同济大学线性代数第六版答案全线代第六版答案.docx

1、同济大学线性代数第六版答案全线代第六版答案同济大学线性代数第六版答案 (全)第一章 行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式2 0 1(1)1 4 11 8 3201解 1411832(4) 30(1) (1) 1180132(1)81(4)(1)2481644a b c(2)b c a c a ba b c解 b c a c a bacb bac cba bbb aaa ccc3abc a3 b 3 c31 1 1(3)a b c a2 b2 c21 1 1解 a b c a2 b2 c2bc 2 ca2ab 2ac 2 ba 2 cb 2(a b)(bc)(ca)xy x y(4) yx

2、yx yxxyx y x解 y x yx y xxyyx(x y)y yx(x33xy(x y) yy) (x23x yy)yxx 3 y 3y 3 x 3(xy)3x 32(x 3y 3)2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数(1)1234解 逆序数为 0(2)4132解 逆序数为 4 41 43 42 32(3)3421解 逆序数为 5 32 31 42 41,21(4)2413解 逆序数为 3 21 41 43(5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)n(n 1)解 逆序数为32(1个 )5 254(2个 )7 2747 6(3 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n

3、 1)6 (2n 1)(2n 2)(n 1 个)(6)1 3(2n1) (2n) (2n2)2解逆序数为 n(n1)32(1个 )5254(2 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2)(n 1 个)4 2(1 个)62 64(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子a11 a23 的项解含因子 a11 a23的项的一般形式为(1) ta11 a23 a3r a4s其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个即24 和42所以含因子 a11 a23 的项分别是( 1) ta11 a2

4、3 a32 a44( 1) 1 a11 a23 a32 a44a11 a23 a32 a44(1) ta11 a23 a34 a42(1) 2 a11 a23 a34 a42a11 a23 a34 a424计算下列各行列式41 2 4(1)12021052011 1 741 2 4cc41 2104110解12 0 2231202c7c122 ( 1)43105201032141031401 1 743001041 10c2c39910012221 c300210314c117 17 1421 41(2)3 12112325062214 1 c c214 0r r214 0解31 2 1423

5、1 2 24231 2 2123 2123 0123 0506 2506 2214 0rr214 04131 2 20123 0000 0ab ac ae(3)bd cd debfcfef解abacaebcebdcddeadf bcebfcfefbce1114abcdefadfbce 111111a 1 0 0(4)1 b 1 00 1 c 10 0 1 da100r ar01 ab a 0解1b10121b1001c101c1001 d001 d(1)(1aba0 c3dc2 1abaad1)2 11c11c 1cd01 d010(1)(32 1abadabcdabcdad 11)11cd5

6、证明 :a2 ab b2(1) 2a a1b 2b (a b) 3;11证明a2ab b2 c2c1 a2 ab a2 b2 a22aab2bc32aba2b2a111c1 100(3 1 ab a2 b2 a2(ba)(ba)a b a(a b)31)ba2b 2a1 2ax by aybz azbxxyz(2)ay bz az bx ax by (a3 b3) y z x ;az bx ax by ay bz z x y证明ax by ay bz az bxay bz az bx ax byaz bx ax by ay bzx aybz azbxy aybz azbxa yazbxaxby

7、b z azbx axbyzaxbyaybzx axby aybzx aybz zyz azbxa2 y azbxxb2 zx axbyz axbyyxy aybzxyzy zxa3 yzxb3z xyzxyxyzxyzxyza3 yzxb3y zxzxyz xyx y z(a3 b3) y z xz x ya2 (a 1)2 (a2)2(a 3)2(3)b2(b1)2(b2)2(b3)20 ;c2(c1)2(c2)2(c3)2d 2(d1)2(d2)2(d3)2证明a2 (a 1)2(a2)2(a3)2b2(b 1)2(b 2)2(b3)2c2 (c 1)2 (c 2)2 (c 3)2 (c

8、4 c3 c 3 c2 c 2 c1 得)d 2(d 1)2(d2)2(d3)2a22a1 2a3 2a5b22b12b32b5(c4c 3 c 3 c2 得 )c22c12c32c5d22d1 2d3 2d5a22a1 2 2b22b1 2 20c22c1 2 2d22d1 2 21 1 1 1a b c d(4) a2 b2 c2 d2a4 b4 c4 d4(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d);证明1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d 2a4 b4 c4 d 411a110bcada0b(ba)c(ca)d(da)0 b2(b2 a2)

