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1、高考理科数学第一轮复习 第一章 第2节第2节命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知 识 梳 理1.命题可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p

2、的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp微点提醒1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)，与A的充分不必要条件是B(BA且A B)两者的不同.3.A是B的充分不必要条件綈B是綈A的充分不必要条件.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“x22x30”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则

3、q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P5练习引申)命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A.若，则tan 1 B.若，则tan 1C.若tan 1，则 D.若tan 1，则解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan 1，则”.答案C3.(选修21P22B2改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为_.解析“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故

4、其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”.答案若ab不是偶数，则a，b不都是偶数4.(2018天津卷)设xR，则“”是“x31”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由，得0x1，所以0x31；由x31，得x1，不能推出0x1.所以“”是“x3bc，则abc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_.解析abc，取a2，b4，c5，则ab61，则a21”的否命题是“若a1，则a21”B.“若am2bm2，则a4 x0成立D.“若sin ，则”是真命题(2)(2018北京卷)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0，2都成立，则f(x

5、)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_.解析(1)对于选项A，“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”，A错；对于B项，若“am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am23x，C错；对于D项，原命题的逆否命题为“若，则sin ”是真命题，故原命题是真命题.(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为0，2的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)minf(0).答案(1)D(2)f(x)sin x，x0，2(答案不唯一 ，再如f(x)规律方法1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其

6、他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.【训练1】 (1)(2018肇庆一诊)命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是()A.“若a，b，c成等比数列，则b2ac”B.“若a，b，c不成等比数列，则b2ac”C.“若b2ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”(2)命题p：若x0，则xa；命题q：若ma2，则ma，则x0，故a0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q

7、为真命题，则a21，解得a1是ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析(1)|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26ab9b29a26abb2，又|a|b|1，ab0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件.(2)当m1时，f f(1)f f(2)22m14，当ff(1)4时，f f(1)f f(2)22m1422，2m12，解得m.故“m1”是“ff(1)4”的充分不必要条件.答案(1)C(2)A规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关

8、系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1)(2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m ，n ，则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2019汉中质检)已知函数f(x)3x3x，任意a，bR，则“ab”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析(1)若m ，n ，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m ，n ，不一定推出mn，直线m与n可能异

9、面，故“mn”是“m”的充分不必要条件.(2)因为f(x)3x3x，所以f(x)3xln 33xln 3(1)3xln 33xln 3，易知f(x)0，所以函数f(x)3x3x为(，)上的单调递增函数，从而由“ab”可得“f(a)f(b)”，由“f(a)f(b)”可得“ab”，即“ab”是“f(a)f(b)”的充要条件.答案(1)A(2)C考点三充分条件、必要条件的应用典例迁移【例3】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求实数m的取值范围.解由x28x200，得2x10，Px|2x10.xP是xS的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合

10、，1m1m，解得m0.综上，m的取值范围是0，3.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由.解由例题知Px|2x10.若xP是xS的充要条件，则PS，这样的m不存在.【迁移探究2】 设p：Px|x28x200，q：非空集合Sx|1mx1m，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解由例题知Px|2x10.綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件.pq且q p，即P S.或m9，又因为S为非空集合，所以1m1m，解得m0，综上，实数m的取值范围是9，).规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)

11、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】 (2018浏阳三校联考)设p：实数x满足x24ax3a20.若a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.解由p得(x3a)(xa)0，当a0时，3ax0，则2x3或x2，则x4或x2.设p：A(3a，a)，q：B(，4)2，)，又p是q的充分不必要条件.可知A B，a4或3a2，即a4或a.又a0，a4或ab，则

12、acbc”的否命题是()A.若ab，则acbc B.若acbc，则abC.若acbc，则ab D.若ab，则acbc解析将条件、结论都否定.命题的否命题是“若ab，则acbc”.答案A2.设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由2x0，得x2，由|x1|1，得0x2.当x2时不一定有0x2，而当0x2时一定有x2，“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件.答案B3.设ab，a，b，cR，则下列命题为真命题的是()A.ac2bc2 B.1C.acbc D.a2b2解析对于选项A，ab，若c0，则ac2bc

13、2，故A错；对于选项B，ab，若a0，b0，则b，则acbc，故C正确；对于选项D，ab，若a，b均小于0，则a2b，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个解析原命题：若c0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，cR，若“ac2bc2，则ab”.由ac2bc2知c20，由不等式的基本性质得ab，逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，真命题共有2个.答案C6.已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.1，) B.(，1C.1，) D.

14、(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a1.答案A7.(2017北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析存在负数，使得mn，则mnnn|n|20；反之mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线.故“存在负数，使得mn”是“mn0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”解

15、析C项命题的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”.若方程有实根，则14m0，即m，不能推出m0.所以不是真命题.答案C二、填空题9.王昌龄的从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的_条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).解析“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.答案必要10.以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号).“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否

16、命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价.解析不正确.由log2a0，得a1，f(x)logax在其定义域内是增函数.正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.不正确，原命题的逆命题为：“若xy是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如134为偶数，但1和3均为奇数.正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.答案11.直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.解析直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于，解之得1k3.答案1k2S5等价d0，所以“d0”是“S4S62S5”

17、的充要条件.答案C14.(一题多解)(2019江西新课程教学质量监测)已知命题p：x22x30；命题q：0，且綈q的一个必要不充分条件是綈p，则a的取值范围是()A.3，0 B.(，30，)C.(3，0) D.(，3)(0，)解析法一由x22x30，得x1.则綈p对应的集合为Ax|3x1.命题q：xa1或x0x|x1，q对应的集合Dx|xa1或xa，由于p是q的充分不必要条件知，C D，解得3a0.答案A15.若不等式m1xm1成立的充分不必要条件是x，则实数m的取值范围是_.解析由题意可知 (m1，m1)，借助数轴得解得m，故实数m的取值范围是.答案16.“a1”是“函数f(x)是奇函数”的_条件.解析当a1时，f(x)f(x)(xR)，则f(x)是奇函数，充分性成立.若f(x)为奇函数，恒有f(x)f(x)，得(1a2)(e2x1)0，则a1，必要性不成立.故“a1”是“函数f(x)是奇函数”的充分不必要条件.答案充分不必要