第9章导体和电介质中的静电场精.docx

1、第9章导体和电介质中的静电场精第第九九章章 导导体体和和电电介介质质中中的的静静电电场场引言：一、导体、电介质、半导体导体：导电性能很好的材料；例如：各种金属、电解质溶液。电介质（绝缘体）：导电性能很差的材料；例如：云母、胶木等。半导体:导电性能介于导体和绝缘体之间的材料；二、本章内容简介三、本章重点和难点1. 重点（1）导体的静电平衡性质；（2）空腔导体及静电屏蔽；（3）电容、电容器；2. 难点导体静电平衡下电场强度矢量、电势和电荷分布的计算；第一节 静电场中的导体一、静电感应 静电平衡1. 静电感应（1）金属导体的电结构从微观角度来看，金属导体是由带正电的晶格点阵和自由电子构成，晶格不动，

2、相当于骨架，而自由电子可自由运动，充满整个导体，是公有化的。例如：金属铜中的自由电子密度为：nCu=81028(m-3)。当没有外电场时，导体中的正负电荷等量均匀分布，宏观上呈电中性。（2）静电感应当导体处于外电场E0中时，电子受力后作定向运动，引起导体中电荷的重新分布。结果在导体一侧因电子的堆积而出现负电荷，在另一侧因相对缺少负电荷而出现正电荷。这就是静电感应现象，出现的电荷叫感应电荷。2. 静电平衡不管导体原来是否带电和有无外电场的作用，导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动的状态称为导体的静电平衡状态。（a）自由电子定向运动 （b）静电平衡状态3. 静电平衡条件（静电平衡态下导体的电性质

3、）（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直。（2）在静电平衡时，导体内上的电势处处相等，导体是一个等势体。 E证明： 假设导体表面电场强度有切向分量，即0，则自由电子将沿导体表面有宏观定向运动，导体未达到静电平衡状态，和命题条件矛盾。dUdU =0,=0E内=0，E=0dld因为，所以，即导体为等势体，导体表面为等势面。二、静电平衡时导体上电荷的分布1. 实心导体（1）处于静电平衡态的实心导体，其内部各处净电荷为零，电荷只能分布于导体外表面。证明：在导体内包围P点作闭合曲面S，由静电平衡条件 E内=0，所以由高斯定理：内，得。（2）处于静电平衡的导体，

4、其表面上各点的电荷面密度与表面邻近处场强大小成正比。 证明：在导体表面任取无限小面积元S，认为它是电荷分布均匀的带电平面，电荷面密度为，作高斯面（如图：扁平圆柱面），轴线与表面垂直，l很小，由高斯定理： S q内 E内dS=00q=0 EdS=EdS+S上底下底 E内dS+E表dS侧=E表S+0S+E表S侧cos=E表S=2S00表，即由此得注意和结论： E表； =E E表=n0 (9-1) n为导体表面的外法线方向单位矢量； E 表由导体上及导体外全部电荷所产生的合场强，而非仅由导体表面该点处的电荷面密度所产生。例如：孤立的半径为R的均匀带电球面，球面外邻近处P点的场强大小为EP=q40R2

5、=0由整个球面上电荷共同产生。带电球附近有点电荷q1时，同一P点处的场强由球面上原有电荷q和点电荷q1，以及其在球面上的感应电荷所共同产生即,仍 =nEP0。 然满足（3）静电平衡下的孤立导体，其表面某处面电荷密度与该表面曲率有关，曲率越大的地方，电荷密度也越大，R。（4）尖端放电对于有尖端的带电导体，尖端处电荷面密度大，则导体表面邻近处场强也特别大。当场强超过空气的击穿场强时，就会产生空气被电离的放电现象，称为尖端放电。例9-1（书P89）。=Eq+Eq1+E感应电荷EP第二节 空腔导体内外的静电场一、空腔导体内外的静电场1、空腔导体内部无带电体无论空腔导体是否带电、是否处于外电场中，空腔导

6、体都具有下列性质：（1）空腔内部及导体内部电场强度处处为零，它们形成等电势区。（2）空腔内表面不带任何电荷。上述性质可用高斯定律证明。下面说明性质。在导体内做一高斯面，根据静电平衡，导体内部场强处处为零，所以导体内表面电荷的代数和为零。如内表面某处面电荷密度0 ,则必有另一处0，两者之间就必有电力线相连，就有电势差存在，这与导体内场强为零相矛盾。所以导体内表面处处 e=0。这些结论不受腔外电场的影响，腔外电场与腔外表面电荷在腔内场强总贡献为零。2、腔内有带电体（1）导体中场强为零。（2）空腔内部的电场决定于腔内带电体，空腔外的电场决定于空腔外表面的电荷分布。（3）空腔的内表面所带电荷与腔内带电

