瓦尔拉斯一般均衡的稳定性.docx

1、瓦尔拉斯一般均衡的稳定性完全竞争市场的均衡问题完全竞争市场模型在经济学对厂商行为的研究中通常是作为基准模型(benchmark model)而存在的。这一模型的数学表达主要涉及无约束极值的求 解。对完全竞争市场的界定通常由以下几个要点来完成：市场存在着大量的买者和 卖者，都作为价格的接受者存在；长期范围内，新的厂商可以无任何障碍地自 由进入市场；产品同质，即所有厂商生产标准化的产品；消费者和生产者都 拥有完全信息。本节主要通过求解无约束极值来分别讨论短期和长期内完全竞争市场中的均衡问 题。问题主要集中在对厂商产出利润最大化的求解，以及这些产出如何随市场价 格的变化而变化。价格与单个厂商之间的关

2、系通常被定义为其想象的供给函数(perceived supply function)。然后在厂商个别均衡行为的基础上考察市场总供 给与价格的关系。431短期情形短期内厂商生产函数中的资本投入固定、劳动投入可变，则可以认为厂商的成本 中有一部分为固定成本，这个固定成本即为资本投入，它不随产量的变化而变 化，剩下的则是可变成本，随着产量的变化而变化。这时可以令厂商短期的成本 函数为CF CO Q0 ,其中CF为固定成本，CO Q0为随短期产量Q0变化 的可变成本。在完全竞争情况下，厂商只能接受不变的市场价格P,其产出不能 影响市场价格。厂商的总收益函数为RO PQ0,因此厂商的利润函数为QO R

3、QO CO QO CF(4.3.1)根据无约束最优化原理，最大化利润产量Q0*要满足一阶条件：*QO R QO* CO QO* P CO QO* 0(4.3.2) 二阶条件：*QO CO QO* 0(4.3.3)*在QO 0的情况下，一阶条件(432)表明短期边际成本(SRMC)要等于P (边*际收益)，二阶条件(433)则要求在Q0处SRMC増加。如图4.3.1, (I)中描绘了总收益、成本和利润函数；(II)中描绘的是边际成本和平均成本函数。其中对应给定价格P的横线是需求曲线，反映出厂商关于其产 出变动不会影响市场价格的看法，同时它又是厂商的边际收益。因为在现存的产 量下，更多的产出可以以

4、相同的价格出售，所以总收益曲线的斜率，即收益 随产出变化的比率，也就是边际收益不变。处也能满足，但此时厂商利润最小，实际上必要条件(4.3.2)在图中的Q0 因此需要充分条件(4.3.3)来保证利润达到极大，下面的分析都假定条件(4.3.3)得到满足。求解(4.3.2)式，可以得到*1 P SO P , QO CO(4.3.4)*I P CO QO这是厂商的短期供给函数。由于dCO 0,所以厂商 的产量会随市场价格的提高而增加。现在假设厂商的固定成本变为F1.如图431 ；此时厂商的总成本为图中C1 线，它全部位于收益曲线的上方，因此短期内利润为负。那么厂商是否要停产 呢？这时,厂商的目标是要

5、保证损失最小化(loss minimizing)。注意到固定成本不*管在任何产出水平都要支付，即 0 CFO因此当且仅当Q0 0时，厂*商选择生产Q0o也就是说，如果*QO PQO* CO QO* CF CF或P*CO QO *QO*AVC QO ,(4.3.5)*则厂商应该生产Q0。虽然此时生产不能带来正的利润，但是能够抵消一部分固 定成本。如果PCO QO *QO*AVC QO ,(4.3.6)则厂商生产带来的亏损大于固定成本支出，生产毫无意义。此时其应该选择的最 优产量Q0 0,即不生产。成厂商短期内平均可变成本的最低点为停产点(shutdownpoint) 。令P0 minAVC,则P

