高考理科数学第一轮复习 第一章 第2节.docx
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高考理科数学第一轮复习第一章第2节
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.命题
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.
2.四种命题及其相互关系
（1）四种命题间的相互关系
（2）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[微点提醒]
1.否命题与命题的否定：
否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A），与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）“x2＋2x－3<0”是命题.（ ）
（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.（ ）
（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（ ）
（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.（ ）
解析
（1）错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
（2）错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案
（1）×
（2）× （3）√ （4）√
2.（选修2－1P5练习引申）命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠
，则tanα≠1B.若α＝
，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠
D.若tanα≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠
”.
答案 C
3.（选修2－1P22B2改编）“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为________.
解析 “a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”.
答案 若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
4.（2018·天津卷）设x∈R，则“
<
”是“x3<1”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由
<
，得0<
”是“x3<1”的充分而不必要条件.
答案 A
5.（2017·北京卷）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则a＋b＝－6答案 －2，－4，－5（答案不唯一）
6.（2019·安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的________条件.
解析 显然a＝0时，f（x）＝sinx－
为奇函数；
当f（x）为奇函数时，
f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－
＋a＋sinx－
＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.
答案 充要
考点一 命题及其关系
【例1】
（1）（2019·郑州模拟）下列说法正确的是（ ）
A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B.“若am2C.存在x0∈（0，＋∞），使3x0>4x0成立
D.“若sinα≠
，则α≠
”是真命题
（2）（2018·北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析
（1）对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；
对于B项，若“am2对于C项，由指数函数的图像知，任意x∈（0，＋∞），都有4x>3x，C错；
对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝
，则sinα＝
”是真命题，故原命题是真命题.
（2）根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f（x）min＝f（0）.
答案
（1）D
（2）f（x）＝sinx，x∈[0，2]（答案不唯一，再如f（x）＝
）
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.
（1）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练1】
（1）（2018·肇庆一诊）命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是（ ）
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
（2）命题p：
若x>0，则x>a；命题q：
若m≤a－2，则m解析
（1）命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.
（2）命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1.则实数a的取值范围是[0，1）.
答案
（1）D
（2）[0，1）
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】
（1）（2018·北京卷）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2）设函数f（x）＝
则“m>1是f[f（－1）]>4”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析
（1）|a－3b|＝|3a＋b|⇔（a－3b）2＝（3a＋b）2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0⇔a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.
（2）当m>1时，f[f（－1）]＝f
＝f
（2）＝22m＋1>4，
当f[f（－1）]>4时，f[f（－1）]＝f
＝f
（2）＝22m＋1>4＝22，
∴2m＋1>2，解得m>
.
故“m>1”是“f[f（－1）]>4”的充分不必要条件.
答案
（1）C
（2）A
规律方法 充要条件的三种判断方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断.
（2）集合法：
根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】
（1）（2018·浙江卷）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2）（2019·汉中质检）已知函数f（x）＝3x－3－x，任意a，b∈R，则“a>b”是“f（a）>f（b）”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析
（1）若mα，nα，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，mα，nα，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
（2）因为f（x）＝3x－3－x，
所以f′（x）＝3xln3－3－xln3×（－1）＝3xln3＋3－xln3，
易知f′（x）>0，
所以函数f（x）＝3x－3－x为（－∞，＋∞）上的单调递增函数，从而由“a>b”可得“f（a）>f（b）”，由“f（a）>f（b）”可得“a>b”，即“a>b”是“f（a）>f（b）”的充要条件.
答案
（1）A
（2）C
考点三 充分条件、必要条件的应用
典例迁移
【例3】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴
解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移探究1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？
并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
∴
这样的m不存在.
【迁移探究2】设p：
P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：
非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且q
p，即PS.
∴
或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞）.
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】（2018·浏阳三校联考）设p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：
实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 由p得（x－3a）（x－a）<0，当a<0时，3a由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，则x<－4或x≥－2.