7、体所带电荷等量异号。（4）导体接地，则空腔内带电体的电荷变化将不再影响导体外的电场。证明：（弄清感应电荷的数量。）二、静电屏蔽electrostatic shielding如图，在空腔导体外，还有一带负电的带电体B，由于静电感应，空腔导体外表面上的电荷及带电体 B 上 的电荷将重新分布。静电平衡时：（1）B使外表面上电荷重新分布；（2）内表面、腔内带电体的电荷分布不变；（3）导体空腔部分的电场等于零；（4）导体接地，腔内电场不影响腔外，腔内各点相对地的电势不再变化。总之，空腔导体（无论接地与否）将使腔内空间不受外电场的影响，而接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响，称之为静电屏蔽现象。

8、例子：屏蔽服、屏蔽线、金属网。(课 3本P93-P94)。例题9-2：课本P94。例题2：一半径为r1,r2(r2r1)互相绝缘的两个同心导体球壳，现将 +q 电量给予内球壳，求：（1）外球壳上所带的电荷和外球的电势。（2）把外球壳接地后再重新绝缘，求外球上所带的电荷及外球的电势。（3）然后把内球接地，问内球上所带电荷及外球电势改变多少？解：（1）+q 分布在内球壳外表面，静电感应后，外球壳内表面带电-q，外表面带电+q，整个由静电平衡条件得：球壳导体内部场强为零， 即： E=0(0rr1) qQ外球壳=0(r1rr2) 外球壳总电荷为零，。由高斯定理得：E=240r qE=(r2r)240r

9、 E内部=0。 所以有：或由电势叠加原理得： U外球=qr2 Edl=r2q40r2=dr=q40r2 U外求=40r2-q40r2+q40r2q40r2Q=0Q外球内表=-qQ球U=0，壳=-q。 （2）外球壳接地后再绝缘，则：外球同时外球外表，即外（3）内球壳接地后，得U内球=0。此时设内球带正电荷为 e，外球内表面带电荷为-q，则-qr=0e=1q(0)40r140r2r2，所以得不为零。 e-qe-q=U外球+=(0)4r4r4r020202因而有： U内球=+e-U外球=U外球=U外球则有：e-qe-q-0=40r240r2。第三节 电容器的电容静电平衡时导体上的电荷只能分布在表面，

10、且与其本身的形状、结构及周围的介质有关。下面我们讨论的是导体容电本领问题。一、孤立导体的电容1. 定义设在真空中有一半径为R，带电荷为Q的孤立球形导体，则它的电势（相对于无限远处的零电Q1QV=40R4R0势而言）为：而V该比值仅与导体的几何形状和大小有关，与导体所带的电量无关。由此我们定义孤立导体的电QC=V 容为孤立导体所带的电荷Q与其电势V的比值。即：电容 C 是反映导体容电能力的物理量。用单位电势差所能容纳的电量来表征。2. 单位法拉（F），微法（mF）,皮法（pF）1F=106F=1012pF二、电容器1. 例子和概念两个同心球壳，内球 A 和外球B 分别带 +q 和 -q 电量，中

11、间充以空气或电介质。当外壳接地后，这样的导体组非常靠近的中间充满电介质的两个导体组合，称为电容器。两个导体称为电容器的极板。2. 电容器的电容C=定义：电容器的电容的电势差。（1）电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及电介质的电容率。与电容器是否带电无关。（2）电容器符号：，固定电容器；，可变电容器。 QVA-VB， Q为一个极板所带电量的绝对值，VA-VB为两极板间3. 电容的计算（1）假设电容器的两个极板A、B分别带 +q 和-q 电荷。 B UAB=EdlA （2）求两极板间的电场分布，并由计算两极板间电势差。C=（3）由定义式qUAB计算电容C。4. 例子：几种常见的电容

