立体几何求体积点到面的距离高考文科数学压轴题冲刺训练.docx

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立体几何求体积点到面的距离高考文科数学压轴题冲刺训练

07　等差数列与等比数列

1.已知{an}是等比数列,an>0,且+a3a7=8,则log2a1+log2a2+…+log2a9=（　　）.

A.8B.9C.10D.11

解析▶　∵+a3a7=8,an>0,且{an}是等比数列,

∴2=8,∴a5=2.

∴log2a1+log2a2+…+log2a9=log2[（a1a9）（a2a8）·（a3a7）（a4a6）a5]=log2=9log22=9,故选B.

答案▶　B

2.在等比数列{an}中,an>0,,,+1成等差数列,且a1+2a2=2,则数列{an}的通项公式为　　　　. 

解析▶　设等比数列{an}的公比为q,由an>0知q>0,由题意得+=,即a1-a2=a1a2,

∴a1q=1-q.

又a1+2a2=2,∴a1+2a1q=2.

由解得或（舍去）,

∴数列{an}的通项公式为an=.

答案▶　an=

3.如图所示的是“杨辉三角”数图,计算第1行的2个数的和,第2行的3个数的和,第3行的4个数的和,…,则第n行的n+1个数的和为　　　　. 

　　　　　1　　1　　　　　　第1行

　　　　1　　2　　1第2行

　　1　　3　　3　　1　　第3行

　1　　4　　6　　4　　1第4行

　　　　　　…

解析▶　1+1=2,1+2+1=4,1+3+3+1=8,1+4+6+4+1=16,则第n行的n+1个数的和为2n.

答案▶　2n

4.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=,n∈N*.

（1）求证:

数列{an}是等差数列.

（2）设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.

解析▶　

（1）∵Sn=,nN∈*,

∴当n=1时,a1=S1=（a1>0）,

解得a1=1;

当n≥2时,由

得2an=+an--an-1,

即（an+an-1）（an-an-1-1）=0,

∵an+an-1>0,

∴an-an-1=1（n≥2）.

∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.

（2）由

（1）可得an=n,Sn=,

bn===-.

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn

=1-+-+…+-

=1-=.

能力1

▶　等差、等比数列的基本运算

【例1】　设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　. 

解析▶　（法一）设等比数列{an}的公比为q（q≠0）,则2S2=2（a1+a2）=2（a1+a1q）,S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.

因为3S1,2S2,S3成等差数列,

所以3a1+a1+a1q+a1q2=4（a1+a1q）,

解得q=3,故an=3n-1.

（法二）设等比数列{an}的公比为q,由3S1,2S2,S3成等差数列,易得q≠1,

所以4S2=3S1+S3,

即=3a1+,

解得q=3,故an=3n-1.

答案▶　3n-1

　　在等差（比）数列问题中,最基本的量是首项a1和公差d（公比q）,在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会迎刃而解,这就是解决等差（比）数列问题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前n项和公式时,务必注意公比q的取值范围.

1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,则数列{bn}的前15项和为（　　）.

A.152B.135C.80D.16

解析▶　设等比数列{an}的公比为q,由a1+a3=30,a2+a4=S4-（a1+a3）=90,得公比q==3,首项a1==3,所以an=3n,bn=1log+33n=1+n,则数列{bn}是等差数列,其前15项和为=135.故选B.

答案▶　B

2.设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=（　　）.

A.2B.-2C.D.-

解析▶　由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.

因为S1,S2,S4成等比数列,

所以=S1·S4,即（2a1-1）2=a1（4a1-6）,

解得a1=-.故选D.

答案▶　D

能力2

▶　等差、等比数列的基本性质

【例2】　

（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S15>0,S16<0,则,,…,中最大的项为（　　）.

A.　　　B.　　　C.　　　D.

（2）若等比数列{an}的各项均为正数,且a8a13+a9a12=2e（e为自然对数的底数）,则lna1+lna2+…+lna20=　　　　. 

解析▶　

（1）由S15===15a8>0,S16==8（a8+a9）<0,

可得a8>0,a9<0,d<0,

所以数列{an}是递减数列,

所以a1>a2>…>a8>0,

所以0

从而0<<<…<.

又因为当9≤n≤15,n∈N*时,an<0,Sn>0,即<0,所以是,,…,中的最大项.故选C.

（2）因为{an}是等比数列,所以a8a13=a9a12=e,所以lna1+lna2+…+lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a1a20）10=10ln（a8a13）=10lne=10.

