最新教学高中高一数学必修1各章知识点总结第一章+集合与函数概念一优秀名师资料.docx

1、最新教学高中高一数学必修1各章知识点总结第一章+集合与函数概念一优秀名师资料教学高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性. 3、集合的表示:(1) 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (2). 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 4(集合的表示方法:列举法与描述法。常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)

2、 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如:a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a?A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 6、集合的分类: (1)(有限集 含有有限个元素的集合 (2)(无限集 含有无限个元素的集合 (3)(空集 不含任何元素的集合 例:x|x2=,5,= 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集注意: 有

3、两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2(“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即:A=B ? 任何一个集合是它本身的子集。即A?A ?如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ?如果 A?B, B?C ,那么 A?C ? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集

4、合的运算 1(交集的定义:一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集(记作A?B(读作:A交B:)，即A?B=x|x?A，且x?B( 2、并集的定义:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作:A?B(读作:A并B:)，即A?B=x|x?A，或x?B( 3、交集与并集的性质:A?A = A, A?= , A?B = B?A，A?A = A, A?= A ,A?B = B?A. 4、)补集:设S是一个集合，A是S的一个子集(即 )，由S中所有不属于A的元素组成的全集与补集(1集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA

5、=x ? x?S且 x?A (2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质:?CU(C UA)=A ?(C UA)?A= ?(CUA)?A=U 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x)，x?A(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域(能使函数式有意义

6、的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意:(1)由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当

7、且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:?表达式相同;?定义域一致 (两点必须同时具备) 3(区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示( 4(映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B” 给定一个集合A到B的映射，如果a?A,b?B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明:函数是一

8、种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，?集合A、B及对应法则f是确定的;?对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;?对于映射f:A?B来说，则应满足:(?)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(?)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(?)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5.常用的函数表示法:解析法: 图象法: 列表法: 6.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集(

9、7(函数单调性(1)(设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x10时， ( )的两个根为 ( )，则 ， ， ， 4、?=0时， ( )的两个等根为 ，则 ， 无解 ， 5、?2的 集 xR| 解 是 x-32或 x-32 x| 4、 合 分 : 集 的 类 1( 限 含 有 个 素 集 有 集 有 限 元 的 合 2( 限 含 无 个 素 集 无 集 有 限 元 的 合 3( 集 空 不 任 元 的 合 含 何 素 集 例 x|x2=, : 5, 二 集 间 基 关 、 合 的 本 系 1.“包 ”关 集 含 系 子 注 :A B 有

10、种 能 1) 意 两 可 ( A是B的 部 ， 2) 一 分 ; A与B是 一 合 ( 同 集 。 B或B A 反 :集 之 合A不 含 集 包 于 合B,或 合B不 含 合A,记 集 包 集 作A 2( 等 系 “相 ”关 (5?5， 且5?5， 则5=5) 实 : A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元 相 ” 例 设 素 同 结 : 于 个 合A与B， 果 合A的 何 个 素 是 合B的 素 同 ,集 论 对 两 集 如 集 任 一 元 都 集 元 ， 时 合B的 何 个 素 是 合A的 任 一 元 都 集 元 素 我 就 集 ， 们 说 合A等 集 于 合B， : 即 A=B ? 任

11、 一 集 是 本 的 集 AA 何 个 合 它 身 子 。 ? 子 :如 真 集 果AB,且A B那 说 合A是 合B的 子 ， 作A 就 集 集 真 集 记 ? 果 AB, BC ,那 AC 如 么 Page 1 of 8 B(或B A) ?如 果AB 同 BA 那 时 么A=B 3. 不 任 元 的 合 做 集 记 含 何 素 集 叫 空 ， 为 规 : 空 是 何 合 子 ，空 是 何 空 合 真 集 定 集 任 集 的 集 集 任 非 集 的 子 。 三 集 的 算 、 合 运 1、 集 定 : 般 ， 所 属 交 的 义 一 地 由 有 于A 且 于B 的 素 组 的 合 做A,B

12、的 集 记 属 元 所 成 集 ,叫 交 ( 作A?B(读 : 交B: 即A? 作 A )， B= x|x?A， 且x?B( 2、 集 定 : 般 ， 所 属 集 并 的 义 一 地 由 有 于 合A或 于 合B的 素 组 的 合 叫 属 集 元 所 成 集 ， 做A,B的 集 记 : 并 。 作 A?B(读 : 作 A并B: )， 即A?B=x|x?A， 或x?B( 3、 集 并 的 质 A?A = A, A?= , A?B = B?A， 交 与 集 性 : A?A = A,A?= A ,A?B = B?A. 4、 集 补 全 与 集 ( 补 : 1) 集 设S是 个 合 A是S的 个 集

