勾股定理导学案doc.docx
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17.1勾股定理导学案
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解勾股定理的由来经历探索勾股定理的过程
2、理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用
【重点难点】
重点：
理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法
难点：
勾股定理的证明
知识概览图
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方Y
勾股定理公式a2+b2=c2（c为斜边长）
新课导引
如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少?
根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知曲=17米，AC=5米,
ZACB=90°,如何求这个三角形的边的长呢?
教材精华
知识点1有关勾股定理的历史
古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾
3、股4、弓玄5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：
“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意
图18-1
思是说：
矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3,
弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.
知识点2勾股定理的探索
让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.
观察图18.1,正方形A中有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.正方形B中有9个小方格，即B的面积是9个单位面积.正方形C中有18个小方格，即。
的面积是18个单位面积.可以发现，C的面积=A的而积+B的而积.
知识点3勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为。
，b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
即直角三角形两宜角边的平方和等于斜边的平方.
【拓展】
（1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没
有这种关系了.
（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即
“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想
（3）勾股定理的证明.
证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼
证法1：
如图18.2所示，因为大正方形的边长是好饥而中间小正方形的面积为己周围四个直角三角形面积和为4X»,故有ggSX*,整理得。
24-Z?
2=C2.
证法2：
如图18.3所示，图为大正方形的边长是。
+们所以它的面积为（。
+幻2,又因为该正方形的边氏与如图18.2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.
故有尸+h2+4X-ab=c2+4X-ab,整理得a2+b2=c2.
22
证法3：
如图18.4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c•为直角边的等腰直角三角形拼成的.
1111919
•「S梯形=—（。
+/7）（。
+幻=—（。
+/?
）2，s梯形=—abX2+二c=ab+—c^,
22222
—（«4-/?
）2=ab-^—c27整理得a2+/?
2=c2.22
证法4：
如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.
・.•以c为边的大正方形面积是决，而4个直角三角形的面积和为4x4泌，且中间的小正方形2
的而积是（b-a）2.
・・・JX择+S）2,整理得2.
知识点4勾股定理的应用
（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长.
（2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由/+屏=。
2可以得到如下关系：
①a2=c2-lr；②b2=c2-a2；③c=Ja?
+屏；@a=\lc2-b2；@b=\lc2-a2.
课堂检测
基础知识应用题
1、在左ABC中，ZC=90°.
（1）若。
=5,&=12,求c；
（2）若c=26fb=24,求o.
2、在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池塘，而另一只爬到树顶
后直扑池塘，如果两只猴了经过的路程相等,那么这棵树有多高?
综合应用题
3、如图18・10所示，在△A8C中，4=60°，A8=I5cm,AC=24的长.
4、如图18-11所示，A,B两个村子在河CD同侧，A,B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3
W18-11
km,CD=3km.现要在河边CD上建一水厂，向0,B两村输送自来工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置。
，使铺设省，并求出铺设水管的总费用.
探索创新题
5、已知RtAABC中，ZA,ZB,NC的对边长分别为a,b,c,设△A3C的面积为S,周长为
（1）请你完成下面的表格;
（用含〃2的代数式表示）;
（3）
请说明你写的猜想的推理过程.
体验中考
1、图18.19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形X,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的而积是（）
A.
B.26
13
C.47
D.94
如果沿着氏方体的表面从点A爬到点8,需要爬行的最短距离是（）
A.
B.25
D.35
5V21
C.10^5+5
学后反思
【解题方法小结】
（1）求不规则图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形.
（2）四边形中常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.
（3）点到线的最短距离是垂线段的氏度，在同一题中可能反复应用勾股定理.
附：
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析利用勾股定理a2+h2=c2来求未知边长.
【解题方法】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜
边，再决定用勾股定理原式还是变式.
解:
SAABC中，ZC=90°,所以a2+b2=c2.
（1）因为疽+b，=,0=5力=12,
所以凌=屏+胪=52+122=25+144=169,所以c=13.
（2）因为a2+b2=c29c=36,b=24,
所以a2=c2-b2=262-242=676一576=100.所以a=l0.
2、解析如图18.9所示，设A为树根刀为树顶,6为猴子所在处，则A8=10m,C为池塘，设BD=xm,
已知两只猴了走过的路程相等，即DB+CD=AB+AQ就可以应用勾C。
继而求出树高AD.
解:
如图18-9所示,B为猴子初始位置，则AB=IOm,C为池塘，则
设BD=xm,则树高AD=（10+x）m.
BD+CD=AB+AC,:
.x+CD=20+10.
・・・CD=（30小）m.
在RtA/lCD中，匕A=90°,由勾股定理得AC2+AD2=CD\:
.202+（10+x）2=（30小）C.・.45.
..•树高AD=10+5=15（m）.
3、解析本题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知ZA=60°,因此作
A8边上的高或AC边上的高，运用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解.
