瓦尔拉斯一般均衡的稳定性.docx
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瓦尔拉斯一般均衡的稳定性
完全竞争市场的均衡问题
完全竞争市场模型在经济学对厂商行为的研究中通常是作为基准模型
（benchmarkmodel）而存在的。
这一模型的数学表达主要涉及无约束极值的求解。
对完全竞争市场的界定通常由以下几个要点来完成：
①市场存在着大量的买者和卖者，都作为价格的接受者存在；②长期范围内，新的厂商可以无任何障碍地自由进入市场；③产品同质，即所有厂商生产标准化的产品；④消费者和生产者都拥有完全信息。
本节主要通过求解无约束极值来分别讨论短期和长期内完全竞争市场中的均衡问题。
问题主要集中在对厂商产出利润最大化的求解，以及这些产出如何随市场价格的变化而变化。
价格与单个厂商之间的关系通常被定义为其想象的供给函数
（perceivedsupplyfunction）。
然后在厂商个别均衡行为的基础上考察市场总供给与价格的关系。
431短期情形
短期内厂商生产函数中的资本投入固定、劳动投入可变，则可以认为厂商的成本中有一部分为固定成本，这个固定成本即为资本投入，它不随产量的变化而变化，剩下的则是可变成本，随着产量的变化而变化。
这时可以令厂商短期的成本函数为CFCOQ0,其中CF为固定成本，COQ0为随短期产量Q0变化的可变成本。
在完全竞争情况下，厂商只能接受不变的市场价格P,其产出不能影响市场价格。
厂商的总收益函数为ROPQ0,因此厂商的利润函数为
QORQOCOQOCF
（4.3.1）
根据无约束最优化原理，最大化利润产量Q0*要满足一阶条件：
*
QORQO*COQO*PCOQO*0
（4.3.2）二阶条件：
*
QOCOQO*0
（4.3.3）
*
在QO0的情况下，一阶条件（432）表明短期边际成本（SRMC）要等于P（边*际收益），二阶条件（433）则要求在Q0处SRMC増加。
如图4.3.1,（I）中描绘了总收益、成本和利润函数；（II）中描绘的是边际成本
和平均成本函数。
其中对应给定价格P的横线是需求曲线，反映出厂商关于其产出变动不会影响市场价格的看法，同时它又是厂商的边际收益。
因为在现存的产量下，更多的产出可以以相同的价格出售，所以总收益曲线的斜率，即收益随产出变化的比率，也就是边际收益不变。
"处也能满足，但此时厂商利润最小，实际上必要条件（4.3.2）在图中的Q0因此需要充分条件（4.3.3）来保证利润达到极大，下面的分析都假定条件
（4.3.3）
得到满足。
求解（4.3.2）式，可以得到
*
1PSOP,QOCO
（4.3.4）
*
IPCOQO这是厂商的短期供给函数。
由于dCO0,所以厂商的产
量会随市场价格的提高而增加。
现在假设厂商的固定成本变为F1.如图431；此时厂商的总成本为图中C1线，它全部位于收益曲线的上方，因此短期内利润为负。
那么厂商是否要停产呢？
这时,厂商的目标是要保证损失最小化（lossminimizing）。
注意到固定成本不
*管在任何产出水平都要支付，即0CFO因此当且仅当
Q00时，厂
*商选择生产Q0o也就是说，如果
*
QOPQO*COQO*CFCF
或
P
*
COQO*
QO
*
AVCQO,
（4.3.5）
*
则厂商应该生产Q0。
虽然此时生产不能带来正的利润，但是能够抵消一部分固定成本。
如果
P
COQO*
QO
*
AVCQO,
（4.3.6）
则厂商生产带来的亏损大于固定成本支出，生产毫无意义。
此时其应该选择的最优产量Q00,即不生产。
成厂商短期内平均可变成本的最低点为停产点（shutdownpoint）。
令P0minAVC,则P0就是停车价格，当市场价格低于P0时厂商停产。
由此，可知短期内厂商的供给函数为
