合要求,一种是取A、B、E各一股,投入资金为5 2 6 13(万元),收益为0.55+0.4+0.9=1.85(万元)>1.6(万元);另一种是取B、D、E各一股,投入资金为2+4+6=12(万元)<13(万元),收益为0.4+0.5+0.9=1.8(万元)>1.6(万元).10 3. 解:(1)设抛物线的解析式为y ax2,桥拱最高点到水面CD的距离为h米,则D(5, h),B(10, h 3).1 , 25a h, a 解得 25 100a
18、h 3. h 1. 抛物线的解析式为y 1252x.(2)水位由CD处涨到点O的时间为10.25=4(小时),货车按原来速度行驶的路程为401+404=200<280,货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到x千米/时,当4x 40 1 280时,x 60.要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60千米/时.4. 解:(1)未出租的设备为(2)y (40 y 110x 27010x2x 27010套,所有未出租设备的支出为(2x 540)元. 110x2)x (2x 540) 65x 540. 65x 540.(说明:此处不要写出x的取值范围)(3)当月租金为300元时,租
19、赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为37套;当月租金为350元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为32套. 因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租32套;如果考虑市场占有率,应选择出租37套.(4)y 110x2 65x 540 110(x 325)2 11102.5.当x 325时,y有最大值11102.5. 但是,当月租金为325元时,租出设备套数为34.5,而34.5不是整数,故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元.11
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