勾股定理导学案doc.docx

1、勾股定理导学案doc17.1勾股定理导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、 了解勾股定理的由来 经历探索勾股定理的过程2、 理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用【重点难点】重点：理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法难点：勾股定理的证明知识概览图直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 Y勾股定理 公式a2+b2=c2 （c为斜边长）新课导引如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少?根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知曲=17米，AC=5米,ZACB=90 ,如何求这个三角形的边的长呢?教材精华知识点1有关勾股定理的历史古时候，把直角三角

2、形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股4、弓玄5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意图 18 - 1思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3,弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.知识点2勾股定理的探索让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.观察图18.1,正方形A中有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.正方形B中有9个小方 格，即B的面积是9个单位面积.正方形C中有18个小方格，即。的面积是18个单位面积.可以发 现，C的面积=A的而积+B的而积.知识点3勾股定理如果直角三角形的两直角边长

3、分别为。，b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两宜角边的平方和等于斜边的平方.【拓展】（1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了.（2） 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即“形”与三边关系这一 “数”结合起来，是数形结合思想（3） 勾股定理的证明.证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼证法1：如图18.2所示，因为大正方形的边长是好饥 而中间小正方形的面积为己周围四个直角三角形面积和为4X,故有ggSX*, 整理得。2 4-Z?2 = C2 .证法2：如图18.3所示，图为大正方形的边长是。+们所以它的面积为（。+幻2,

4、又因为该正方 形的边氏与如图18.2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.故有尸 +h2 +4X-ab =c2+4X-ab,整理得a2 + b2 =c2.2 2证法3：如图18.4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角 形拼成的.11 1 1 9 1 9S 梯形=(。+/7)(。+幻=(。+ /?)2， s 梯形= ab X2+二c =ab+c,22 2 2 2 (4-/?)2 = ab-c2 7 整理得 a2 +/?2 = c2. 2 2证法4：如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.以c为边的大正方形面积是决，而4个直角三角形的面

5、积和为4x4泌，且中间的小正方形 2的而积是(b-a)2.JX择+S)2,整理得2.知识点4勾股定理的应用(1)运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角 边长，求斜边长.(2)运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由/+屏=。2可以得到如下关 系： a2 =c2-lr ； b2 =c2 -a2 ； c = J a? + 屏；a = lc2-b2 ； b = lc2-a2 .课堂检测基础知识应用题1、在左ABC 中，ZC=90 .(1)若。=5, &=12,求 c；(2)若 c=26f b=24,求 o.2、在一棵树的10 m高处有两只猴子，其

6、中一只爬下树走向离树20 m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴了经过的路程相等,那么这棵树有多高?综合应用题3、如图 1810 所示，在A8C 中，4=60 ， A8=I5cm, AC=24 的长.4、如图18-11所示，A, B两个村子在河CD同侧，A, B两村到河的距离分别为AC=1 km, BD=3W 18 - 11km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向0, B两村输送自来 工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置。，使铺设 省，并求出铺设水管的总费用.探索创新题5、已知RtAABC中，ZA, ZB, NC的对边长分别为a,b,c,设A3C的面积为S,

7、周长为(1)请你完成下面的表格;(用含2的代数式表示);(3)请说明你写的猜想的推理过程.体验中考1、图18.19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形.若正方形X, B, C, D的边长分别是3, 5, 2, 3,则最大正方形E的而积是 ( )A.B. 2613C. 47D. 94如果沿着氏方体的表面从点A爬到点8,需要爬行的最短距离是（）A.B. 25D. 355V21C. 105+5学后反思【解题方法小结】（1） 求不规则图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形.（2） 四边形中常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.（3） 点到线的最短距离是

8、垂线段的氏度，在同一题中可能反复应用勾股定理.附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解析 利用勾股定理a2+h2=c2来求未知边长.【解题方法】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理原式还是变式.解:SA ABC 中，ZC=90 ,所以 a2+b2=c2.(1)因为疽 + b，= , 0=5力=12,所以凌=屏 + 胪=52 +122 = 25 +144 = 169 ,所以 c=13.(2)因为 a2 +b2 = c2 9 c=36,b=24,所以a2=c2-b2=262-242 = 676一576 = 100.所以 a=l0.2、解析 如图