6、0就是停车价格，当市场价格低于P0时厂 商停产。由此，可知短期内厂商的供给函数为0 0,0 P PQ0 0 P 0 SO P , P P(4.3.7)(4.3.7)式同时反映了厂商的短期均衡。现在考虑整个市场情况。设短期内市场里有H个厂商。各厂商有不同的成本情 况，设第i个厂商的平均可变成本的最低点为PiO,生产时的最优产量为* 1 QO CiO P SOi P ,则由上面分析知短期内厂商的供给函数为0 0,0 P PQOi 0i P OSP,P P i Oi而整个市场的短期供给函数则为市场中各厂商短期供给函数的加总QO Oi Pi 1H(4.3.8)显然在市场价格地用于所有厂商的平均可变成本

7、的最点点的情况下，市场总供给 等于零。当市场价格上升时，会有越来越多的厂商开始生产，并且产量随着价格 的提高而提高，这样市场的总供给也増大。另一方面，对于整个市场而言，需求 函数Qo D P是一条倾斜向下的曲线，综合考虑两者就能够得到短期内市场 的均衡点。此时平均成本最低点低于该价格的厂商能够获得超额利润。4.3.2长期情形长期内厂商可以综合考虑生产函数中资本和劳动投入，可以随意调整要素投入以 实现最大化利润，此时与短期情形最大的差别就是没有固定成本。另一方面，厂 商的短期决策中价格给定不变，而在长期情况，厂商可以根据未来预期价格决定 其投入和产出的计划，进而做出投资决策。如果几乎的资本投入大

8、于当前现有规 模厂商会增加其资本投入。令厂商长期的成本函数为Cl QI , P1是厂商预期的未来产出价格，则长期的 利润最大化是要解决max QI R1 QI C QI PQ11 C Q1(4.3.9)令Q1*满足*P1 Cl QI 0(43.10)Cl QI* 0(4311)则QI*为使利润最大化的产量。长期产出最大化的必要条件(4.3.10)和充分必 要条件(4.3.11)表明长期内利润最大化要求厂商预期价格P1等于长期边际成本 LRMC,同时在该产量边际成本的变化率要大于零。由(4.3.10)式求出Q1*关于P1的表达式，得到厂商想象的长期供给函数1 PQ1* Cll SI P1(43.

9、12)由于在长期内成本都是可变的，则零产出意味着零利润。如果厂商未来预期价格 P1小于最低平均成本，则任何产出都会带来亏损，因此厂商必然选择零产出。令 0*0Pl minLRAC Cl QI 1,则Pl为厂商长期停产价格。厂商想象的供给 函数为1 0,0 P P0Q1 1 P 1SP,P P 0 1(4313)1图4.3.2刻画了这一想象的供给函数：该函数是一分段函数，当P P0时厂10商的供给函数为LRAC线；当0 P P0时为纵轴，(O,P1)是间断点。虽然厂商认为自己在长期的供给函数为(4313)的形式，但是厂商的长期均衡 并不一定会处在这条曲线上。因为长期内要考虑新厂商进入市场的可能，

10、故市场 的长期供给曲线并非各厂商想象的供给曲线的水平加总。为了说明该问题，我们 做如下假设：1)在一定时期市场中所有的厂商均拥有相同的成本函数；2)新进入的厂商与市场中已有厂商有相同的生产数、面临同样的要素价格，因此 他们必然有相同的长期成本函数；3)所有的厂商都有相同的预期价格。1如图4.3.2,如果Pl P0,所有厂商将预期获取超额利润。于是新的厂商会 进入，这将带来下一期攻击的扩张，从而导致价格降低。只要下一期的价格处在 LRAC最低点之上，新厂商就会不断进入，直到价格等于其最低长期平均成本。 00反之，价格P1旦低于P1,市场中就会有厂商退出，直到Pl P1。所以市 场处于长期均衡状态