答案▶　

（1）C　

（2）10

　　等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质,整体考虑,减少运算量”的思想.

1.已知等比数列{an}满足an>0,且a3a2n-3=22n（n≥2）,则当n≥1时,log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n-1=　　　　. 

解析▶log　2a1log+2a2log+2a3+…log+2a2n-1log=2（a1a2a3…a2n-1）.

设S=a1a2a3…a2n-1,

则S=a2n-2a2n-3…a1.

两式相乘,得S2=（a3a2n-3）2n-1=22n（2n-1）,

所以S=2n（2n-1）,故原式=n（2n-1）.

答案▶　n（2n-1）

2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=　　　　. 

解析▶　显然公比q≠1,则由===1+q3=3,得q3=2,

所以===.

答案▶　

能力3

▶　等差、等比数列的判断与证明

【例3】　已知数列{an}的前n项和Sn=λ（an-1）,其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列,并求其通项公式;

（2）当λ=2时,求a2i.

解析▶　

（1）由题意得a1=S1=λ（a1-1）,

故λ≠1,a1=,a1≠0.

由Sn=λ（an-1）,Sn+1=λ（an+1-1）,

得an+1=λan+1-λan,即an+1（λ-1）=λan.

由a1≠0,λ≠0,得an≠0,所以=,

因此{an}是首项为,公比为的等比数列,

于是an=.

（2）由

（1）可知,当λ=2时,an=2n,

故a2i=a2+a4+…+a2n==.

　　判断或证明数列是否为等差、等比数列,一般是依据等差、等比数列的定义,或利用等差中项、等比中项进行判断.利用=an+1·an-1（n≥2,n∈N*）来证明数列{an}为等比数列时,要注意数列中的各项均不为0.

记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a3=-8,S3=-6.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）求Sn,并证明对任意的n∈N*,Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列.

解析▶　

（1）设数列{an}的公比为q,

由题设可得解得

故数列{an}的通项公式为an=（-2）n.

（2）由

（1）可得Sn==-+（-1）n·.

由于Sn+2+Sn+1=-+（-1）n·=2=2Sn,

故Sn+2,Sn,Sn+1成等差数列.　

能力4

▶　公式an=的应用

【例4】　设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=λ,Sn+1=λSn+λ（n∈N*）,其中常数λ>1.

（1）求证:

数列{an}是等比数列.

（2）若数列{bn}满足bn=logλ（a1a2…an）（n∈N*）,求数列{bn}的通项公式.

解析▶　

（1）当n=1时,S2=λS1+λ,即a2=λ2,

∴=λ.

当n≥2时,Sn=λSn-1+λ,

∴an+1=Sn+1-Sn=λ（Sn-Sn-1）=λan,

即=λ（n≥2）.

又∵=λ,

∴数列{an}是首项为λ,公比为λ的等比数列.

（2）由

（1）得an=λn,

∴a1a2…an=λ1+2+…+n=,

∴bn=logλ=.

　　解这种题目的一般方法是用“退位相减法”消去Sn（或者an）,得到数列{an}的递推公式（或者是数列{Sn}的递推公式）,进而求出an（或者Sn）与n的关系式.

设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=Sn·Sn+1,则Sn=　　　　. 

解析▶　由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn,易知Sn≠0,等式两边同时除以Sn+1·Sn,得-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-（n-1）=-n,所以Sn=-.

答案▶　-

一、选择题

1.Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7-S2=45,则S9=（　　）.

A.54B.63C.72D.81

解析▶　（法一）∵S7-S2=45,

∴a3+a4+a5+a6+a7=45,

∴5a5=45,a5=9,

∴S9==9a5=81.

（法二）∵S7-S2=45,

∴7a1+21d-（2a1+d）=45,

即a1+4d=9,

∴S9=9a1+36d=9（a1+4d）=9×9=81,故选D.

答案▶　D

2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=（n∈N*）,则a2019=（　　）.

A.-2B.-1C.2D.

解析▶　∵数列{an}满足a1=2,an+1=（nN∈*）,

∴a2==-1,a3==,a4==2,…,可知此数列具有周期性,周期为3,即an+3=an,

则a2019=a3=.故选D.

答案▶　D

3.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于（　　）.

A.B.C.D.30

解析▶　∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,

∴=5×（5+1）=30.故选D.

答案▶　D

4.已知等比数列{an}中,a2=2,a6=8,则a3a4a5=（　　）.