9、18.9所示，设A为树根刀为树顶,6为猴子所在处，则A8=10m,C为池塘，设BD=x m,已知两只猴了走过的路程相等，即DB+CD=AB+AQ就可以应用勾 C。,继而求出树高AD.解:如图18-9所示,B为猴子初始位置，则AB=IO m,C为池塘，则设 BD=x m,则树高 AD=(10+x)m.BD+CD=AB+A C,:. x+ CD=20+10.CD=(30小)m.在RtA/lCD中，匕A=90 ,由勾股定理得AC2 + AD2 = CD :.202+ ( 10+x) 2=(30小)C .45.树高 AD=10+5=15(m).3、解析 本题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角

10、三角形.已知ZA=60 ,因此作A8边上的高或AC边上的高，运用含30角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解.解：过点C作CDYAB,垂足为D,所以 ZADC=90 .因为匕4=60。，所以ZACD=30 .f!fxXAD=-AC=- X24=12 (cm). 2 2又因为48=15 cm,所以 BD=AB-AD=i5A2=3 (cm)在 RtADC 中，CD2 = AC2 - AD2 =242 -22 = 432.在 RtABCQ 中，BC2 =DC2 +BZ)2 = 432 + 32 = 441.所以 BC= V441=21 (cm).4、 解析 若最省钱只需AO+B。最小，可将A, 0,

11、 B放在一条线段上考虑，故只需找到点A关 于CD的对称点人，连接A B交CD于0,则水厂建在。点处即可，构造直角三角形，应用勾 股定理就可-求出各边长.解：作点A关于C。的对称点A,连接A B交CD于点0,则。点就是水厂的位置.过A作A H/CD交延长线于H,AA 7 HB为直角三角形.在 RtAA HB 中，人/ H=CD=3,BH=BD+DH=BD+A C=BO+AC=l+3=4,由勾股定理得A fi=V32 +42 =5,.总费用为2000X5=10000 (元).5、 解：(1)表格中左栏从上至下依次填2, 4, 6,石栏从上至下依次填上，1,2 2(2)竺4(3)推理过程如下：因为。

12、2+/ =已所以一。 = (a + b + c)(a + b-c) = (a-bY -c24 4 4L、 ， =(6/2 +2ah + h2 一c、2) = (a2 +h -c2 + 2ab) = x2ah = ah.4 4 4 2又因为S=ab ,所以S=L/m,即=.2 4 I 4体验中考1、C 解析 由正方形面积和勾股定理可得E的面积为(32+52) + (22+32) =47.2、B 解析 空间为曲=410?+5?+202 =5四,而此题蚂蚁是在长方体表面爬行，因此不能选A.17.2勾股定理的逆定理知识精点1.勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式/+护=己 则这个三角形是直

13、角 三角形.2.勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形.3.用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题.重、难、疑点重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直.难点：用勾股定理及其逆定理解决-些实际问题.疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题.典例精讲例1试判断：三边长分别为22+2,2 + 1,22+2 + 1(0)的三角形是不是直角三角形?方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断.解：.(22+2 + 1) (22+2)= 10,(2后 + 2 +1) - (2 +1) = 2n2 0( 0),2n2 + 2 +1为三角形的最大边.又W

14、 +2 + 1)2 =44 +8疽 +8/ +如 + 1 ,(2.2 + 2n)2 + (2 +1)2 = 4/ + 83 + 8/?2 + 4 +1,.(2湛 +2 + l)2 =(2准 +2疔 +(2m + 1)2 .由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两 边的平方和.若是则是直角三角形，反之不是.举一反三 试判断：三边长分别为m - n2,2mn,m2 +n2(m /? 0)的三角形是不是直角三角 形？解：mn0, m 2mn, m + n ，rr 一 .m2 +温为三角形的最大边，又L (m2 -