9、 c2(c2 a2) d 2(d 2 a2)(ba)(ca)(da)111ba)ca)da)b2(bc2(cd 2(d(ba)(ca)(d11bd1a) 0ca) d(dbb a)0 c(cb)(cbb)(d(ba)(ca)(d1a) d(d1a)a)(c b)(d b)c(c bb=(ab)(ac)(ad)(b c)(bd)(cd)(a bcd)x10000x100a1 x nan1xan(5)00xx n101an an 1 an 2a2 x a1证明用数学归纳法证明当 n2 时D2x1x2 a1 x a2命题成立a2 x a1假设对于 (n1) 阶行列式命题成立即D n 1 x n 1

10、a1 x n 2an 2x an 1则 D n 按第一列展开有1000DnxDn 1a ( 1)n 1 x100n11x1xD n 1 an x n a1 x n 1an 1 x an因此对于 n 阶行列式命题成立6设 n 阶行列式 D det(a ij ), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转依次得an1anna1nannanna1nD1 aaD2 aaD3 aa111n11n1n111n( n 1)D 3 D证明 DD2( 1)2D1证明因为 Ddet(a ij )所以an1anna11a1nD1n 1 an1annaa( 1)111na21a2na11a1na21a2

11、n(1)n 1(1)n2 an1anna31a3n1)1 2(n2)(n 1) Dn( n1)( 1)2D同理可证n(n1)a11an1n(n1)n(n 1)D2 (1)2a1nann(1)2DT(1)2Dn(n1)Dn(n 1)n( n1)( 1)n(n 1) D DD (1)2(1)2(1)2D327计算下列各行列式 (D k 为 k 阶行列式 )a 1(1) Dn , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元1 a素都是 0解a000a000aDn000100000(a001)n 1 0a0000(1)n 1 (1)na111010 (按第 n 行展开 )a00 a01a0000( 1)2n

12、 aa0 (n 1)a (n 1) (n 1)(n 1)an an an 2 an 2 (a2 1)a(n 2)( n 2)xaa(2) Dnaxa ;aax解将第一行乘 (1) 分别加到其余各行得axaaaaDnx x00ax0x a0ax000 x a再将各列都加到第一列上 得x(n 1)aaaaDn0x a00x (n 1)a(x a) n 100x a00000 xaan(a1)n(an)nan 1(a1)n 1(an)n 1(3) Dn 1a1a;an111解 根据第 6 题结果 有1a1a1n(n 1) a1nDn 1 ( 1) 2(a1)n 1(an)n 1an 1an(a1)n

13、(an)n此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)D(1)2( a i 1) (a j 1)n 1n 1 ij 1(1)n(n1)(ij)2n 1i j1(1)n(n1)n( n 1)1j)2(1)2(in 1 i j 1(ij)n1 ij 1anbn(4)D2na1b1;c1d1cn dn解anbnD2na1b1(按第 1 行展开 )c1d1cndnan 1bn 10a1b1anc1d1cn 1dn 1000dn0 an 1bn 1ab( 1)2n 1bn11c1d1cn 1d n 1cn 0再按最后一行展开得递推公式D 2n an d n D 2n 2 b n cn D 2n 2 D 2n (

14、a n d n b n c n )D 2n 2即于是 D2n而 D2所以 D2nn(aidibici )D2i2a1b1 a db cc1111 1d1n(ai dibici )i1(5) Ddet(a ij )其中 aij|ij|;解aij|ij|01231012Dndet(aij )21013210n1 n2 n3 n41111r1r211111111r2r31111n1 n 2 n3 n 4n1 n 2 n 3 n 401111010000c2c11200012200c3c112220n 1 2n 3 2n4 2n 5n1(1) n1(n1)2 n21 a111(6)11a21,其中 a

15、1a2a n 0Dn111an解1a111Dn11 a21111 ana100c1c2a2a200a3a3c2c30000001 0 01 1 0a1a2 an 0 1 10 0 00 0 0001001001an 1an 110an 1an00a 11100a200a 1311a 101 1n 11an10000a 1010001a 1001002a 1a1a2an30001a 10n 1000001na 1ii 1(a aa )(1n1 )1 2ni1ai8用克莱姆法则解下列方程组x1 x2 x3 x4 5(1)x1 2x2 x3 4x4 2 2x1 3x2 x3 5x4 23x1 x2 2x3 11x4 0解因为1111D121414223153121151111511D12214142D2121428423152215012113021111511115D1224426D412121423232523123101131