13、即A S ) 由S中 有 属 一 集 ， 一 子 ( ， 所 不 于A的 素 成 元 组 的 集 ， 做S中 集A的 集 或 集 记 : CSA 合 叫 子 补 ( 余 ) 作 通 用U来 示 常 表 。 ( 性 : CU(CUA)=A ? UA)?A= ? UA)?A=U 3) 质 ? (C (C 四 函 的 关 念 、 数 有 概 1( 数 概 : 函 的 念 设A、 非 的 集 如 按 某 确 的 应 系f， 对 集 B是 空 数 ， 果 照 个 定 对 关 使 于 合A中 任 一 数x， 集 的 意 个 在 合B中 有 都 唯 一 定 数f(x)和 对 ， 么 称f: 确 的 它 应

14、那 就 A?B 为 集 从 合A到 合B 的 个 数 记 : y=f(x)， 集 一 函 ( 作 x?A( 中 x 其 ， 叫 自 量 x的 值 围A叫 函 的 义 ; 做 变 ， 取 范 做 数 定 域 与x的 相 应 值 对 的y值 做 数 ， 数 的 合 x?A 叫 函 值 函 值 集 f(x)| 叫 函 的 域 做 数 值 ( 注 : 果 给 解 式 y=f(x)， 没 指 它 定 域 则 数 定 域 是 能 这 式 有 义 实 的 合 函 意 如 只 出 析 而 有 明 的 义 ， 函 的 义 即 指 使 个 子 意 的 数 集 ; 数 的 义 、 域 写 集 或 间 形 ( 定 域

15、 值 要 成 合 区 的 式 定 域 充 使 数 有 义 实 义 补 :能 函 式 意 的 数x的 合 为 数 定 域 求 数 定 域 列 等 组 主 依 是 集 称 函 的 义 ， 函 的 义 时 不 式 的 要 据 : (1)分 的 母 等 零 式 分 不 于 ; (2)偶 方 的 开 数 小 零 次 根 被 方 不 于 ; (3)对 式 真 必 大 零 数 的 数 的 必 大 零 不 于1. 数 对 式 底 须 于 且 等 (5)如 函 是 一 基 须 于 ; (4)指 、 数函 通 四 运 结 而 的 么 它 定 域 使 部 都 意 的x的 组 的 合 果 数 由 些 本 数 过 则

16、算 合 成 .那 ， 的 义 是 各 分 有 义 值 成 集 . (6)指 为 底 可 等 零 数 零 不 以 于 (7)实 问 中 函 的 义 还 保 实 问 有 义 注 : 出 等 组 解 即 函 的 义 。 际 题 的 数 定 域 要 证 际 题 意 .(又 意 求 不 式 的 集 为 数 定 域 ) 构 函 的 要 : 义 、 应 系 值 成 数 三 素 定 域 对 关 和 域 再 意 注 : ( 构 函 三 要 是 义 、 应 系 值 ( 于 域 由 义 和 应 系 定 ， 以 如 两 函 的 义 1) 成 数 个 素 定 域 对 关 和 域 由 值 是 定 域 对 关 决 的 所

17、， 果 个 数 定 域 和 应 系 全 致 即 这 个 数 等 或 同 函 ) 对 关 完 一 ， 称 两 函 相 ( 为 一 数 ( 两 函 相 当 仅 它 的 义 和 应 系 全 致 而 表 自 量 函 值 字 无 。同 数 判 方 : 2) 个 数 等 且 当 们 定 域 对 关 完 一 ， 与 示 变 和 数 的 母 关 相 函 的 断 法 ? 达 相 ; 定 域 致 (两 必 同 具 ) 表 式 同 ? 义 一 点 须 时 备 Page 2 of 8 即 CSA =x xS且 xA ( 全 : 果 合S含 我 所 研 的 个 合 全 元 ， 个 合 可 看 一 全 。 2) 集 如