00,0PPQ00P0SOP,PP
（4.3.7）
（4.3.7）式同时反映了厂商的短期均衡。
现在考虑整个市场情况。
设短期内市场里有H个厂商。
各厂商有不同的成本情况，设第i个厂商的平均可变成本的最低点为PiO,生产时的最优产量为
*1QOCiOPSOiP,则由上面分析知短期内厂商的供给函数为
00,0PPQOi0iPOSP,PPiOi
而整个市场的短期供给函数则为市场中各厂商短期供给函数的加总
QOOiP
i1H
（4.3.8）
显然在市场价格地用于所有厂商的平均可变成本的最点点的情况下，市场总供给等于零。
当市场价格上升时，会有越来越多的厂商开始生产，并且产量随着价格的提高而提高，这样市场的总供给也増大。
另一方面，对于整个市场而言，需求函数QoDP是一条倾斜向下的曲线，综合考虑两者就能够得到短期内市场的均衡点。
此时平均成本最低点低于该价格的厂商能够获得超额利润。
4.3.2长期情形
长期内厂商可以综合考虑生产函数中资本和劳动投入，可以随意调整要素投入以实现最大化利润，此时与短期情形最大的差别就是没有固定成本。
另一方面，厂商的短期决策中价格给定不变，而在长期情况，厂商可以根据未来预期价格决定其投入和产出的计划，进而做出投资决策。
如果几乎的资本投入大于当前现有规模厂商会增加其资本投入。
令厂商长期的成本函数为ClQI,P1是厂商预期的未来产出价格，则长期的利润最大化是要解决
maxQIR1QICQIPQ11CQ1
（4.3.9）
令Q1*满足
*P1ClQI0
（43.10）
ClQI*0
（4311）
则QI*为使利润最大化的产量。
长期产出最大化的必要条件（4.3.10）和充分必要条件（4.3.11）表明长期内利润最大化要求厂商预期价格P1等于长期边际成本LRMC,同时在该产量边际成本的变化率要大于零。
由（4.3.10）式求出Q1*关于P1的表达式，得到厂商想象的长期供给函数
1PQ1*CllSIP1
（43.12）
由于在长期内成本都是可变的，则零产出意味着零利润。
如果厂商未来预期价格P1小于最低平均成本，则任何产出都会带来亏损，因此厂商必然选择零产出。
令0**0PlminLRACClQI1,则Pl为厂商长期停产价格。
厂商想象的供给函数
为
10,0PP0Q11P1SP,PP01
（4313）
1图4.3.2刻画了这一想象的供给函数：
该函数是一分段函数，当PP0时厂
10商的供给函数为LRAC线；当0PP0时为纵轴，（O,P1）是间断点。
虽然厂商认为自己在长期的供给函数为（4313）的形式，但是厂商的长期均衡并不一定会处在这条曲线上。
因为长期内要考虑新厂商进入市场的可能，故市场的长期供给曲线并非各厂商想象的供给曲线的水平加总。
为了说明该问题，我们做如下假设：
1）在一定时期市场中所有的厂商均拥有相同的成本函数；
2）新进入的厂商与市场中已有厂商有相同的生产数、面临同样的要素价格，因此他们必然有相同的长期成本函数；
3）所有的厂商都有相同的预期价格。
1如图4.3.2,如果PlP0,所有厂商将预期获取超额利润。
于是新的厂商会进入，这将带来下一期攻击的扩张，从而导致价格降低。
只要下一期的价格处在LRAC最低点之上，新厂商就会不断进入，直到价格等于其最低长期平均成本。
00反之，价格P1—旦低于P1,市场中就会有厂商退出，直到PlP1。
所以市场处
于长期均衡状态要求：
1）市场中每个厂商在相同预期价格下开展生产以最大化其利润；
2）在于其价格水平厂商没有利润或亏损，因而不会有进入或退出行为；
3）厂商在本期的计划和预期在下一期一定会实现。
祜用P1表示长期均衡价格，Q1表示每个厂商的产出。
上述要求
（1）意味着
**P1ClQI;
（43.14）
要求
（2）意味着
***P1ClQIQI；
（43.15）
要求（3）意味着