A.±64B.64C.32D.16

解析▶　因为a2=2,a6=8,所以由等比数列的性质可知a2a6==16,而a2,a4,a6同号,所以a4=4,所以a3a4a5==64,故选B.

答案▶　B

5.已知{an}是公差为4的等差数列,Sn是其前n项和.若S5=15,则a10的值是（　　）.

A.11B.20C.29D.31

解析▶　因为S5=15,所以5a1+×4=15,所以a1=-5,所以a10=a1+9d=31,故选D.

答案▶　D

6.观察下列各图,并阅读图形下面的文字.像这样,10条直线相交,最多可形成的交点的个数是（　　）.

A.40B.45C.50D.55

解析▶　（法一）n+1（nN∈*）条直线相交,当n=1,2,3,…,k,…时,最多可形成的交点个数分别是1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+k,….

∴10条直线相交,最多可形成的交点的个数是1+2+…+9=45.

（法二）设n（n≥2,n∈N*）条直线相交,最多可形成的交点个数为an,则累加得a10-a2=2+3+…+9,∴a10=1+2+3+…+9=45.故选B.

答案▶　B

7.《张丘建算经》中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.问日行几何?

”意思是“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少?

”则该匹马第一天走的里数为（　　）.

A.B.

C.D.

解析▶　由题意知这匹马每日所走的路程成等比数列,设该数列为{an},则公比q=,前7项和S7=700.由等比数列的求和公式得=700,解得a1=,故选B.

答案▶　B

8.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=（　　）.

A.B.

C.D.

解析▶　（法一）设Sn=5n2+2n,则Tn=n2+3n.

当n=1时,a1=7;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=10n-3.

∵a1=7符合上式,

∴an=10n-3.同理bn=2n+2.

∴=.故选A.

（法二）由=,

得====.故选A.

答案▶　A

9.已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为（　　）.

A.（3,+∞）B.（2,+∞）

C.（1,+∞）D.（0,+∞）

解析▶　因为an+1-an=-=,所以由数列{an}为递减数列知,对任意nN∈*,an+1-an=<0,所以k>3-3n对任意nN∈*恒成立,所以k∈（0,+∞）.故选D.

答案▶　D

二、填空题

10.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则|a1|+|a2|+…+|an|=　　　　. 

解析▶　设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据得q3=-8,所以q=-2.又等比数列{|an|}的公比为|q|=2,所以|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=（1+2+22+…+2n-1）=（2n-1）=2n-1-.

答案▶　2n-1-

11.设等差数列5,,,,…的前n项和为Sn,则当Sn最大时,n=　　　　. 

解析▶　（法一）设该等差数列为{an},

∵公差d=-5=-,a1=5,

∴an=5+（n-1）×=-+.

要使Sn最大,

则即

解得7≤n≤8.

又n∈N*,∴n=7或n=8.

（法二）∵公差d=-5=-,首项为5,

∴Sn=5n+×

=-n2+n

=-+.

∴当n取最接近的整数时,Sn最大,即当n=7或n=8时,Sn最大.

答案▶　7或8

12.在计算机语言中,有一种函数y=INT（x）叫作取整函数,它表示不超过x的最大整数,如INT（0.9）=0,INT（3.14）=3.已知=0.8571,令an=INT,b1=a1,bn=an-10an-1（n>1且n∈N*）,则b2019=　　　　. 

解析▶　依题意得a1=2,a2=28,a3=285,a4=2857,a5=28571,a6=285714,a7=2857142,…,所以b1=a1=2.又bn=an-10an-1,所以b2=8,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,…,可知数列{bn}是周期为6的周期数列.而2019=336×6+3,所以b2019=b3=5.

答案▶　5

三、解答题

13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1-2,a1=2.

（1）证明{an}是等比数列,并求其通项公式;

（2）若数列{bn}满足··…·=（n∈N*）,证明:

{bn}是等差数列.

解析▶　

（1）当n≥2时,由Sn=an+1-2,

得Sn-1=an-2,

两式相减,得an+1=2an,即=2.

又S1=a2-2,a1=2,

∴a2=S1+2=4,满足=2,

∴=2对任意的n∈N*都成立.

∴{an}是首项为2,公比为2的等比数列.

∴an=2n.

（2）∵··…·=,

∴=,

∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=n·bn,　①

∴2[（b1+b2+…+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1,　②

由②-①得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn,

即（n-1）bn+1-nbn+2=0,　③

∴nbn+2-（n+1）bn+1+2=0,　④

由④-③得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,

∴bn+2-2bn+1+bn=0,

即bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*）,

∴是等差数列.