11、要求：1)市场中每个厂商在相同预期价格下开展生产以最大化其利润；2)在于其价格水平厂商没有利润或亏损，因而不会有进入或退出行为；3)厂商在本期的计划和预期在下一期一定会实现。祜用P1表示长期均衡价格，Q1表示每个厂商的产出。上述要求(1)意味着* *P1 Cl QI ;(43.14)要求(2)意味着*P1 Cl QI QI ；(43.15)要求(3)意味着*D Pl nQl,(4.3.16)其中D 是市场需求函数，n*是均衡状态下厂商的数量。前两个条件意味着每个厂商的均衡必须处于LRAC曲线的最底端，此时 LRMC=LRACO由于所有厂商的成本函数相同，则每个厂商的产量相同，所以市 场的供给是

12、每个厂商的产出乘上厂商数量。由此得到条件(3),其决定了了均 衡状态厂商的数量。这是由于均衡价格等于厂商LRAC的最小值、完全由技术和 要素价格决定，不受市场需求影响。当要素价格给定不变时，长期的市场供给曲 线是一条水平线，市场需求的变化只改变市场交易量的多寡而不改变长期均衡价 格。如图4.3.3, (D部分是厂商的均衡、(ID为市场均衡。(H)中初始市场需求 为DO P 、市场均衡点在E0。假设一未被预期的正需求冲击使DO P右移 至DI P 。短期内市场中的厂商为利润最大，将沿着短期供给曲线増加产出， 短期均衡价格上升到P1、大于短期平均成本最小值，厂商能够获取短期超额利 润。市场供给曲线

13、是市场中所有厂商短期边际成本线的水平加总。市场中已有厂 商和潜在进入厂商对预期价格的形成方式将起决定性作用。假定这些厂商都天真地认为长期内价格将一直稳定在P1,则已有和新进入厂 1商都计划生产图433 (I)中的产量Q1,相应地会增加产量。这样到下一期， 相对于需求DI P将会有大量的过剩供给，产岀价格将下降，天真的厂商将计 划减产(对这种不均衡调整的过程的分析主要差分方程，不是本节的重点)。然 而由长期均衡条件(4.3.14) (4.3.16)可知，如果达到新的均衡，价格必为 P*、和产量必为nl。不管出现何种对长期均衡的绕动，初始均衡Q1,见图4.3.3(II)下市场中的任一厂商在市场达到

14、新的状态后仍然提供相同数量的产出，新增的供 给是新进入厂商各自生产Q1*单位产出的结果。如果厂商具有理性预期，市场需求的变化将推动市场直接移至新的长期均衡点。 以上分析基于新进入厂商和已有厂商有完全相同的生产函数以及要素投入价格在 产出增加时保持不变的假定。放松其中的任一条都将带来长期市场供给曲线的改 变。仍然假设新进入厂商与已有厂商有相同的生产函数，但劳动价一工资率 岁市场的扩张而提高，这意味着每个厂商的边际成本、平均成本将上升。长期均 衡条件仍然成立，长期市场供给曲线将是一系列如图4.3.4 (II)中均衡状态的轨 迹。在初始状态，需求函数为DO P ,市场均衡价格为P0,每个厂商产出为

15、Q10,市场总产出为nOQlO, nO为市场初始均衡时厂商数量。如果市场需求 增加至DI P ，短期内产出价格将沿着短期供给曲线上升，带来厂商的超额利 润。生产能力和长期产出的增加将提升工资率，从而带来厂商成本曲线的上移， 见图14.3.4 (II)。在价格为P1、总产出为nlQl的新长期均衡状态，条件(4.3.14) (4.3.16)再次得到满足。但是此时每个厂商的产量有所下降，因为成本提高 了。总之，在成本递增的情况下，市场的长期供给曲线不再是水平的、而具有正 斜率。同理可以说明，在成本递减的情况下，市场长期供给曲线的斜率为负。 局部市场均衡的稳定性分析 局部市场均衡分析实在假定其他因素不

16、变的前提下，研究一种商品或者单独一个 系统的均衡问题。稳定性问题是指，若市场或系统处于不平衡状态，它是否会自 动趋于均衡状态呢？或者系统处于均衡状态，某种干扰打乱了这种均衡，它还会 回到均衡状态？ 现在我们考察下面的连续价格调整的需求与供给模型：Qd a bP, b 0(6.4.1)Qs c dP, d 0(6.4.2)dP Qd Qs dt,(6.4.3)dP其中需求量Qd,供给量Qs和价格P都被认为是连续时间变量。dt表示了价格随 着时间的变化速度，Qd Qs表示了超额需求。因此(6.4.3)式表示价格随时间 的变化率与超额需求成正比，的大小反映了这种价格反馈的灵敏度。由(641) (6.

