同济大学线性代数第六版答案全线代第六版答案.docx
《同济大学线性代数第六版答案全线代第六版答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学线性代数第六版答案全线代第六版答案.docx（231页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
同济大学线性代数第六版答案全线代第六版答案
同济大学线性代数第六版答案（全）
第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式
201
（1）141
183
2
0
1
解1
4
1
1
8
3
2（4）30
（1）
（1）118
0132
（1）81（4）
（1）
24
8
16
4
4
abc
（2）bcacab
abc
解bcacab
acbbaccbabbbaaaccc
3abca3b3c3
111
（3）abca2b2c2
111
解abca2b2c2
bc2ca
2
ab2
ac2ba2cb2
（ab）（b
c）（c
a）
x
yxy
（4）y
xy
xy
x
x
y
xyx
解yxy
xyx
x
y
y
x（xy）yyx（x
3
3xy（xy）y
y）（x
2
3xy
y）yx
x3y3
y3x3
（x
y）3
x3
2（x3
y3）
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆
序数
（1）1234
解逆序数为0
（2）4132
解逆序数为441434232
（3）3421
解逆序数为532314241,21
（4）2413
解逆序数为3214143
（5）13（2n1）24（2n）
n（n1）
解逆序数为
32（1
个）
52
5
4（2
个）
72
7
4
76（3个）
（2n1）2（2n1）4（2n1）6（2n1）（2n2）
（n1个）
（6）13
（2n
1）（2n）（2n
2）
2
解
逆序数为n（n
1）
3
2（1
个）
5
2
54（2个）
（2n1）2（2n1）4（2n1）6（2n1）（2n2）
（n1个）
42（1个）
6264（2个）
（2n）2（2n）4（2n）6（2n）（2n2）（n1个）
3
写出四阶行列式中含有因子
a11a23的项
解
含因子a11a23
的项的一般形式为
（
1）ta11a23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个
即24和
42
所以含因子a11a23的项分别是
（1）ta11a23a32a44
（1）1a11a23a32a44
a11a23a32a44
（
1）ta11a23a34a42
（
1）2a11a23a34a42
a11a23a34a42
4计算下列各行列式
4124
（1）1202
10520
1117
4
124
c
c
4
12
10
4
1
10
解
1
202
2
3
1
2
0
2
c
7c
1
2
2
（1）43
10520
10
3
2
14
10
3
14
0
117
4
3
0
0
1
0
4
110
c2
c3
9
9
10
0
1
2
2
21c3
0
0
2
10
3
14
c1
171714
2141
（2）3121
1232
5062
2
1
41cc
2
1
40
rr
2
1
40
解
3
121
4
2
3
122
4
2
3
122
1
2
32
1
2
30
1
2
30
5
0
62
5
0
62
2
1
40
r
r
2
1
40
4
1
3
122
0
1
2
30
0
0
00
abacae
（3）bdcdde
bf
cf
ef
解
ab
ac
ae
b
c
e
bd
cd
de
adfb
c
e
bf
cf
ef
b
c
e
1
1
1
4abcdef
adfbce1
1
1
1
1
1
a100
（4）1b10
01c1
001d
a
1
0
0
rar
0
1aba0
解
1
b
1
0
1
2
1
b
1
0
0
1
c
1
0
1
c
1
0
0
1d
0
0
1d
（
1）（
1
ab
a
0c3
dc21
ab
a
ad
1）21
1
c
1
1
c1
cd
0
1d
0
1
0
（
1）（
3
21
ab
ad
abcd
ab
cd
ad1
1）
1
1
cd
5证明:
a2abb2
（1）2aa