***DPlnQl,
（4.3.16）
其中D是市场需求函数，n*是均衡状态下厂商的数量。
前两个条件意味着每个厂商的均衡必须处于LRAC曲线的最底端，此时LRMC=LRACO由于所有厂商的成本函数相同，则每个厂商的产量相同，所以市场的供给是每个厂商的产出乘上厂商数量。
由此得到条件（3）,其决定了了均衡状态厂商的数量。
这是由于均衡价格等于厂商LRAC的最小值、完全由技术和要素价格决定，不受市场需求影响。
当要素价格给定不变时，长期的市场供给曲线是一条水平线，市场需求的变化只改变市场交易量的多寡而不改变长期均衡价格。
如图4.3.3,（D部分是厂商的均衡、（ID为市场均衡。
（H）中初始市场需求为DOP、市场均衡点在E0。
假设一未被预期的正需求冲击使DOP右移至DIP。
短期内市场中的厂商为利润最大，将沿着短期供给曲线増加产出，短期均衡价格上升到P1、大于短期平均成本最小值，厂商能够获取短期超额利润。
市场供给曲线是市场中所有厂商短期边际成本线的水平加总。
市场中已有厂商和潜在进入厂商对预期价格的形成方式将起决定性作用。
假定这些厂商都天真地认为长期内价格将一直稳定在P1,则已有和新进入厂1商都计划生产图433（I）中的产量Q1,相应地会增加产量。
这样到下一期，相对于需求DIP将会有大量的过剩供给，产岀价格将下降，天真的厂商将计划减产（对这种不均衡调整的过程的分析主要差分方程，不是本节的重点）。
然而由长期均衡条件（4.3.14）~（4.3.16）可知，如果达到新的均衡，价格必为P*、
和产量必为nl。
不管出现何种对长期均衡的绕动，初始均衡Q1,见图4.3.3
（II）
下市场中的任一厂商在市场达到新的状态后仍然提供相同数量的产出，新增的供给是新进入厂商各自生产Q1*单位产出的结果。
如果厂商具有理性预期，市场需求的变化将推动市场直接移至新的长期均衡点。
以上分析基于新进入厂商和已有厂商有完全相同的生产函数以及要素投入价格在产出增加时保持不变的假定。
放松其中的任一条都将带来长期市场供给曲线的改变。
仍然假设新进入厂商与已有厂商有相同的生产函数，但劳动价一工资率岁市场的扩张而提高，这意味着每个厂商的边际成本、平均成本将上升。
长期均衡条件仍然成立，长期市场供给曲线将是一系列如图4.3.4（II）中均衡状态的轨迹。
在初始状态，需求函数为DOP,市场均衡价格为P0,每个厂商产出为Q10,市场总产出为nOQlO,nO为市场初始均衡时厂商数量。
如果市场需求增加至DIP，短期内产出价格将沿着短期供给曲线上升，带来厂商的超额利润。
生产能力和长期产出的增加将提升工资率，从而带来厂商成本曲线的上移，见图
14.3.4（II）。
在价格为P1、总产出为nlQl的新长期均衡状态，条件（4.3.14）~（4.3.16）再次得到满足。
但是此时每个厂商的产量有所下降，因为成本提高了。
总之，在成本递增的情况下，市场的长期供给曲线不再是水平的、而具有正斜率。
同理可以说明，在成本递减的情况下，市场长期供给曲线的斜率为负。
局部市场均衡的稳定性分析局部市场均衡分析实在假定其他因素不变的前提下，研究一种商品或者单独一个系统的均衡问题。
稳定性问题是指，若市场或系统处于不平衡状态，它是否会自动趋于均衡状态呢？
或者系统处于均衡状态，某种干扰打乱了这种均衡，它还会回到均衡状态？
现在我们考察下面的连续价格调整的需求与供给模型：
QdabP,b0
（6.4.1）
QscdP,d0
（6.4.2）
dPQdQsdt,
（6.4.3）
dP
其中需求量Qd,供给量Qs和价格P都被认为是连续时间变量。
dt表示了价格随着时间的变化速度，QdQs表示了超额需求。
因此（6.4.3）式表示价格随时间的变化率与超额需求成正比，的大小反映了这种价格反馈的灵敏度。
由（641）~（6.4.3）有
dPacbdPdt.