15、 n2 )2(2mn)2 = m4 -2m2n2 +n4 +4m2n2 z 2 9 x ? 4c22 4 a 2 2(m -f-m) -m 一2广+ +4m，： (m2 -n2)2 +(2冲)2 = (m2 +n2)2 .由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.例2如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且求证: 4AAEF是直角三角形.方法指导：耍证AAEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE2+EF2=AF2即可.11 7解：证明：设正方形ABCD的边长为a,则BE = CE = , CF=-a , DF=-A .24 4在RtAABEP，由勾股定理得:AE

16、2 =AB2+BE2 =/+&)2 =-tz2. 2 4同理在RtAABE中，由勾股定理得：AF2 =AD2+DF2 =/ +&)2 =芝/ 4 16在RtACEF中，由勾股定理得：EF2 =CE2 +CF2 =(-a)2 +(-a)2 = a2 . 2 4 16 AF2 =AE2+EF2.AEF是直角三角形.方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断 三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一.举一反三 如图，在四边形ABCD中，ZB=90 , AB=BC=4, CD=6, DA=2,求ZDAB的 度数.解：连接AC,在 RtABC 中，ZB=

17、90 ， AB=BC=4,AZBAC=45 ， AC2 = AB2 + BC2 =16 + 16 = 32.在 ADC 中，AD2 +AC2 =4 + 32 = 36 = CD2, .ADC是直角三角形，ZDAC=90 .A ZDAB=ZBAC+ZDAC=45 +90 =135 .例3 如图，ZDEF中，DE=17cm, EF=30cm, EF边上的中线DG=8cm,求ZiDEF的面积.D方法指导：利用勾股定理的逆定理解题.解：VEF=30cm, A EG =-EF = 15cm, 2V DE2 = 172 = 289, DG2 =82 =64,EG2 =152 =225, DE2 = DG：

18、 + EG?.:.ADGE是直角三角形，即DGEF, 1 9. Sdef = EF DG = 120cm2 . 2方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直.举一反三 己知如图，ZB=ZD=90 , ZA=60 , AB=10, CD=6,求四边形ABCD的面积.解：延长AD、BC交于点E.在 RtAABE 中，ZB=90 , ZA=60 , AB=1(),AE=20.由勾股定理可得：BE = AE2 -AB2 = 103 ,. Sbe =-x10x10a/3 =503 .2在 RtACDE 中，ZCDE=90 , ZE=30 , CD=6, CE = 12,DE = CE2-CD2 = 63

19、 .四边形ABCD的面积为：50V3-18V3 =323 .例4已知AABC的三边长为a, b, c,且满足a2c2-b2c2 =a4-b4，试判断AABC的形状.方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确 结论.解：a2c2 -b2c2 = o ，二(/ -b2)c2 = (a2 +b2)(a2 -护).(a2 +b2 -c2)(a2 +b2) = ()./. a2 +/?2 -c2 = 0或人2 = o .当J+/J疽=()时，有。2+/=己由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；当。2时，有4=匕 此时三角形是等腰三角形.综上，AABC是直角三

20、角形或等腰三角形.方法总结：此题易犯的错误是由(a2-b2)c2=(a2-b2)(a2-b2)得/+尸一尸二。，漏掉a2-b2=0这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性.举一反三 若左ABC的三边满足条件。之+ b2 + c、2 + 338 = 10。+ 248 + 26c ,试判断 ABC的形 状.解：. / + 尸 + 338 = 10。+ 24。+ 26c ,:.a2 +b2 +c2 +338 10。 24/? 26c = 0.(g 5)2 +0 12)2 +(c 13尸=o.a=5, b=12, c=13./+/?2=c，2,.ABC是直角三角形.例 5 如图，在四边形 ABCD 中，

21、ZC=90 , AB=13, BC=4, CD=3, AD=12,求证：ADBD.方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题.解：.在BCD 中，BC=4, CD=3,.由勾股定理得：BD2 =BC2 +CD1 =42+32 =25,即 BD=5.在MBD 中,VBD=5, AB=13, AD=12, AB2 = AD? + BD,由勾股定理逆定理知：AABD是直角三角形，且ZADB=90 , AAD1BD.方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理, 只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形.举一反三 如图，在左ABC44, AD