18、集 有 们 要 究 各 集 的 部 素 这 集 就 以 作 个 集 S CsA A 值 补 :( 、 数 值 取 于 义 和 应 则 不 采 什 方 求 数 值 都 先 虑 定 域 域 充 1) 函 的 域 决 定 域 对 法 ， 论 取 么 法 函 的 域 应 考 其 义 . ( 应 悉 握 次 数 二 函 、 数 对 函 及 三 函 的 域 它 求 复 函 值 的 础 2) 熟 掌 一 函 、 次 数 指 、 数 数 各 角 数 值 ， 是 解 杂 数 域 基 。 2. 函 图 知 归 数 象 识 纳 (1)定 : 平 直 坐 系 ， 函 y=f(x) , (x?A)中 义在 面 角 标

19、中以 数 的x为 坐 ， 数 横 标 函 值y为 坐 的 纵 标 点P(x， 集 y)的 合C， 做 数 y=f(x),(x 叫 函 ?A)的 象 C上 一 的 标 y)均 足 数 系y=f(x)， 过 ， 满 图 ( 每 点 坐 (x， 满 函 关 反 来 以 足y=f(x)的 一 有 实 对x、 坐 每 组 序 数 y为 标 的 (x， 均 点 y)， 在C上 . 即 为C= P(x,y) | y= f(x) , x?A 。 象C一 的 一 光 的 续 线 直 ),也 能 由 记 图 般 是 条 滑 连 曲 (或 线 可 是 与 意 行 任 平 与Y轴 直 最 只 一 交 的 干 曲 或

20、散 组 。 的 线 多 有 个 点 若 条 线 离 点 成 (2)画 法 A、 点 : 据 数 析 和 义 ， 出x,y的 些 应 并 表 以 描 法 根 函 解 式 定 域 求 一 对 值 列 ， (x,y)为 标 坐 系 描 相 的 坐 在 标 内 出 应 点P(x, y)， 最 后 平 的 线 这 点 接 来 用 滑 曲 将 些 连 起 . B、 象 换 ( 参 必 图 变 法 请 考 修4三 函 ) 用 换 法 三 ， 平 变 、 缩 换 对 变 角 数 常 变 方 有 种 即 移 换 伸 变 和 称 换 (3)作 : 用 1、 观 看 函 的 质 直 的 出 数 形 合 方 分 解

21、的 路 提 解 的 度 发 解 中 错 。 利 数 结 的 法 析 题 性 ; 2、 用思 。 高 题 速 。 现 题 的 误 3. 了 区 的 念 解 间 概 ( 区 的 类 开 间 闭 间 半 半 区 ; 2) 穷 间 ( 区 的 轴 示 1) 间 分 : 区 、 区 、 开 闭 间 ( 无 区 ; 3) 间 数 表 ( 4( 么 做 射 什 叫 映 一 地 设A、 两 非 的 合 如 按 一 确 的 应 则f， 对 集 般 ， B是 个 空 集 ， 果 某 个 定 对 法 使 于 合A中 任 一 元 的 意 个 素x， 集 在 合B中 有 都 唯 确 的 素y与 对 ， 么 称 应f:

22、B为 集 一 定 元 之 应 那 就 对 A 从 合A到 合B的 个 射 记 “f: B” 集 一 映 。 作 A 给 一 集 定 个 合A到B的 射 如 映 ， 果a?A,b?B.且 素a和 素b对 ， 么 我 把 素b叫 元 元 元 应 那 ， 们 元 做 素a的 ， 素a叫 元 的 象 元 做 素b 原 象 说 : 数 一 特 的 射 映 是 种 殊 对 ， 集 明 函 是 种 殊 映 ， 射 一 特 的 应 ? 合A、 对 法 B及 应 则f是 定 ; 对 法 有 向 ” 即 调 确 的 ? 应 则 “方 性 强 ， 从 合A到 合B的 应 它 从B到A的 应 系 般 不 的 ? 于

23、射f: 集 集 对 ， 与 对 关 一 是 同 ; 对 映 A?B来 ， 应 足 ( 集 说 则 满 : ?) 合 A中 每 个 素 在 合B中 有 ， 且 是 一 ; ?) 合A中 同 元 ， 集 的 一 元 ， 集 都 象 并 象 唯 的( 集 不 的 素 在 合B同 对 的 可 是 一 ; ?) 要 集 个 ( 不 求 合B中 每 个 素 集 的 一 中 应 象 以元 在 合A中 有 象 都 原 。 常 的 数 示 及 自 优 : 用 函 表 法 各 的 点 1 数 象 可 是 续 曲 ， 可 是 线 折 、 散 点 等 注 判 一 图 是 是 数 象 依 ; ? 函 图 既 以 连 的