设p：
A＝（3a，a），q：
B＝（－∞，－4）∪[－2，＋∞），
又p是q的充分不必要条件.
可知AB，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－
.
又∵a<0，∴a≤－4或－
≤a<0，
即实数a的取值范围为（－∞，－4]∪
.
[思维升华]
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.
2.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B.
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
（2）若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
（3）若A＝B，则p是q的充要条件.
[易错防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
基础巩固题组
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1.（2019·河南八市联考）命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是（ ）
A.若a≤b，则a＋c≤b＋cB.若a＋c≤b＋c，则a≤b
C.若a＋c>b＋c，则a>bD.若a>b，则a＋c≤b＋c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.
答案 A
2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.
答案 B
3.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（ ）
A.ac2>bc2B.
>1
C.a－c>b－cD.a2>b2
解析 对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则
<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2答案 C
4.（2018·成都诊断）命题p：
cosθ＝
，命题q：
tanθ＝1，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由cosθ＝
，得θ＝±
＋2kπ，k∈Z，则tanθ＝±1，
故p
q，p是q的不充分条件；
由tanθ＝1，得θ＝
＋kπ，k∈Z，则cosθ＝±
，
故q
p，p是q的不必要条件；
所以p是q的既不充分也不必要条件.
答案 D
5.原命题：
设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.4个
解析 原命题：
若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：
设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.
答案 C
6.已知命题p：
x2＋2x－3＞0；命题q：
x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是（ ）
A.[1，＋∞）B.（－∞，1]
C.[－1，＋∞）D.（－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
7.（2017·北京卷）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈
，当〈m，n〉∈
时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案 A
8.下列结论错误的是（ ）
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－
，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
二、填空题
9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件（填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个）.
解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
答案 必要
10.以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）.
①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.
解析 ①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f（x）＝logax在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.
③不正确，原命题的逆命题为：
“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.
答案 ②④
11.直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点等价于
<
，解之得－1答案 －112.（2019·陕西师大附中月考）设p：
ln（2x－1）≤0，q：
（x－a）[x－（a＋1）]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.
解析 p对应的集合A＝{x|y＝ln（2x－1）≤0}＝
，q对应的集合B＝{x|（x－a）[x－（a＋1）]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}，由q是p的必要而不充分条件可知AB，所以a≤
且a＋1≥1，所以0≤a≤
.
答案
能力提升题组
（建议用时：
10分钟）
13.（2017·浙江卷）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由S4＋S6－2S5＝S6－S5－（S5－S4）＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5等价d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 C
14.（一题多解）（2019·江西新课程教学质量监测）已知命题p：
x2＋2x－3>0；命题q：
>0，且綈q的一个必要不充分条件是綈p，则a的取值范围是（ ）
A.[－3，0]B.（－∞，－3]∪[0，＋∞）
C.（－3，0）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）
解析 法一 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1.
则綈p对应的集合为A＝{x|－3≤x≤1}.
命题q：
x>a＋1或x则綈q对应的集合为B＝{x|a≤x≤a＋1}.
依题意綈q是綈p的充分不必要条件，所以BA，
故
解得－3≤a≤0.
法二 ∵綈q的一个必要不充分条件是綈p，
∴綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，
p对应的集合C＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，
q对应的集合D＝
＝{x|x>a＋1或x由于p是q的充分不必要条件知，CD，
∴
解得－3≤a≤0.
答案 A
15.若不等式m－1，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意可知
（m－1，m＋1），借助数轴得
解得－
≤m≤
，
故实数m的取值范围是
.
答案
16.“a＝1”是“函数f（x）＝
－
是奇函数”的__________条件.
解析 当a＝1时，f（－x）＝－f（x）（x∈R），则f（x）是奇函数，充分性成立.
若f（x）为奇函数，恒有f（－x）＝－f（x），得（1－a2）（e2x＋1）＝0，则a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f（x）＝
－
是奇函数”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
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