22、1BD,垂足为 D, AB=25, CD=18, BD=7,求 AC.解：在 RtAADB 中，AB=25, BD=7,由勾股定理得：AD2 = AB2 - BD2 = 252 - 72 = 576.AAD=24.& RtAADC 中，VAD=24, CD=18, AC = AD- +CD2 = J242 +应=3()例6 如图，已知AABC中，AB=AC, D为BC上任一点，求证：AD? + BD DC = AB?.A.方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造 直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件.解：过点A作AE1BC于E.VAB=AC, .BE

23、=EC.XVAE1BC, A AB2 =AE2+BE2 fAD1 =AE2+ED2.:.AB2 -AD- =BE2 -ED2=(BE + ED)(BE 一 ED) = (EC + ED)(BE 一 ED) = CD BD .:.AD- + BD DC = AB?.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三 角形.在解决问题的过程中，代数和儿何的知识经常结合应用.举一反三 如图所示，DE=m, BC=n, ZEBC与ZDCB互余，求BD2 +CE2.知识网络三角形三边的长度顷定理麻达形式三角形是直角三角形学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的

24、逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可 以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的 新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边,若/+/?2=疽，则三角形是直角三角形；若 /+。2疽，则三角形是锐角三角形；若a2+b2 m)；（4） n2-l,2n,n2+l.其中能作为直角三角形的三条边长的有（c=25； (5) a=2. 5, b=2, c=3.ABCD的而积.16.已知：如图 18.2-5,在AABC 中，AC=5, AB=12, BC=13,求 BC 边上的W AD.17.初

25、春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向 前进，第一组的速度是30m/min,第二组的速度是40m/in,半小时后两组同学同时停下来，而此时 两组同学相距1500m. (1)两组同学行走的方向是否成直角？ (2)如果接下来两组同学以原来 的速度相向而行，多长时间后能相遇？18.如图 18. 2-6,长方形 ABCD 中，AB=3, BC=4, E, F 分另ij在 AB, BC 上，且 BE=BF=1.问EFD是否是直角三角形？并说明理由.图 18.2-619.先阅读下列文字，然后按要求回答问题：如图 18.2-7,在AABC 中，CDJ_AB 于 D,且C

26、D1 =BD AD, ZA, NB 都是锐角.在 RtA ABC 中，CD2 =AC2 -AD2 .所以 AC2 - AD2 =BDAD , BP AC2 =ADBDAD ,AC2 = AD(AD + BD) = AD AB .如果在RtABDC中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可 得到AABC是什么形状的三角形？18.2-7同步练习二1.如图，长方形ABCD的长ABT2,宽CB=10, E是BC的中点.那么AE=.2.如图，正方体ABCDA B C D的棱长是3,那么AC2 =ArC3.一只蚂蚁从氏、宽都是3,高是8的氏方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的 最短路线的长是.4.工

27、人师傅常用如卜方法来检验电线杆是否垂直于地面.现测得拉线AB=10m, BD=8m,AD=6m.问此时电线杆是否与地面垂直？ ,因为.5.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中6.7.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm8.如图，正方形ABCD中，A01BD, OE, FG, HI都垂直于AD； EF, GH, IJ都垂直于A0.如已知IJ=1.求BD的长.9.A ABC AB=m5, AC=

28、m+ll, BC=24,则当 m=时，ZB=90 .10.ZXABC 中，三边 a, b, c 满足c2 +(/? + c)2 = +c(2ft + c),那么ZABC 是 三角11.如图，四边形 ABCD 中，ZBAD=90 , AD=3cm, AB=4cm, BC=5cm, CD=6cm.(1)连接BD,判别ACBD的形状.(2)求四边形ABCD的面积.(3)(10题图)12.(1)如图(1), 一个梯了 AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯了下端B与墙根 C距离为1.5m,梯子滑动手停在DE的位置上，如图(2)所示，测得BD的长为0.5m，问梯子顶 端A下落的距离是否也为0.5m?为什么？(2)如图(3)梯子AB靠在墙上，梯子底端A到