（6.4.4）dPOdt该动态系统的均衡点由确定，并且在该点处有均衡价格为
P*cabd,均衡数量为
Q*bead
bd.我们现在来讨论该系统的稳定性。
设实际价格与均衡价格之偏差为
PP*.则有
dPdP*
dtdtdt.
由（644）式有
*acbdPacbdPbd,
dt
解这个方程，得到通解为
0bdt,其中为常数，表示t0时的初始价格与均衡价格的偏差。
在利他的假定前提下，商品的供给差越大，价格越下降，即
0o因此，
随丹时何趋于无趴i沁『—“TO,P
->0,即PtF
这是一个单调非震荡的收敛过程。
收敛随度取决于bd
O也就是说对于该
模型中的正常商品，无论实际价格偏离均衡价格多远，当t
时,都有
PP*。
此时，P*这一均衡点是稳定的并且是唯一的均衡点。
从以上讨论可以看出，保证系统均衡存在的前提条件是dP0有解，PP*
dt
存在。
为了更好的研究稳定性问题，我们针对一般的情形来讨论，设
XtfXt・
如果Xt0,则所则有xtx*fx0存在解x*,为系统的解。
我们就称x*为均衡点或是不动点、静止点。
在上述的连续价格调整的需求与供给模型（6.4.1）~（6.4.3）中有且只有一个均衡点。
我们现在来考察以下的一个逻辑增长方程：
xtkxax・
**由只t0解得，xl0,x2ao与前述的简单连续供求模型不同，这里出
现了两个均衡点，即多重均衡问天。
现在，我们来研究上述两个均衡点。
我们分别画出xt的图形，图6.4.2是它的相线图。
我们作以下分析。
祜对于xl在该点的右侧领域内，当tdxdt0,0点，0时，x会远离
xl
*点。
因此，X10点不是一个吸引点，我们称该点为排斥点。
**对于x2a,在该点的左侧领域内，dxdt0,当ta时，x会趋近x2
*点。
因此，x2a点是一个吸引点。
均衡点是稳定的是指，任意一条从均衡点领域开始的轨迹在未来所有时间里仍保持在均衡点附近。
对满足上述定义的这种稳定的均衡点，我们也说是渐进稳定的。
同样，对任意一个开始时靠近均衡点，当当t时到达均衡点的轨迹
*也是渐进稳定的。
很明显上述逻辑方程中，x2a点是一个渐进稳定均衡点。
*图6.4.2还显示了有关均衡点的另一个特性。
初始点xl0是一个排斥点而**x2a是一个吸引点。
在排斥点xl0的领域内，微分方程有一个正的斜率。
在
那吸引点x2a的领域内，微分方程有一个负的斜率，这是系统稳定或不稳定的典型特征。
也就是说，当在均衡点领域的微分方程是正的斜率时，这个均衡点就是不稳定的；当均衡点领域的微分方程是负的斜率时，这个均衡点就是稳定的。
用dxdx0,右侧有0。
数学表达式，即在该均衡点左侧有dtdt在上述逻辑增长方程xtkxax所描述的系统中，存在两个均衡点，
这是系统稳定还是不稳定就必须针对特定的均衡点而言，因而在多个均衡点的情形下，我们只能说系统局部稳定或局部不稳定，即只有在特定均衡点的领域内才论及系统特性。
而完全稳定或是完全不稳定则只针对单个均衡点的系统才有意义。
例6.4.1如果所需的货币只用来交易，那么
MdkPtQ
（6.4.5）
这里k是一个常数，P是价格水平，Q是实际产出。
假定货币供需平衡，即MsMd,并且Ms是由金融机构外生决定的。
若通货膨胀或价格的变化是和社会上对产品的超额需求成正比例的，又根据Walras定理，对产品的超额需求等于货币的过量供给，那么
dPtbMsMddt
（6.4.6）
求实际产出Q为一个常数时，该系统的平稳条件。
解将（6.4.5）代入（6.4.6）得
dPtbMskPtQdt
（6.4.7）
dPt0可知均衡价格为由dt
PeMskQ
令
ptPe.
