九年级数学二次函数测试题及答案.docx
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九年级数学二次函数测试题及答案
二次函数
一、选择题：
1.抛物线y（x2）23的对称轴是（）
A.直线x3B.直线x3C.直线x2
c
a）D.直线x22.二次函数yax2bxc的图象如右图，则点M（b,
在（）
A.第一象限
C.第三象限B.第二象限D.第四象限
3.已知二次函数yax2bxc，且a0，abc0，
则一定有（）
A.b24ac0B.b24ac0C.b24ac0D.b24ac≤0
4.把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是
yx23x5，则有（）
A.b3，c7
C.b3，c3
k
xB.b9，c15D.b9，c215.已知反比例函数y
y2kx
22的图象如右图所示，则二次函数xk的图象大致为（）
x
AB
CD
6.下面所示各图是在同一直角坐标系）
1
ABCD
7.抛物线yx22x3的对称轴是直线（）
A.x2B.x2C.x1D.x1
8.二次函数y（x1）22的最小值是（）
A.2B.2C.1
D.19.二次函数yax2bxc的图象如图所示，若
M4a2bcNabc，P4ab，则
（）
A.M0，N0，P0
B.M0，N0，P0
C.M0，N0，P0
D.M0，N0，P0
二、填空题：
10.将二次函数yx22x3配方成
y（xh）k的形式，则y=______________________.211.已知抛物线yax2bxc与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2bxc0的根的
情况是______________________.
12.已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，则ac=_________.
13.请你写出函数y（x1）2与yx21具有的一个共同性质：
_______________.
14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：
甲：
对称轴是直线x4；
乙：
与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：
与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为
3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
2
15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函
数的解析式：
_____________________.
16.如图，抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是（3,0），则A点
的坐标是________________.
16题图
三、解答题：
1.已知函数yx2bx1的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）当x0时，求使y≥2的x的取值范围.
2.如右图，抛物线yx25xn经过点A（1,0），与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.
3
3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销
售时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
4.卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分.在大桥截面1:
11000的比例图上去，跨度
AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图
（1）.在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图
（2）.
（1）求出图
（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：
2≈
1.4，计算结果精确到1米）.
CDOABE
（1）
（2）
4
5.已知二次函数yax2axm的图象交x轴于A（x1,0）、B（x2,0）两点，x1x2，交y轴
的负半轴与C点，且AB=3，tan∠BAC=tan∠ABC=1.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S△PAB=6？
若存在，请你求出点P的坐标；．．．．．．
若不存在，请你说明理由.
提高题
1.已知抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，且交点为A（2,0）.
（1）求b、c的值；
（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的面积（答案可带根号）.
2.启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件.为
了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且yx2
107
10x7
10，如果把利润
看作是销售总额减去成本费和广告费：
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万
元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2）把
（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可
供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问
有几种符合要求的投资方式？
写出每种投资方式所选的项目.
5
3.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，
水面CD的宽是10m.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥
280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：
前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货
车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.试问：
如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？
若能，请说明理由；若不能，要使
货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
4.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现：
当每套机械设
备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）.
（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？
此时应该租
出多少套机械设备？
请你简要说明理由；
（4）请把
（2）中所求的二次函数配方成y（xb
2a）24acb
4a2的形式，并据此说明：
当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？
最大月收益是多少？
6
参考答案
1.y（x1）22
2.有两个不相等的实数根
3.1
4.
（1）图象都是抛物线；
（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5.y
15x
2
85
x3或y
15
x
2
85
x3或y
17
x
2
87
x1或y
17
x
2
87
x1
6.yx22x1等（只须a0，c0）7.（23,0）
8.x3，1x5，1，4三、解答题：
1.解：
（1）∵函数yx2bx1的图象经过点（3，2），∴93b12.解得b2.∴函数解析式为yx22x1.
（2）当x3时，y2.
根据图象知当x≥3时，y≥2.
∴当x0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2.解：
（1）由题意得15n0.∴n4.∴抛物线的解析式为yx25x4.