1
b2b（ab）3;
1
1
证明
a2
abb2c2
c1a2aba2b2a2
2a
a
b
2b
c3
2a
b
a
2b
2a
1
1
1
c11
0
0
（
31aba2b2a2
（b
a）（b
a）
aba
（ab）
3
1）
b
a
2b2a
12
axbyay
bzaz
bx
x
y
z
（2）aybzazbxaxby（a3b3）yzx;
azbxaxbyaybzzxy
证明
axbyaybzazbx
aybzazbxaxby
azbxaxbyaybz
xay
bzaz
bx
yay
bzaz
bx
ay
az
bx
ax
by
bzaz
bxax
by
z
ax
by
ay
bz
xax
byay
bz
xay
bzz
y
zaz
bx
a2yaz
bx
x
b2z
xax
by
zax
by
y
x
yay
bz
x
y
z
yz
x
a3y
z
x
b3
zx
y
z
x
y
x
y
z
x
y
z
x
y
z
a3y
z
x
b3
yz
x
z
x
y
zx
y
xyz
（a3b3）yzx
zxy
a2（a1）2（a
2）2
（a3）2
（3）
b2
（b
1）2
（b
2）2
（b
3）2
0;
c2
（c
1）2
（c
2）2
（c
3）2
d2
（d
1）2
（d
2）2
（d
3）2
证明
a2（a1）2
（a
2）2
（a
3）2
b2
（b1）2
（b2）2
（b
3）2
c2（c1）2（c2）2（c3）2（c4c3c3c2c2c1得）
d2
（d1）2
（d
2）2
（d
3）2
a2
2a
12a
32a
5
b2
2b
1
2b
3
2b
5
（c4
c3c3c2得）
c
2
2c
1
2c
3
2c
5
d2
2d
12d
32d
5
a2
2a
122
b2
2b
122
0
c2
2c
122
d2
2d
122
1111
abcd
（4）a2b2c2d2
a4b4c4d4
（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）;
证明
1111
abcd
a2b2c2d2
a4b4c4d4
1
1
a
1
1
0
b
c
a
d
a
0
b（b
a）
c（c
a）
d（d
a）
0b2（b2a2）c2（c2a2）d2（d2a2）
（b
a）（c
a）（d
a）
1
1
1
b
a）
c
a）
d
a）
b2（b
c2（c
d2（d
（b
a）（c
a）（d
1
1
b
d
1
a）0
c
a）d（d
b
ba）
0c（c
b）（c
b
b）（d
（b
a）（c
a）（d
1
a）d（d
1
a）
a）（cb）（db）c（cb
b
=（a
b）（a
c）（a
d）（bc）（b
d）（c
d）（ab
c
d）
x
1
0
0
0
0
x
1
0
0
a1xn
an
1x
an
（5）
0
0
x
xn
1
0
1
anan1an2
a2xa1
证明
用数学归纳法证明
当n
2时
D2
x1
x2a1xa2
命题成立
a2xa1
假设对于（n
1）阶行列式命题成立
即
Dn1xn1a1xn2
an2xan1
则Dn按第一列展开
有
1
0
0
0
D
n
xD
n1
a
（1）n1x
1
0
0
n
1
1
x
1
xDn1anxna1xn1
an1xan
因此
对于n阶行列式命题成立
6设n阶行列式Ddet（aij）,把D上下翻转、或逆时
针旋转90
、或依副对角线翻转
依次得
an1
ann
a1n
ann
ann
a1n
D1a
a
D2a
a
D3a
a
11
1n
11
n1
n1
11
n（n1）
D3D
证明D
D
2
（1）
2
D
1
证明
因为D
det（aij）
所以
an1
ann
a11
a1n
D1
n1an1
ann
a
a
（1）
11
1n
a21
a2n
a11
a1n
a21
a2n
（
1）n1（
1）n
2an1
ann
a31
a3n
1）12
（n
2）
（n1）D
n（n
1）
（
（1）
2
D
同理可证
n（n
1）
a11
an1
n（n
1）
n（n1）
D2
（1）2
a1n
ann
（1）2
DT
（1）2D
n（n
1）
D
n（n1）
n（n
1）
（1）n（n1）DD
D
（1）2
（1）2
（1）2
D
3
2
7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）