（6.4.8）
由线性方程的叠加原理知
求解这个方程得到
AebkQt,
其中A为任意常数。
因为b,k,Q0,当t时，0。
因此系统是稳定的。
例6.4.2讨论方程dkfksakank,n0,0t01dt
所表示的系统均衡的稳定性。
解通过求解fk0可以得到两个均衡点，即
sa*kl*0,k2n1a1
首先考察kl*O.fk在点kl*0处的导数为
limk0fkf0saknklimlimasaka1n
kkkOk0
而且
limfklimasak
k0alk0n,
于是在kl*0的右侧有dk0.故kl*0不是稳定的均衡点。
dt
1a1sa***其次考察k2.fk在点k2处有一个负的斜
率。
于是在均衡点k2n
dkdk*0,均衡点右侧有0o故均衡点k2的左侧有是局部稳定的。
dtdt对于系统或市场的局部稳定性的分析关键在于求出均衡点，然后运用我们所讨论的方法来讨论它的稳定条件。
瓦尔拉斯一般均衡的稳定性
传统的古典经济学中考察产品市场和要素市场的均衡时，采用的是部分均衡分析法，即假定每一种商品的价格都是由该商品的供给曲线和需求曲线决定的，那里分析的对象是单一市场、单种商品的供需与价格，其他商品的情况被暗中假设为不变的。
但是经济体作为一个整体，其各个组成部分之间总是相互联系在一起的，任何局部的变化总会影响到其他各个方面，将所有产品市场和要素市场联系在一起来分析所有商品价格相互影响共同达到均衡的过程及其条件，就是一般均衡的分析方法。
根据这一方法建立的理论就是一般均衡理论。
本节将讨论的是一般均衡理论。
每种商品的需求函数和供给函数，不仅依赖于该种商品的自身价格，而其依赖于所有或部分其他商品的价格。
例如，猪肉的需求和供给，不仅依赖于猪肉的自身价格，而且依赖于牛肉、鸡蛋、粮食、化肥、能源等商品的价格。
假设有m种商品，它们的价格分别为Pl,P2,Pm,这个m歌价格是相互影响的，它们的需求函数为
QdjQdj（Pl,P2,,Pm）,j1,2,,m,
（921）
供给函数为
QsjQsj（Pl,P2,,Pm）,j1,2,,m,
（9.2.2）
超额需求函数为
EjEj（Pl,P2,,Pm）QdjQsj,j1,2,,m,
（923）
满足均衡条件
EjEj（Pl,P2,,Pm）0,j1,2,,m,
（9.2.4）
eee的点Pe（P1,P2,,Pm）,称为价格体系的均衡点，或均衡状态，或何曾为均衡
价格向量。
这是，各种商品的超额需求均为零，供需打到平衡。
对于均衡点eeePe（P1,P2,,Pm）,我们分别分析两种稳定性：
静态稳定性和动态稳定性，然后再作比较。
921瓦尔拉斯一般均衡的静态稳定性分析
—般均衡分析的基本假设是：
某种商品的价格变化正向依赖于对它的超额需求；反之，对某种商品的超额需求反响依赖与它的价格变化。
在作静态分析时，均衡点的稳定性条件为
dEjdPj
dEj其中dPjOj1,2,,m,e（9.2.5）dEjEjc表示倒数在
均衡点P处的值。
这里没有用偏导数，是考虑dPPjje到如下的事实：
某种商品价格的改变，不仅会影响到对该种商品的超额需求，原则上也将影响对其他商品的需求，从而影响其他商品的价格，（9.2.5）成立的条件可以区分为两种情形，分别称之为不完全稳定性和完全稳定性。
1•不完全的静态稳定性
定义921当第j种商品的价格Pj发生变化时，其余m1种商品的价格也相应地发生变化，并使这m1个市场恢复均衡（超额需求为零）,这时若有dEjdPj0,