12、器电容的计算（1）平板电容器设有两靠得很近，相距为 d，面积为 S 的平行金属板组成的平行板电容器，板间为真空。每块极板上的电荷面密度为电场，忽略边缘效应，两极板间的场强为： =QS，两极板间的电场为均匀E=两极板间的电势差为 Q=00SQdU=ABEdl=Ed=d=00S根据电容的定义得平板电容器的电容为（2）圆柱形电容器 设内、外圆柱面各带有+Q和-Q的电荷，则电荷线密度为=E面之间距圆柱的轴线为r处的电场强度大小为 Ql。在两个圆柱E=由电容的定义式可得圆柱形电容器的电容为 E的方向垂直于圆柱轴线。于是，两圆柱面间的电势差为 RQdrRBQU=lEdr=R=ln20lr20lRA BAQ

13、1=20r20lrdRA时，有RR+ddlnB=lnARARARA 于是圆柱形电容器的电容可写成：这正是平板电容器的电容。可见，当两圆柱面之间的间隙远小于圆柱体半径时，圆柱形电容器可当作平板电容器。（3）球形电容器：课本P100两半径分别为R1和R2 的同心金属球壳组成球形电容器，两球壳间为真空，求电容。 解：设内外球面分别带 +q 和-q 电量，由高斯定理得两极板间场强方向沿径向，大小为：q(R1rR2)E=40r2。 两极板间电势差为：2C20lRA0S=dd(圆柱体的侧面积S=2RAl)U12=由定义得：C0=1R2Edl=R1q40r=2q11-40 R1R240R1R2q=U12R2

14、-R140R120SC0=dd，和平板电容器一样。 （1)当R2-R1=dR1时，（2）当R2时C0=40R1，孤立球形电容器。三、电容器的并联和串联1. 电容器的并联qq=qi，V=Vi=i，C=CiCiii 并联电路总电容量增大，电容组耐压值不变。 2. 电容器的串联q=q1=q2=qi，V=Vi，i11= CiCi串联电路总电容量减少，电容组耐压值增大。但如其中一个被击穿，其余电容器会相继被击穿。 例9-3（P105）作业：P148第2题 P149第7题第四节 电介质及其极化重点：电介质的极化和极化强度矢量；电位移矢量；有介质时的高斯定理；有介质时电场强度的计算。难点：电位移矢量电介质：

15、指电阻率很大，导电性能很差的物质。例如：氢（气）、纯水（液）、云母（固）。 我们先从实验现象入手讨论电介质和静电场的相互作用规律。 一、电介质对电容的影响 相对电容率 1. 实验事实 相对电容率（1）如图所示，平板电容器极板间为真空时的电容为C0。若对该电容器充电至两极板间的电压为U0，则相应地极板上的电荷为Q= C0U0。此时若撤去电源，维持极板上的电荷Q不变，并使两极板间充满均匀的各向同性的电介质，由实验可测得两极板间电压U=U0r。（2）由平板电容器电容公式得：C=rC0，即在维持电容器两极板的电荷不变时，充满电介质的电容器的电容为真空电容的r倍。其中r为是一个没有单位的、大于1的纯数，

16、称为电介质的相对电容率。（3）定义：电介质的电容率=0r，r、都是表征电介质性质的。表9-1（P103）电介质的相对电容率和击穿场强值2. 电场强度的变化（1）把 U=U0r 两边同除以d得Ud=U0rdr 即可见，在两极板电荷不变的条件下，充满均匀的各向同性的电介质的平板电容器中，电介质内的电场强度为原来真空时电场强度的r。（2）当极板上加一定的电压时，极板间就有一定的电场强度，电压越大，电场强度也越大。当电场强度增大到某一最大值Eb时，电介质中分子发生电离，从而使电介质失去绝缘性，即电介质被击穿了。电介质能承受的最大电场强度Eb称为电介质的击穿场强，相应两极板的电压称为击穿电压Ub。Eb与

17、Ub的关系为 Eb=Ubd 。不同电介质的击穿场强是不同的。上述实验表明：插入电介质后两极板间电压减少，电场减弱了。电场减弱的原因可用电介质与外电场的相互影响，下面从微观结构上来解释。二、电介质的极化1. 电介质的电结构（1）电子被原子核紧紧束缚；（2）在静电场中电介质中性分子中的正、负电荷仅产生微观相对运动；（3）在静电场与电介质相互作用时，电介质分子简化为电偶极子。电介质由大量微小的电偶极子组成；（4）电介质在外电场中极化产生极化电荷产生附加电场作用于电介质达到静电平衡。2. 电介质的内部结构（1）有极分子，无外电场时，分子的正、负电荷中心不重合，分子具有固有电偶极矩。例如：H2O HCl