a1
（1）Dn,其中对角线上元素都是a未写出的元
1a
素都是0
解
a
0
0
0
a
0
0
0
a
Dn
0
0
0
1
0
0
0
0
0
（
a
0
0
1）n10
a
0
0
0
0
（
1）n1（
1）n
a
11
10
10（按第n行展开）
a0
0a
0
1
a
0
0
0
0
（1）2na
a
0（n1）
a（n1）（n1）
（n1）
ananan2an2（a21）
a（n2）（n2）
x
a
a
（2）Dn
a
x
a;
a
a
x
解
将第一行乘（
1）分别加到其余各行
得
a
x
a
a
a
a
Dn
xx
0
0
a
x
0
xa
0
a
x
0
0
0xa
再将各列都加到第一列上得
x
（n1）a
a
a
a
Dn
0
xa
0
0
[x（n1）a]（xa）n1
0
0
xa
0
0
0
0
0x
a
an
（a
1）n
（a
n）n
an1
（a
1）n1
（a
n）n1
（3）Dn1
a
1
a
;
a
n
1
1
1
解根据第6题结果有
1
a
1
a
1
n（n1）a
1
n
Dn1
（1）2
（a
1）n1
（a
n）n1
an1
an
（a
1）n
（a
n）n
此行列式为范德蒙德行列式
n（n1）
D
（1）2
[（ai1）（aj1）]
n1
n1i
j1
（
1）
n（n
1）
[
（i
j）]
2
n1
ij
1
（
1）
n（n
1）
n
（n1）
1
j）
2
（
1）
2
（i
n1ij1
（i
j）
n
1i
j1
an
bn
（4）
D2n
a1
b1
;
c1
d1
cndn
解
an
bn
D2n
a1
b1
（按第1行展开）
c1
d1
cn
dn
an1
bn1
0
a1
b1
an
c1
d1
cn1
dn1
0
0
0
dn
0an1
bn1
a
b
（1）2n1bn
1
1
c1
d1
cn1
dn1
cn0
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bncnD2n2D2n（andnbncn）D2n2
即
于是D2n
而D2
所以D2n
n
（aidi
bici）D2
i
2
a1
b1ad
bc
c1
1
1
11
d1
n
（aidi
bici）
i
1
（5）D
det（aij）
其中aij
|i
j|;
解
aij
|i
j|
0
1
2
3
1
0
1
2
Dn
det（aij）
2
1
0
1
3
2
1
0
n
1n
2n
3n
4
1
1
1
1
r1
r2
1
1
1
1
1
1
1
1
r2
r3
1
1
1
1
n
1n2n
3n4
n1n2n3n4
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
c2
c1
1
2
0
0
0
1
2
2
0
0
c3
c1
1
2
2
2
0
n12n32n
42n5
n
1
（
1）n
1（n
1）2n
2
1a1
1
1
（6）
1
1
a2
1
其中a1a2
an0
Dn
1
1
1
an
解
1
a1
1
1
Dn
1
1a2
1
1
1
1an
a1
0
0
c1
c2
a2
a2
0
0
a3
a3
c2
c3
0
0
0
0
0
0
100
110
a1a2an011
000
000
0
0
1
0
0
1
0
0
1
an1
an1
1
0
an1
an
0
0
a1
1
1
0
0
a2
0
0
a1
3
1
1
a1
0
11
n1
1
a
n
1
0
0
0
0
a1
0
1
0
0
0
1
a1
0
0
1
0
0
2
a1
a1a2
an
3
0
0
0
1
a1
0
n1
0
0
0
0
0
1
n
a1
i
i1
（aa
a）（1
n
1）
12
n
i
1
ai
8用克莱姆法则解下列方程组
x1x2x3x45
（1）x12x2x34x422x13x2x35x42
3x1x22x311x40
解
因为
1
1
1
1
D
1
2
1
4
142
2
3
1
5
3
1
2
11
5
1
1
1
1
5
1
1
D1
2
2
1
4
142
D2
1
2
1
4
284
2
3
1
5
2
2
1
5
0
1
2
11
3
0
2
11
1
1
5
1
1
1
1
5
D
1
2
2
4
426
D
4
1
2
1
2
142
3
2
3
2
5
2
3
1
2
3
1
0
11
3
1
升级会员 