eee则称（924）的均衡点Pe（P,或称市场1,P2,,Pm）为不完全稳定的（静态）
体系（9.2.1）~（9.2.3）是不完全稳定的。
部分均衡的假设是：
当第j种商品的价格Pj发生变化时，其余m1种价格保持不变，并有Ej
Pj0o注意两者的区别。
在均衡点处，求超额需求函数关于价格的偏导数，记为
Ei（P1,P2,,Pm）aij（i,j1,2,,m）Pje
令
A（aij）,Daij,
DjjD中ajj的代数余子式（j1,2,,m）,
其中D为超额需求函数Ei（Pl,P2,,Pm啲雅克比行列式。
不难证明下列结论。
定理921市场体系（921）~（9.2.3）是不完全稳定的的充分必要条件是：
雅克比行列式D与其所有m1阶代数余子式DjjQ1,2,,m）异号，即有
D0（j1,2,,m）Djj
证明考虑商品j.对于超额需求函数Ej在均衡点Pe处求全微分，注意到不完全稳定性定义中假设：
dEi0（i1,2,,m,E.ij）
于是，我们有
"=如刃?
+…+Qi-dP+…+ct^dP^=0,
<龙E二©也只+…+a；；dF+■'十匕佻&P迟,
、迟=知砒+…+%&£4…+f化=0■
（9.2.6）
由此可解得
（（D>
IIIIII
（DA
IdP•二亠dE、
'D；
fD•
m[D••
其中Djk是D中元素ajk的代数余子式。
从上式中的第j式知
dEj
dPjD0（j1,2,,m）.Djj
（9.2.7）
因此，当且仅当D与Djj异号时，条件（9.2.5）才能成立。
这就证明了：
不完全稳定的充分必要条件是雅克比行列式D的所有mI阶主子式Djj与D异号。
2.完全的静态稳定性
定义922当第j种商品的价格发生变化时，引起另外k种（k0,1,,m1）商品的价格也发生变化（其余mk1种商品的价格不变），并旦当这k种市场恢复均衡（超额需求为零）后，若有dEj
dPj0,则称市场体系（921）~（9.2.3）的
eee均衡点Pe（P1,P2,,Pm）是完全稳定的。
在定义922中，取km1,就是得到不完全稳定性；取k0,即其余m1种价格不变，即得到“部分均衡的稳定性”。
定理922市场体系（9.2.1）~（923）完全稳定的充分必要条件是：
雅克比行列式D的所有r阶主子式的符号与
（1）1■相同，r1,2,,m,即
「a..<0,
a：
J
»>0,
%血
（9.2.8）
其中j,h,s1,2,为任意不相等的下标。
称（9.2.8）为希克斯条件，称满足（9.2.8）的矩阵aij为希克斯矩阵。
证明
（1）当k0时.设第j种价格发生变化，其余m1种价格不变。
这时有dPi0（i12,m;ij）.
因此,对（9.2.4）微分后，得
JcE:
dE=—-dP=a.dP,“6P.\“八
dE*严寻"Pi/P.、
icP\・$丫
V,』jE
由上面的第j式和（9.2.5）式可知
dEj
dPjajj0,j1,2,,m
这就是说D的一阶主子式，其符号与
（1）1相同。
（2）当k1时.设第j种价格发生变化时，只引起另外一种价格（不妨设为
Ph）发生变化，其余m2种价格不变。
当第h个市场恢复均衡后，有
［込=勺丐+如昭=0•
由此解得
dPjahhdEj,ajjajhahjahhajhahhahh
0.
因此有
■•
aJJ
dEjdPj
ah
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