17、4.3)有dP a c b d P dt.(6.4.4)dP Odt该动态系统的均衡点由确定，并且在该点处有均衡价格为P* c a b d, 均衡数量为Q* be adb d.我们现在来讨论该系统的稳定性。设实际价格与均衡价格之偏差为P P*.则有dPdP*dtdtdt.由(644)式有* a c b dP a c b dP b d ,dt解这个方程，得到通解为0 b d t,其中为常数，表示t 0时的初始价格与均衡价格的偏差。在利他的假定前提下，商品的供给差越大，价格越下降，即0o因此，随丹时何趋于无趴 i 沁 “TO, P-0,即 PtF这是一个单调非震荡的收敛过程。收敛随度取决于 b d

18、O也就是说对于该模型中的正常商品，无论实际价格偏离均衡价格多远，当t时,都有P P*。此时，P*这一均衡点是稳定的并且是唯一的均衡点。从以上讨论可以看出，保证系统均衡存在的前提条件是dP 0有解，P P*dt存在。为了更好的研究稳定性问题，我们针对一般的情形来讨论，设X t f X t 如果X t 0,则所则有x t x*f x 0存在解x*, 为系统的解。我们就称x*为均衡点或是不动点、静止点。在上述的连续价格调整 的需求与供给模型(6.4.1) (6.4.3)中有且只有一个均衡点。我们现在来考察以下的一个逻辑增长方程：x t kx a x *由只 t 0解得，xl 0, x2 ao与前述的

19、简单连续供求模型不同，这里 出现了两个均衡点，即多重均衡问天。现在，我们来研究上述两个均衡点。我们分 别画出x t的图形，图6.4.2是它的相线图。我们作以下分析。祜对于xl在该点的右侧领域内，当t dxdt 0, 0点，0 时，x会远离xl*点。因此，X1 0点不是一个吸引点，我们称该点为排斥点。*对于x2 a,在该点的左侧领域内，dxdt 0,当t a时，x会趋近x2*点。因此，x2 a点是一个吸引点。均衡点是稳定的是指，任意一条从均衡点领域开始的轨迹在未来所有时间里仍保 持在均衡点附近。对满足上述定义的这种稳定的均衡点，我们也说是渐进稳定 的。同样，对任意一个开始时靠近均衡点，当当t 时

20、到达均衡点的轨迹*也是渐进稳定的。很明显上述逻辑方程中，x2 a点是一个渐进稳定均衡点。 *图6.4.2还显示了有关均衡点的另一个特性。初始点xl 0是一个排斥点而 *x2 a是一个吸引点。在排斥点xl 0的领域内，微分方程有一个正的斜率。 在那吸引点x2 a的领域内，微分方程有一个负的斜率，这是系统稳定或不稳定的 典型特征。也就是说，当在均衡点领域的微分方程是正的斜率时，这个均衡点就 是不稳定的；当均衡点领域的微分方程是负的斜率时，这个均衡点就是稳定的。 用dxdx 0,右侧有0。数学表达式，即在该均衡点左侧有dtdt 在上述逻辑增长方程x t kx a x所描述的系统中，存在两个均衡点，这