（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0,4）.∴OA=1，OB=4.
2
在Rt△OAB中，ABOAOB
2
，且点P在y轴正半轴上.
①当PB=PA时，PB.∴OPPBOB4.
7
此时点P的坐标为（0,4）.
②当PA=AB时，OP=OB=4此时点P的坐标为（0，4）.
3.解：
（1）设s与t的函数关系式为sat2btc，
1
a,abc1.5,abc1.5,21
由题意得4a2bc2,或4a2bc2,解得b2,∴st22t.
225a5bc2.5；c0.c0.
（2）把s=30代入s
12
t
2
2t，得30
12
t
2
2t.解得t110，t26（舍去）
答：
截止到10月末公司累积利润可达到30万元.（3）把t7代入，得s把t8代入，得s
121278
2
2710.5.2816.
2
1610.55.5.答：
第8个月获利润5.5万元.
4.解：
（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为yax2因为点A（
52
0）或B（
910
.
52
（,0）在抛物线上，所以0a·
52
）
2
910
，得a
18125
.
因此所求函数解析式为y
（2）因为点D、E的纵坐标为所以点D的坐标为（所以DE
54
2（
5454
18125
x
2
9
910
（
18125
52
≤x≤
91054
52
）.
54
2.
9202,
，所以
9205252
20
，得x
2,
920）.
），点E的坐标为（2.
2）
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
211000.01275
2385（米）.
5.解：
（1）∵AB=3，x1x2，∴x2x13.由根与系数的关系有x1x21.
∴x11，x22.
8
m
a∴OA=1，OB=2，x1·x22.
OC
OAOC
OB1.∵tanBACtanABC1，∴
∴OC=2.∴m2,a1.
∴此二次函数的解析式为yx2x2.
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.
解法一：
过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.
∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC=S△PAC=6.
由
（1）有OA=1，OC=2.∴1
2AM21
2CN16.∴AM=6，
CN=12.
∴M（5，0），N（0，10）.
∴直线MN的解析式为y2x10.
y2x10,
yx2由x2,得x13x24,（舍去）y18y4；21
∴在第一象限，抛物线上存在点P（3,4），使S△PAC=6.
解法二：
设AP与y轴交于点D（0,m）（m>0）
∴直线AP的解析式为ymxm.
yx2x2,
ymxm.
9
∴x2（m1）xm20.
∴xAxPm1，∴xPm2.
又S△PAC=S△ADC+S△PDC=CD·AO2112CD·xP=12CD（AOxP）.∴1
22（m2）（1m2）6，m5m60
∴m6（舍去）或m1.
∴在第一象限，抛物线上存在点P（3,4），使S△PAC=6.
提高题
1.解：
（1）∵抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，
∴方程x2bxc0有两个相等的实数根，即b24c0.①
又点A的坐标为（2，0），∴42bc0.②
由①②得b4，a4.
（2）由
（1）得抛物线的解析式为yx24x4.
当x0时，y4.∴点B的坐标为（0，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得ABOA2OB
∴△OAB的周长为1425625.
2.解：
（1）S10（x2225.
10
6710x710）（43）xx26x7.2
当x2
（1）3时，S最大4
（1）76
4
（1）16.
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.
（2）用于投资的资金是16313万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为
52613（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益
为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.
10
3.解：
（1）设抛物线的解析式为yax2，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则D（5,h），
B（10,h3）.
1,25ah,a∴解得25
100ah3.h1.
∴抛物线的解析式为y1
252x.
（2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时），
货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时，
当4x401280时，x60.
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.
4.解：
（1）未出租的设备为
（2）y（40
∴y1
10x27010x2x27010套，所有未出租设备的支出为（2x540）元.110x2）x（2x540）65x540.65x540.（说明：
此处不要写出x的取值范围）
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；
当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择
出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.
（4）y1
10x265x5401
10（x325）211102.5.
∴当x325时，y有最大值11102.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套
数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.
11
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