立体几何求体积点到面的距离高考文科数学压轴题冲刺训练.docx

1、立体几何求体积点到面的距离高考文科数学压轴题冲刺训练07等差数列与等比数列1.已知an是等比数列,an0,且+a3a7=8,则log2a1+log2a2+log2a9=().A.8 B.9 C.10 D.11解析+a3a7=8,an0,且an是等比数列,2=8,a5=2.log2a1+log2a2+log2a9=log2(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=log2=9log22=9,故选B.答案B2.在等比数列an中,an0,+1成等差数列,且a1+2a2=2,则数列an的通项公式为.解析设等比数列an的公比为q,由an0知q0,由题意得+=,即a1-a2=a1a2,a1q=

2、1-q.又a1+2a2=2,a1+2a1q=2.由解得或(舍去),数列an的通项公式为an=.答案an=3.如图所示的是“杨辉三角”数图,计算第1行的2个数的和,第2行的3个数的和,第3行的4个数的和,则第n行的n+1个数的和为.11第1行121 第2行 1331 第3行14641 第4行 解析1+1=2,1+2+1=4,1+3+3+1=8,1+4+6+4+1=16,则第n行的n+1个数的和为2n.答案2n4.已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=,nN*.(1)求证:数列an是等差数列.(2)设bn=,Tn=b1+b2+bn,求Tn.解析(1)Sn=,nN*,当n=1时,a1=

3、S1=(a10),解得a1=1;当n2时,由得2an=+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,an+an-10,an-an-1=1(n2).数列an是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可得an=n,Sn=,bn=-.Tn=b1+b2+b3+bn=1-+-+-=1-=.能力1等差、等比数列的基本运算【例1】设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析(法一)设等比数列an的公比为q(q0),则2S2=2(a1+a2)=2(a1+a1q),S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.因为3S1,2S2,S3成等

4、差数列,所以3a1+a1+a1q+a1q2=4(a1+a1q),解得q=3,故an=3n-1.(法二)设等比数列an的公比为q,由3S1,2S2,S3成等差数列,易得q1,所以4S2=3S1+S3,即=3a1+,解得q=3,故an=3n-1.答案3n-1在等差(比)数列问题中,最基本的量是首项a1和公差d(公比q),在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会迎刃而解,这就是解决等差(比)数列问题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前n项和公式时,务必注意公比q的取值范围.1.已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4

5、=120,设bn=1+log3an,则数列bn的前15项和为().A.152 B.135 C.80 D.16解析设等比数列an的公比为q,由a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,得公比q=3,首项a1=3,所以an=3n,bn=1log+33n=1+n,则数列bn是等差数列,其前15项和为=135.故选B.答案B2.设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=().A.2 B.-2 C. D.-解析由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1S4,即(2a1-1)2=

6、a1(4a1-6),解得a1=-.故选D.答案D能力2等差、等比数列的基本性质【例2】(1)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S150,S160,S16=8(a8+a9)0,a90,da2a80,所以0S1S2S8,从而0.又因为当9n15,nN*时,an0,即0,且a3a2n-3=22n(n2),则当n1时,log2a1+log2a2+log2a3+log2a2n-1=.解析log2a1log+2a2log+2a3+log+2a2n-1log=2(a1a2a3a2n-1).设S=a1a2a3a2n-1,则S=a2n-2a2n-3a1.两式相乘,得S2=(a3a2n-3)2n-1=22n(

7、2n-1),所以S=2n(2n-1),故原式=n(2n-1).答案n(2n-1)2.已知等比数列an的前n项和为Sn,若=3,则=.解析显然公比q1,则由=1+q3=3,得q3=2,所以=.答案能力3等差、等比数列的判断与证明【例3】已知数列an的前n项和Sn=(an-1),其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)当=2时,求a2i.解析(1)由题意得a1=S1=(a1-1),故1,a1=,a10.由Sn=(an-1),Sn+1=(an+1-1),得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0,得an0,所以=,因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=

8、.(2)由(1)可知,当=2时,an=2n,故a2i=a2+a4+a2n=.判断或证明数列是否为等差、等比数列,一般是依据等差、等比数列的定义,或利用等差中项、等比中项进行判断.利用=an+1an-1(n2,nN*)来证明数列an为等比数列时,要注意数列中的各项均不为0.记Sn为等比数列an的前n项和,已知a3=-8,S3=-6.(1)求数列an的通项公式;(2)求Sn,并证明对任意的nN*,Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列.解析(1)设数列an的公比为q,由题设可得解得故数列an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2

9、=2Sn,故Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列.能力4公式an=的应用【例4】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=,Sn+1=Sn+(nN*),其中常数1.(1)求证:数列an是等比数列.(2)若数列bn满足bn=log(a1a2an)(nN*),求数列bn的通项公式.解析(1)当n=1时,S2=S1+,即a2=2,=.当n2时,Sn=Sn-1+,an+1=Sn+1-Sn=(Sn-Sn-1)=an,即=(n2).又=,数列an是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)得an=n,a1a2an=1+2+n=,bn=log=.解这种题目的一般方法是用“退位相减法”消去Sn(或者an),得到数列a