21、是系统稳定还是不稳定就必须针对特定的均衡点而言，因而在多个均衡点的情 形下，我们只能说系统局部稳定或局部不稳定，即只有在特定均衡点的领域内才 论及系统特性。而完全稳定或是完全不稳定则只针对单个均衡点的系统才有意 义。例6.4.1如果所需的货币只用来交易，那么Md kP t Q(6.4.5)这里k是一个常数，P是价格水平，Q是实际产出。假定货币供需平衡，即 Ms Md,并且Ms是由金融机构外生决定的。若通货膨胀或价格的变化是和社 会上对产品的超额需求成正比例的，又根据Walras定理，对产品的超额需求等于 货币的过量供给，那么dP t b Ms Md dt(6.4.6)求实际产出Q为一个常数时，

22、该系统的平稳条件。解将(6.4.5)代入(6.4.6)得dP t b Ms kP t Q dt(6.4.7)dP t 0可知均衡价格为由dtPe Ms kQ令p t Pe.(6.4.8)由线性方程的叠加原理知 dt求解这个方程得到Ae bkQt,其中A为任意常数。因为b,k,Q 0,当t 时，0。因此系统是稳定的。例6.4.2讨论方程 dk f k saka n k, n 0, 0t 0 1 dt所表示的系统均衡的稳定性。解通过求解f k 0可以得到两个均衡点，即sa * kl* 0, k2 n 1 a 1首先考察kl* O.f k在点kl* 0处的导数为limk 0 f k f 0 sak

23、n k lim lim asaka 1 nkkk Ok 0而且limf k lim asakk 0 a lk 0 n ,于是在kl* 0的右侧有dk 0.故kl* 0不是稳定的均衡点。dt1 a 1 sa * 其次考察k2.f k在点k2处有一个负的斜率。于是在均衡点k2 ndkdk* 0,均衡点右侧有0o故均衡点k2的左侧有是局部稳定的。dtdt 对于系统或市场的局部稳定性的分析关键在于求出均衡点，然后运用我们所讨论 的方法来讨论它的稳定条件。瓦尔拉斯一般均衡的稳定性传统的古典经济学中考察产品市场和要素市场的均衡时，采用的是部分均衡分析 法，即假定每一种商品的价格都是由该商品的供给曲线和需求

24、曲线决定的，那里 分析的对象是单一市场、单种商品的供需与价格，其他商品的情况被暗中假设为 不变的。但是经济体作为一个整体，其各个组成部分之间总是相互联系在一起 的，任何局部的变化总会影响到其他各个方面，将所有产品市场和要素市场联系 在一起来分析所有商品价格相互影响共同达到均衡的过程及其条件，就是一般均 衡的分析方法。根据这一方法建立的理论就是一般均衡理论。本节将讨论的是一般均衡理论。每种商品的需求函数和供给函数，不仅依赖于该 种商品的自身价格，而其依赖于所有或部分其他商品的价格。例如，猪肉的需求 和供给，不仅依赖于猪肉的自身价格，而且依赖于牛肉、鸡蛋、粮食、化肥、能 源等商品的价格。假设有m种

25、商品，它们的价格分别为Pl, P2, Pm,这个m歌价格是相互影 响的，它们的需求函数为Qdj Qdj(Pl,P2, ,Pm), j 1,2, ,m,(921)供给函数为Qsj Qsj(Pl,P2, ,Pm), j 1,2, ,m,(9.2.2)超额需求函数为Ej Ej(Pl,P2, ,Pm) Qdj Qsj, j 1,2, ,m,(923)满足均衡条件Ej Ej(Pl,P2, ,Pm) 0, j 1,2, ,m,(9.2.4)eee的点Pe (P1,P2, ,Pm),称为价格体系的均衡点，或均衡状态，或何曾为均 衡价格向量。这是，各种商品的超额需求均为零，供需打到平衡。对于均衡点 eeePe

26、 (P1,P2, ,Pm),我们分别分析两种稳定性：静态稳定性和动态稳定性，然 后再作比较。921瓦尔拉斯一般均衡的静态稳定性分析般均衡分析的基本假设是：某种商品的价格变化正向依赖于对它的超额需求； 反之，对某种商品的超额需求反响依赖与它的价格变化。在作静态分析时，均衡 点的稳定性条件为dEj dP jdEj 其中 dP j Oj 1,2, ,m, e (9.2.5) dEj Ejc 表示倒数在均衡点P处的值。这里没有用偏导数，是考虑 dP Pjj e 到如下的事实：某种商品价格的改变，不仅会影响到对该种商品的超额需求，原 则上也将影响对其他商品的需求，从而影响其他商品的价格，(9.2.5)成