24、 线 也 以 直 、 线 离 的 等 ， 意 断 个 形 否 函 图 的 据 2 析 : 须 明 数 定 域 ?解 法 必 注 函 的 义 ; 3 象 : 点 作 要 意 确 函 的 义 ; 简 数 解 式 观 函 的 征 ?图 法 描 法 图 注 : 定 数 定 域 化 函 的 析 ; 察 数 特 ; 4 表 : 取 自 量 有 表 ， 能 映 义 的 征 ?列 法 选 的 变 要 代 性 应 反 定 域 特 ( 注 : 析 : 于 出 数 。 表 : 于 出 数 。 象 : 于 出 数 意 解 法 便 算 函 值 列 法 便 查 函 值 图 法 便 量 函 值 补 一 分 函 : 定 域

25、不 部 上 不 的 析 达 的 数 在 同 范 里 函 值 必 把 变 代 相 充 : 段 数 在 义 的 同 分 有 同 解 表 式 函 。 不 的 围 求 数 时 须 自 量 入 应 的 达 。 段 数 解 式 能 成 个 同 方 ， 就 函 值 种 同 表 式 用 个 大 表 式 分 函 的 析 不 写 几 不 的 程 而 写 数 几 不 的 达 并 一 左 括 括 来 并 别 明 部 的 变 的 值 况 ( 分 函 是 个 数 不 把 误 为 号 起 ， 分 注 各 分 自 量 取 情 ( 1) 段 数 一 函 ， 要 它 认 是 几 函 ; 2) 段 数 定 域 各 定 域 并 ，

26、域 各 值 的 集 个 数 ( 分 函 的 义 是 段 义 的 集 值 是 段 域 并 ( 补 二 复 函 : 果y=f(u),(u?M),u=g(x),(x?A),则 y=fg(x)=F(x)， 充 :合 数如 (x?A) 称 g的 合 数 例 : y=2sinX y=2cos(X2+1) 为f、 复 函 。 如 5( 数 调 函 单 性 ( 增 数 1) 函 Page 3 of 8 设 数y=f(x)的 义 为I， 果 于 义 函 定 域 如 对 定 域I内 某 区 的 个 间D内 任 两 自 量x1， 2， 1x2时 都 的 意 个 变 x 当x ， 有f(x1)f(x2)， 那 就 么

27、 说f(x)在 间D上 增 数 区 区 是 函 。 间D称 为y=f(x)的 调 区 ( 清 课 单 区 的 念 单 增 间 睇 楚 本 调 间 概 ) 如 对 区 果 于 间D上 任 两 自 量 值x1， 2， 1x2 时 都 的 意 个 变 的 x 当x ， 有f(x1), f(x2)， 么 说f(x)在 个 间 是 函 .区 那 就 这 区 上 减 数 间D称 为y=f(x)的 调 区 . 单 减 间 1 注 : 函 的 调 是 定 域 的 个 间 的 质 是 数 局 性 ; 意 ? 数 单 性 在 义 内 某 区 上 性 ， 函 的 部 质 2 须 对 区 ? 必 是 于 间D内 任

28、两 自 量x1， 2; 1x2时 总 的 意 个 变 x 当x ， 有f(x1)f(x2) 。 ( 图 的 点 2) 象 特 如 函 果 数y=f(x)在 个 间 增 数 减 数 那 说 数y=f(x)在 一 间 具 (严 的 调 ， 单 区 上 函 某 区 是 函 或 函 ， 么 函 这 区 上 有 格 )单 性 在 调 间 增 数 图 从 到 是 升 ， 函 的 象 左 右 下 的 的 象 左 右 上 的 减 数 图 从 到 是 降 . ( 函 单 区 与 调 的 定 法 3) 数 调 间 单 性 判 方 (A) 定 法 义 : 1 取1， 2?D， 1x2; 且x 2 差f(x1), 2); ? x x ? 任作 f(x 3 形 通 是 式 解 配 ) ?变 ( 常 因 分 和 方; 4 号 即 断 ? 定 ( 判 差f(x1), 2)的 负 ; f(x 正 ) 5 结 ( 出 数f(x)在 定 区 ?下 论 指 函 给 的 间D上 单 性 ( 的 调 ) (B)图 法 图 上 升 )_ 象 (从 象 看 降 (C)复 函 的 调 合 数 单 性 复 函 合 数fg(x)的 调 与 成 的 数u=g(x)， 单 性 构 它 函 y=f(u)的 调 密 相 ，