八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题.docx

1、八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型 搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 a2 b2 c2，即2R , a2 b2 c2，求岀R例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是( C)A. 16 B. 20 C. 24 D. 32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 ,3，则其外接球的表面积是 9解：(1) V a2h 16，a 2，4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24，S 24 ，选 C；

2、(2)4R2 3 3 3 9，S 4 R2 9(3)在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN ,若侧棱SA 2.3, 则正三棱锥S ABC外接球的表面积是。36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下：如图(3) -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积6、4、3，那么它的外接球的表面积是(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球

3、的体积为ab12bc8 ， abc 24，a 3，b 4，c 2，(2r)2 a2 b2 c2 29ac6S 4 R229 ，2题设：如图6, 7，8， P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相 等 三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心0勺，则P,O,O1三点共线;第二步：先算岀小圆 01的半径A01 r，再算岀棱锥的高 P01 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理： 0A2 01A2 0102 R2 （h R）2 r2，解岀R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示

4、，则该几何体外接球的表面积为 （）C类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1.题设：如图9-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求岀小圆的直径 AC 2r ;三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点 解题步骤: 第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心01，则P,0,01三点共线;第二步：先算岀小圆 0勺的半径A01 r，再算岀棱锥的高 P01 h （也是圆锥的高）；2 2 2 2 2 2第三步：勾股定理： 0A2 01A2 0102 R2 （h R）2 r2，解岀R4如

5、图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且 PA AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （2R）2 PA2 （2r）2 2R PA2 （2r）2 ； R2 r2 0012 R . r2 00：例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为2 3，则该球的表面积为。（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(2)方法一：找球心的位置，易知 r 1, h1， h r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R 1，SAC的外接圆，此处特殊， Rt SAC的斜边是球半径,棱锥外接球的体积为

6、()解：选D,圆锥代B,C在以rO的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0)AA.迈B. 5 c.辽D.辽6 6 3 22 2 彳 /.3、2 6 2飞 1 1 、3 2.6 .2解：OOi . R r 1 () ，h ，V Sh - 3 3 3 3 3 4 3 6类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可 以是任意三角形)第一步：确定球心 O的位置，01是 ABC的外心，则 001 平面ABC ；1 1第二步：算岀小圆 01的半径A01 r，001 - AA - h( AA1

7、h也是圆柱的高)；2 2第三步：勾股定理： 0A2 01A2 0Q2 R2 (h)2 r2 R . r2 (h)2，解岀 R2 2例4( 1) 一个正六棱柱的底面上正六边形， 其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为a ,正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r,则 a -,2V3底面积为S 6 Q)2口, V柱3.3 9 .Sh h , h3 , R2 (仝)2(-)2 14288 822R 1，球的体积为V(2)直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA, 2, BAC

8、120 ,则此球的表面积等于。第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接OE,OC ；2 2 2第三步：解 OEU，算岀0比，在Rt OCH1中，勾股定理： OH； CH12 OC2正三角形，则三棱锥 P ABC外接球的半径为解析：2ri 2r22sin 60石2.3O2H1.3214515r1R -33331.3，O1H13，AH 1，R2 O2H2O2OAO1HR2 AO2 AH 2O1H2 O1O2类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AC BD）第一步：画岀一个长方体，标岀三组互

9、为异面直线的对棱；AB CD , ADBC ,第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, ADBC x, ABCDy, AC BDz ,列方程组,2ab22cb22c2a2x2y2z(2R) ab2补充:VaBCDabc4 】abc3第三步：根据墙角模型,2R222a2 b2 c2 ,x ； zR2222x y z8222x y z求岀R ,8例如,正四面体的外接球半径可用此法。例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是.（2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是邑C邑D

10、毎3 4 12A. Hb.4解：（1）截面为PCO1，面积是 2 ；1，底面外接圆的半径为设底面边长为a，则2R2sin 60 三棱锥的体积为V丄Sh3（3）在三棱锥ABCD 中，AB CD29的表面积为。 -1的球面上，其中底面的三个顶点 （）R 1，直径为a .3 , S2, AD BC2R 2,- 3 2a43, AC3 3T，A（1）题解答图。2BD 4,则三棱锥A BCD外接球解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长， 设长宽高分别为 a,b,c，则a2 b2 9 ,55b22 c4, c2a2 162 2 2 2 2 22(a b c ) 9 4 16 29, 2

11、(a b c ) 9 4 16 29 ,2 22292299abc,4RS -222（4）如图所示三棱锥 A BCD，其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,则该三 棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c.2（a2 b2 c2） 25 36 49 110，a2 b2 c2 55，4R2 55，S【55 ;对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为 ，2，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中， 2R 、3，.3 、， 4 3、3 .3，V 2 3 8 2题设：

12、APB ACB 90，求三棱锥P ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 0,连接1OP, OC，则0A OB OC OP AB， O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 0CP中求岀半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径 都为定值。B AC D，例7（ 1）在矩形ABCD中，AB 4，BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 则四面体 ABCD的外接球的体积为（）125125 125125A. -B. C.D.129 63解：（1） 2R5AC 5, R -,V4 R34233125125，选C86（2）在矩形 ABCD 中，AB 2

13、，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC,所D图15C得三棱锥A BCD的外接球的表面积为解析：（2） BD的中点是球心O，2R BD 13，S 4 R2 13 ；类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现岀内切球的截面图， E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH BD， PO PH r， PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 匹 ，解岀rDH PD2题设：如图15,四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现岀内切球的截面图， P,0, H三点共线；第二步：求FH BC, P

14、O PH r , PF是侧面 PCD的高；2第三步：由 POG相似于 PFH，建立等式： OG 竺，解岀HF PF3 题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画岀四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r，建立等式：Vp ABC Vo ABC Vo pab V。pac V pbc第三步：解出r3Vp ABCSO ABC SO PAB SO PAC SO PBC习题：1.若三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且 SA 2 , 的外接球半径为（）A. 3 B. 6 C. 36 D. 9解：【A

15、】 （2R）2 J4 16 16 6, R 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2.三棱锥S ABC中，侧棱SASB SC 4，则该三棱锥则该三棱锥的外接球体积等于平面ABC，底面ABC是边长为323.3的正三角形,SA 2. 3，2，(2R)224 12 16，R 4，R 2，解析：2 r sin 60【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3 正三棱锥 S ABC中，底面 ABC是边长为 3的正三角形，侧棱长为 积等于.外接球体积-32，则该三棱锥的外接球体解析： ABC外接圆的半径为,三棱锥S ABC的直径为2R2sin 604 3-R33 平面PAC

16、平面ABC ,ABC外接球的半径为2或 R2 (R4.三棱锥AB BC，.3)2 1，RP ABC 中, 则三棱锥P2 ，外接球体积V34 2，外接球半径R. 3 - 332 327 ，83、3PAC边长为2的正三角形,解析： PAC的外接圆是大圆，2R sin 605.三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC , 则三棱锥P2，R 3，AC 2，PA PC 3，AB BC，解析 ： cosABC外接球的半径为.PA2 PC2 AC22PA PC7，sin2 p 1 16 281 ，sin P4.22R24*22、2 49BC，则6.三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC , AC 2, PA PC , AB 三棱锥P ABC外接球的半径为.解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心0,球半径为R 1