27、立的条 件可以区分为两种情形，分别称之为不完全稳定性和完全稳定性。1 不完全的静态稳定性定义921当第j种商品的价格Pj发生变化时，其余m 1种商品的价格也相应地 发生变化，并使这m 1个市场恢复均衡(超额需求为零),这时若有dEj dPj 0,eee则称(924)的均衡点Pe (P,或称市场1,P2, ,Pm)为不完全稳定的(静 态)体系(9.2.1) (9.2.3)是不完全稳定的。部分均衡的假设是：当第j种商品的价格Pj发生变化时，其余m 1种价格保持 不变，并有EjPj 0o注意两者的区别。在均衡点处，求超额需求函数关于价格的偏导数，记为Ei(P 1,P2, ,Pm)aij (i,j 1

28、,2, ,m) P j e令A (aij), D aij,Djj D中ajj的代数余子式(j 1,2, ,m),其中D为超额需求函数Ei(Pl,P2, ,Pm啲雅克比行列式。不难证明下列结论。 定理921市场体系(921) (9.2.3)是不完全稳定的的充分必要条件是：雅克 比行列式D与其所有m 1阶代数余子式DjjQ 1,2, ,m)异号，即有D 0(j 1,2, ,m) Djj证明考虑商品j.对于超额需求函数Ej在均衡点Pe处求全微分，注意到不完全稳 定性定义中假设：dEi 0(i 1,2, ,m,E.i j)于是，我们有=如刃? + +Qi-dP + +ctdP = 0 ,II I II

29、 I(DAI dP二亠 dE、 D ；f D m D 其中Djk是D中元素ajk的代数余子式。从上式中的第j式知dEjdPj D 0 (j 1,2, ,m). Djj(9.2.7)因此，当且仅当D与Djj异号时，条件(9.2.5)才能成立。这就证明了 ：不完全 稳定的充分必要条件是雅克比行列式D的所有m I阶主子式Djj与D异号。2 .完全的静态稳定性定义922当第j种商品的价格发生变化时，引起另外k种(k 0,1, ,m 1)商 品的价格也发生变化(其余m k 1种商品的价格不变)，并旦当这k种市场恢 复均衡(超额需求为零)后，若有dEjdPj 0,则称市场体系(921) (9.2.3)的e

30、ee均衡点Pe (P1,P2, ,Pm)是完全稳定的。在定义922中，取k m 1,就是得到不完全稳定性；取k 0,即其余m 1 种价格不变，即得到“部分均衡的稳定性”。定理922市场体系(9.2.1) (923)完全稳定的充分必要条件是：雅克比行列 式D的所有r阶主子式的符号与(1)1相同，r 1,2, ,m,即 a. 0,%血(9.2.8)其中j,h,s 1,2, 为任意不相等的下标。称(9.2.8)为希克斯条件，称满足(9.2.8)的矩阵aij为希克斯矩阵。 证明(1)当k 0时.设第j种价格发生变化，其余m 1种价格不变。这时有 dPi 0 (i 12 ,m;i j).因此,对(9.2.4)微分后，得J cE :dE = - dP = a .dP , “ 6P. “ 八dE*严寻Pi/P.、i cP $ 丫V, j E由上面的第j式和(9.2.5)式可知dEjdPj ajj 0, j 1,2, ,m这就是说D的一阶主子式，其符号与(1)1相同。（2） 当k 1时.设第j种价格发生变化时，只引起另外一种价格（不妨设为Ph）发生变化，其余m 2种价格不变。当第h个市场恢复均衡后，有込=勺丐+如昭=0 由此解得dPj ahh dEj, ajjajhahj ahh ajhahhahh0.因此有 aJJdEjdPjah