18、 CO SO2 。（2）无极分子，无外电场时，分子的正、负电荷中心重合，分子没有固有电偶极矩。例如：CO2 H2 N2 O2 He。3 电介质的极化（Polarization）（1）位移极化Displacement polarization主要是电子发生位移。（2）取向极化Orientation polarization：等效偶极子转向外电场的方向。4. 极化电荷Polarization charge （或束缚电荷boundcharge）下面看看外电场中的电介质极化的宏观效果：在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到其它带电体，也不能在电介质内部

19、自由移动。我们称它为束缚电荷E=E0或极化电荷。它不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。在外电场作用下，电介质出现束缚电荷的现象称为电介质的极化。（如何定量描述？） 5. 电晕现象的解释： 三、电极化强度宏观上，电介质极化程度用电极化强度矢量来描述。 1. 电极化强度矢量pi iP=limi是第i个分子的电偶极矩。 VV，其中（1）定义：p（2）P与的定量关系如图，在平板电容器两极板间的介质内沿着P方向取一长度为dl，横截面为dS的小-2P称为电极化强度。单位为：Cm。圆柱体，在其内部极化可视为是均匀的。因而该圆柱体具有电偶极矩为PdV=PdldS，根据定义它可视为两端具有电荷dS的电偶极

20、矩，因此PdS.dl=dSdl，即P=。可见均匀电介质中的电极化强度的大小等于极化产生的极化电荷面密度。 四、电介质中的电场强度 Q与Q0的关系1. 电介质中的电场强度E=E+EE0外电场E0，极化电荷产生的电场E，电介质内部的合场强E为：，E与0的方向相反，因此E的值为 E=E0-E。2. 极化电荷与自由电荷的关系E当两极板间充满均匀的各向同性的电介质后，在它的两个垂直于0的表面上分别出现正、负极化电E极板上自由电荷面密度为0。在放人电介质以前，自由电荷电场强度0的值为E0=00，荷，其电荷面密度为。相应的电场强度E的值为E=0。则由上式以及前面实验结果得EE=E0-E=0rE=即r-1E0

21、rr-10r=从而可得Q=亦即这就是极化电荷与自由电荷的关系。 3. 电极化强度与电场强度的关系（1）实验规律（2）和相对电容率r的关系 由E0=00较得：=r-1。、r、r-1Q0r对均匀线性介质有：P=0E，称为电介质的电极化率，是一个大于零的纯数。-1=r00=r0=rrr-1比，、P=0E、P=代入E0=rE可得：和（3）和r的讨论：课本P77。三者都是表征电介质性质的物理量，知道其中之一即可求得其它两个。并且普遍适用。例9-4（P113）第五节 电位移 有电介质时的高斯定理一、电位移矢量空间存在导体时，电场仍由自由电荷产生。高斯定理，场强环流定理仍然适用，且形式不变。存在电介质时，空

22、间电场由自由电荷和极化电荷共同产生。产生的静电场仍为有势场。静电场的环流定理仍然成立，即L。静电场中的高斯定理仍然成立（高斯面如图），形式变为：1ESdS=0(Q0+Q) 因为：所以： Edl=0 PdS=-dQSS(S内)， 0 1EdS=(S内) 即：S定义电场辅助矢量电位移（electric displacement）矢量： D=0E+P (0E+P)dS=Q00Q-10 PdSS 二、有电介质时的高斯定理 DdS=q0S(S内) 由上面讨论可得：通过电介质中任一封闭曲面 S 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，这就是有电介质时的高斯定理。三、讨论和说明P=ED=E+P得：

23、0对于各向同性电介质，把代入0 D=0E+P=0E+0E=0(1+)E注意到1+=r，且=0r，则有：-2D 2. 的单位：Cm DE3. 是一个辅助量，决定电荷受力的仍然是。当已知自由电ED荷的分布时，可先由高斯定理求出，再由上式求出电介质中的。1. 电位移D与场强E的关系 D=E要注意，描述电场性质的物理量仍然是电场强度E和电势V。QDD04. 通量与有关，而与Q0、Q均有关。 5. D线与E线不同，D线从正自由电荷出发，终止于负自由电 荷，而E线起止于各种正、负电荷，包括自由电荷和极化电荷。E0V06. 电介质中的场强和电势与真空中的场强和电势的关系（均匀电介质充满整个电场，或电介质表面