10、n的递推公式(或者是数列Sn的递推公式),进而求出an(或者Sn)与n的关系式.设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.解析由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,易知Sn0,等式两边同时除以Sn+1Sn,得-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.答案-一、选择题1.Sn是等差数列an的前n项和,若S7-S2=45,则 S9=().A.54 B.63 C.72 D.81解析(法一)S7-S2=45,a3+a4+a5+a6+a7=45,5a5=45,a5=9,S9=9a5=81.(法二)S7-S2

11、=45,7a1+21d-(2a1+d)=45,即a1+4d=9,S9=9a1+36d=9(a1+4d)=99=81,故选D.答案D2.已知数列an满足a1=2,an+1=(nN*),则a2019=().A.-2 B.-1 C.2 D.解析数列an满足a1=2,an+1=(nN*),a2=-1,a3=,a4=2,可知此数列具有周期性,周期为3,即an+3=an,则a2019=a3=.故选D.答案D3.若Sn为数列an的前n项和,且Sn=,则等于().A. B. C. D.30解析当n2时,an=Sn-Sn-1=-=,=5(5+1)=30.故选D.答案D4.已知等比数列an中,a2=2,a6=8,

12、则a3a4a5=().A.64 B.64 C.32 D.16解析因为a2=2,a6=8,所以由等比数列的性质可知a2a6=16,而a2,a4,a6同号,所以a4=4,所以a3a4a5=64,故选B.答案B5.已知an是公差为4的等差数列,Sn是其前n项和.若S5=15,则a10的值是().A.11 B.20 C.29 D.31解析因为S5=15,所以5a1+4=15,所以a1=-5,所以a10=a1+9d=31,故选D.答案D6.观察下列各图,并阅读图形下面的文字.像这样,10条直线相交,最多可形成的交点的个数是().A.40 B.45 C.50 D.55解析(法一)n+1(nN*)条直线相交

13、,当n=1,2,3,k,时,最多可形成的交点个数分别是1,1+2,1+2+3,1+2+3+k,.10条直线相交,最多可形成的交点的个数是1+2+9=45.(法二)设n(n2,nN*)条直线相交,最多可形成的交点个数为an,则累加得a10-a2=2+3+9,a10=1+2+3+9=45.故选B.答案B7.张丘建算经中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.问日行几何?”意思是“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少?”则该匹马第一天走的里数为().A. B.C. D.解析由题意知这匹马每日所走的路程成等比数列,设该数列为

14、an,则公比q=,前7项和S7=700.由等比数列的求和公式得=700,解得a1=,故选B.答案B8.已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=().A. B.C. D.解析(法一)设Sn=5n2+2n,则 Tn=n2+3n.当n=1时,a1=7;当n2时,an=Sn-Sn-1=10n-3.a1=7符合上式,an=10n-3.同理bn=2n+2.=.故选A.(法二)由=,得=.故选A.答案A9.已知数列an的通项公式为an=,若数列an为递减数列,则实数k的取值范围为().A.(3,+) B.(2,+)C.(1,+) D.(0,+)解析因为an+1-an=-=,所以由数列an

15、为递减数列知,对任意nN*,an+1-an=3-3n对任意nN*恒成立,所以k(0,+).故选D.答案D二、填空题10.在等比数列an中,若a1=,a4=-4,则|a1|+|a2|+|an|=.解析设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3,代入数据得q3=-8,所以q=-2.又等比数列|an|的公比为|q|=2,所以|an|=2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=(1+2+22+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.答案2n-1-11.设等差数列5,的前n项和为Sn,则当Sn最大时,n=.解析(法一)设该等差数列为an,公差d=-5=-,a1=5,an=5+(n-1)=-+.

16、要使Sn最大,则即解得7n8.又nN*,n=7或n=8.(法二)公差d=-5=-,首项为5,Sn=5n+=-n2+n=-+.当n取最接近的整数时,Sn最大,即当n=7或n=8时,Sn最大.答案7或812.在计算机语言中,有一种函数y=INT(x)叫作取整函数,它表示不超过x的最大整数,如INT(0.9)=0,INT(3.14)=3.已知=0.8571,令an=INT,b1=a1,bn=an-10an-1(n1且nN*),则b2019=.解析依题意得a1=2,a2=28,a3=285,a4=2857,a5=28571,a6=285714,a7=2857142,所以b1=a1=2.又bn=an-1

17、0an-1,所以b2=8,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,可知数列bn是周期为6的周期数列.而2019=3366+3,所以b2019=b3=5.答案5三、解答题13.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=an+1-2,a1=2.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若数列bn满足=(nN*),证明:bn是等差数列.解析(1)当n2时,由Sn=an+1-2,得Sn-1=an-2,两式相减,得an+1=2an,即=2.又S1=a2-2,a1=2,a2=S1+2=4,满足=2,=2对任意的nN*都成立.an是首项为2,公比为2的等比数列.an=2n.(2)=,=,2(b1+b2+bn)-n=nbn,2(b1+b2+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1,由-得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn,即(n-1)bn+1-nbn+2=0,nbn+2-(n+1)bn+1+2=0,由-得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,bn+2-2bn+1+bn=0,即bn+2-bn+1=bn+1-bn(nN*),是等差数列.