八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题.docx
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八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球
文：
付雨楼、段永建
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：
找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2a2b2c2，即2R■,a2b2c2，求岀R
例1
（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）
A.16B.20C.24D.32
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为,3，则其外接球的表面积是9
解：
（1）Va2h16，a2，4R2a2a2h2441624，S24，选C；
（2）4R23339，S4R29
（3）在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA2.3,则正三棱锥SABC外接球的表面积是。
36
解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：
如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正
BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接球的表面积
6、4、3，那么它的外接球的表面积是
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和
边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为
ab
12
bc
8，abc24，
a3，b4，c2，（2r）2a2b2c229
ac
6
S4R2
29，
2•题设：
如图6,7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：
第一步：
确定球心0的位置，取ABC的外心0勺，则P,O,O1三点共线;
第二步：
先算岀小圆01的半径A01r，再算岀棱锥的高P01h（也是圆锥的高）；
第三步：
勾股定理：
0A201A20102R2（hR）2r2，解岀R
方法二：
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
1.题设：
如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）
第一步：
易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求岀小圆的直径AC2r;
三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P
点也是圆锥的顶点解题步骤:
第一步：
确定球心0的位置，取ABC的外心01，则P,0,01三点共线;
第二步：
先算岀小圆0勺的半径A01r，再算岀棱锥的高P01h（也是圆锥的高）；
222222
第三步：
勾股定理：
0A201A20102R2（hR）2r2，解岀R
4•如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2PA2（2r）22R「PA2（2r）2；
②R2r20012R.r200：
例3
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为。
（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为•2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积
为
（2）方法一：
找球心的位置，易知r1,h
1，hr,故球心在正方形的中心ABCD处，R1，
SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径,
棱锥外接球的体积为（）
解：
选D,圆锥代B,C在以r
O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0
）A
A.迈B.5c.辽D.辽
6632
22彳/.3、262飞11、32.6.2
解：
OO^i.Rr1（——），h，VSh-
\33333436
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：
如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：
确定球心O的位置，01是ABC的外心，则001平面ABC；
11
第二步：
算岀小圆01的半径A01r，001-AA-h（AA1h也是圆柱的高）；
22
第三步：
勾股定理：
0A201A20Q2R2（h）2r2R..r2（h）2，解岀R
2¥2
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
9
且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为
8
解：
设正六边形边长为
a,
正六棱柱的高为
h，底面外接圆的关径为
r,则a-,
2
V3
底面积为S6—
Q）2
口,V柱
3.39.
Shh,h
3,R2（仝）2
（-）21
4
2
8
88
2
2
R1，球的体积为V
（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA,2,BAC120,
则此球的表面积等于。
第二步：
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；
222
第三步：
解OEU，算岀0比，在RtOCH1中，勾股定理：
OH；CH12OC2
正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为
解析：
2ri2r2
2
sin60
石
2
.3
O2H
1
.3
2
1
4
5
15
r1
R-
3
3
3
3
1
.3
，O1H
1
3
，AH1，
R2O2H2
O2
O
A
O1
H
R2AO2AH2
O1H2O1O2
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
ACBD）
第一步：
画岀一个长方体，标岀三组互为异面直线的对棱；
ABCD,AD
BC,
第二步：
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c,AD
BCx,AB
CD
y,ACBD
z,列方
程组,
2
a
b2
2
c
b2
2
c
2
a
2
x
2
y
2
z
（2R）a
b2
补充:
Va
BCD
abc
4】abc
3
第三步：
根据墙角模型,
2R
222
a2b2c2,x；z
R2
222
xyz
8
222
xyz
求岀R,
8
例如,
正四面体的外接球半径可用此法。
例6
（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一
个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
邑C邑D毎
3412
A.Hb.
4
解：
（1）截面为
PCO1，面积是2；
1，底面外接圆的半径为
设底面边长为a，则2R
2
sin60'
三棱锥的体积为V
丄Sh
3
（3）在三棱锥A
BCD中，ABCD
29
的表面积为。
-
1的球面上，其中底面的三个顶点（）
R1，直径为
a.3,S
2,ADBC
2R2,
■-32
a
4
3,AC
33
~T，
A
（1）题解答图
。
2
BD4,则三棱锥ABCD外接球
解析：
如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2b29,
55
b2
2c
4,c2
a216
222222
2（abc）941629,2（abc）941629,
2
■2
2
29
2
29
9
a
b
c
4R
S-
2
2
2
（4）如图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.
解析：
同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c.
2（a2b2c2）253649110，a2b2c255，4R255，S
【55;对称几何体；放到长方体中】
（5）正四面体的各条棱长都为，2，则该正面体外接球的体积为
解析：
这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R、3，
.3、，43、3.3
—，V——
2382
题设：
APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点0,连
接
1
OP,OC，则0AOBOCOPAB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在0CP中
求岀半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。
BACD，
例7
（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角则四面体ABCD的外接球的体积为（）
125
125125
125
A.-
B.C.
D.
12
96
3
解：
（1）2R
5
AC5,R-,
V
4R3
4
2
3
3
125
125
，选C
8
6
（2）在矩形ABCD中，AB2，BC
3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC,所
D
图15
C
得三棱锥ABCD的外接球的表面积为
解析：
（2）BD的中点是球心O，2RBD13，S4R213；
类型八、锥体的内切球问题
1•题设：
如图14,三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：
先现岀内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
1
第二步：
求DHBD，POPHr，PD是侧面ABP的高；
3
第三步：
由POE相似于PDH，建立等式：
匹，解岀r
DHPD
2•题设：
如图15,四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：
先现岀内切球的截面图，P,0,H三点共线；
第二步：
求FHBC,POPHr,PF是侧面PCD的高；
2
第三步：
由POG相似于PFH，建立等式：
OG竺，解岀
HFPF
3•题设：
三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：
先画岀四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：
设内切球的半径为r，建立等式：
VpABCVoABCVopabV。
pacVpbc
第三步：
解出r
3VpABC
SOABCSOPABSOPACSOPBC
习题：
1.若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2,的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
解：
【A】（2R）2J416166,R3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】
2.三棱锥SABC中，侧棱SA
SBSC4，
则该三棱锥
则该三棱锥的外接球体积等于
平面ABC，底面ABC是边长为
32
3
..3的正三角形,
SA2.3，
2，（2R）2
2
41216，R4，R2，
解析：
2rsin60
【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
3•正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为积等于.
外接球体积-
3
2，则该三棱锥的外接球体
解析：
ABC外接圆的半径为,
三棱锥SABC的直径为2R
2
sin60
43
-R3
3平面PAC平面ABC,
ABC外接球的半径为
2
或R2（R
4.三棱锥
ABBC，
..3）21，R
PABC中,则三棱锥P
2，外接球体积V
3
42
——，外接球半径R
■.3■-3
323
27，
8
3、3
PAC边长为2的正三角形,
解析：
PAC的外接圆是大圆，2R——
sin60
5.三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC,则三棱锥P
2
，R3，
AC2，PAPC3，
ABBC，
解析：
cos
ABC外接球的半径为.
PA2PC2AC2
2PAPC
7，sin2p1◎
162
81，
sinP
4.2
2R
2
4*2
2、24
9
BC，则
6.三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC,AC2,PAPC,AB三棱锥PABC外接球的半径为.
解：
AC是公共的斜边，AC的中点是球心0,球半径为R1
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