24、是等势面时） E=r，V=r而充满了电介质的电容为真空中电容的r布置作业 课本P.96第13题 课本P.97第18题例9-5：（课本P.121，请自学）例9-6：（课本P.123，请自学）例3：圆柱形电容器上由半径为R1的长直圆柱导体和与它同轴的薄导体圆筒组成，圆筒的半径为R2。若直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为r的电介质。设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+和-。求（1）电介质中的场强、电位移和极化强度； （2）电介质内、外表面的极化电荷面密度； （3）此圆柱形电容器的电容。DdS=D2rl=l解：（1）由对称性分析，电场为柱对称分布，根据介质中的高斯定理，有SD=2r。 可得： (R

25、1rR2)E=D=E=E2r0r0r由得电介质中场强为：电介质中极化强度为：P=(r-1)0E=E=20rr（2）由(r-1)2rr(R1rR2)得知电介质两表面处的场强分别为：E1=20rR1(r=R1)E2=和由P=e0E和=P得电介质两表面极化电荷面密度的值分别为：2rR1=(r-1)0E2=(r-1)22rR2=(r-1)0E1=(r-1)1（3）圆柱形电容器两极板间的电势差为20rR2(r=R2)R2U=Edl=R1drR=ln220rr20rR1C=得电容Q=Ulln220rR1Cl=20rlln2R1，C=rC0单位长度电容为：20rRln2R1。第六节*电场的边值关系一、电场的

26、边值关系：1、 定义：普遍情况下，将描述静电场的两个普适定理应用到电介质的分界面上，得出电位移D 和场强E在靠近界面两侧处的量值的变化关系，这就是通常所说的电场的边值关系。2、 规律：（书P128图9-35）设分界面两侧的电位移D1和D2的方向与分界面法线的夹角分别为1和2。作图中圆柱形闭合面S，其轴线与分界面正交，圆柱底面紧贴分界面的两侧，底面积S0，闭合面内的自由电荷为零，所以通过此闭合曲面的电位移通量等于零。圆柱高度极度短，侧面的电位 移通量可以略去，椐高斯定理得：DdS=-D1cos1S0+D2cos2S0=0s所以 D1cos1=D2cos2 （9-27a）即 D1n=D2n (9-

27、27b)结论：电介质分界面上没有自由电荷时，电位移的法向分量在分界面的两侧是相等的。 对均匀电介质D=E，则有1E1n=2E2n （9-28）AD段很短接近零可略去。 椐场强环路定理（P128图9-36）知：静电场中沿任意闭合回路E的线积分为零。回路和 Edl=E1sin1AB-E2sin2CD=0得 E1sin1=E2sin2E1t=E2t （9-29）结论：电介质分界面的两边电场强度的切向分量是相等的。 D由 E= 得： 第七节 电荷间的相互作用能 静电场的能量一、电容器的电能如图所示，平行板电容器正处于充电过程中，设在某时刻两极板之间的电势差为U，此时若继续把+dq电荷从带负电的极板移到

28、带正电的极板时，外力因克服静电力而需作的功为：dW=Udq=直至电容器两极板分别带有Q的电荷时，外力所作的总功为：1QQ2W=0qdq=C2C该功使电容器的能量增加，即电容器贮存的电能为：1qdqC可见，在电容器的带电过程中，把非静电能转换为电容器的电能了。二、静电场的能量 能量密度从电场的观点来看，带电体或带电系统的能量也就是电场的能量。平行板电容器的极板面积为 11S，间距d，则此电容器贮存的能量为11S11We=CU2=(Ed)2=E2Sd=E2V22d22式中V表示电容器内电场空间所占的体积。在静电场中，“电荷是能量的携带者”与“能量的携带者应当是电场”这两种观点是等效的。但对于变化的电磁场来说，惟有认为电磁波能量的携带者是电场和磁场。因此如果某一空间具有电场，那么该空间就具有电场能量。所以电场的能量应以电场强度来表述。1. 能量密度单位体积内所贮存的电场能量，亦即电场能量密度为：2. 静电场的能量we=We121=E=DEV22例题1：（课本P.84，请自学）1We=VwedV=V(DE)dV2第八节 铁电体 压电体 永电体静静电电学学复复习习 第一节 电场强度一、内容提要1. 电场强度FE=q0F1Q E=er2q4r002. 点电荷的场强公式3. 场强叠加原理点电荷系在某点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点分别产生