解：
过点C作CDYAB,垂足为D,
所以ZADC=90°.
因为匕4=60。
，所以ZACD=30°.
f!
fx^XAD=-AC=-X24=12（cm）.22
又因为48=15cm,
所以BD=AB-AD=i5A2=3（cm）・
在Rt^ADC中，CD2=AC2-AD2=242-\22=432.
在RtABCQ中，BC2=DC2+BZ）2=432+32=441.
所以BC=V441=21（cm）.
4、解析若最省钱只需AO+B。
最小，可将A,0,B放在一条线段上考虑，故只需找到点A关于CD的对称点人’，连接A'B交CD于0,则水厂建在。
点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可-求出各边长.
解：
作点A关于C。
的对称点A',连接A'B交CD于点0,则。
点就是水厂的位置.
过A'作A'H//CD交延长线于H,
AA7HB为直角三角形.
在RtAA'HB中，人/H=CD=3,
BH=BD+DH=BD+A'C=BO+AC=l+3=4,
由勾股定理得A'fi=V32+42=5,
.••总费用为2000X5=10000（元）.
5、解：
（1）表格中左栏从上至下依次填2,4,6,石栏从上至下依次填上，1,
22
（2）竺
4
（3）推理过程如下：
因为。
2+/^=已
所以一。
〃=—（a+b+c）（a+b-c）=—\（a-\-bY-c2
444L、，」
=—（6/2+2ah+h2一c、2）=—（a2+h~-c2+2ab）=—x2ah=—ah.
4442
又因为S='ab,所以S=L/m,即—=—.
24I4
体验中考
1、C解析由正方形面积和勾股定理可得E的面积为（32+52）+（22+32）=47.
2、B解析空间为曲=410?
+5?
+202=5四,而此题蚂蚁是在长方体表面爬行，因此不能选
A.
17.2勾股定理的逆定理
知识精点
1.勾股定理的逆定理：
若一个三角形的三条边满足关系式/+护=己则这个三角形是直角三角形.
2.勾股定理的作用：
判断一个三角形是不是直角三角形.
3.用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题.
重、难、疑点
重点：
掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直.
难点：
用勾股定理及其逆定理解决-些实际问题.
疑点：
如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题.
典例精讲
例1试判断：
三边长分别为2〃2+2〃,2〃+1,2〃2+2〃+1（〃〉0）的三角形是不是直角三角形?
方法指导：
先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断.
解：
・.・（2〃2+2〃+1）—（2〃2+2〃）=1〉0,
（2后+2〃+1）-（2〃+1）=2n2>0（〃>0）,
・•・2n2+2〃+1为三角形的最大边.
又・「W+2〃+1）2=4〃4+8疽+8/+如+1,
（2.2+2n）2+（2〃+1）2=4/+8〃3+8/?
2+4〃+1,
...（2湛+2〃+l）2=（2准+2疔+（2m+1）2.
由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.
方法总结：
判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和.若是则是直角三角形，反之不是.
举一反三试判断：
三边长分别为m~-n2,2mn,m2+n2（m>/?
>0）的三角形是不是直角三角形？
解：
m>n>0,
••m~~〉2mn,m+n〉，rr一〃~.
・•・m2+温为三角形的最大边，
又L（m2-n2）2（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2»
z29x?
4c224a22
（m-f-m~）~-m一2"广〃~+"+4m~〃，
：
•（m2-n2）2+（2冲）2=（m2+n2）2.
由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.
例2如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且求证:
4
AAEF是直角三角形.
方法指导：
耍证AAEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE2+EF2=AF2即可.
117
解：
证明：
设正方形ABCD的边长为a,则BE=CE=—,CF=-a,DF=-A.
244
在RtAABE'P，由勾股定理得:
AE2=AB2+BE2=/+&）2=-tz2.24
同理在RtAABE中，由勾股定理得：
AF2=AD2+DF2=/+&）2=芝/416
在RtACEF中，由勾股定理得：
EF2=CE2+CF2=（-a）2+（-a）2=—a2.2416
「・AF2=AE2+EF2.
.•.△AEF是直角三角形.
方法总结：
利用代数方法，计算三角形的三边看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一.
举一反三如图，在四边形ABCD中，ZB=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2,求ZDAB的度数.
解：
连接AC,
在Rt^ABC中，ZB=90°，AB=BC=4,
AZBAC=45°，AC2=AB2+BC2=16+16=32.
在△ADC中，AD2+AC2=4+32=36=CD2,「.△ADC是直角三角形，ZDAC=90°.
AZDAB=ZBAC+ZDAC=45°+90°=135°.
例3如图，Z^DEF中，DE=17cm,EF=30cm,EF边上的中线DG=8cm,求ZiDEF的面积.
D
方法指导：
利用勾股定理的逆定理解题.
解：
VEF=30cm,AEG=-EF=15cm,2
VDE2=172=289,DG2=82=64,
EG2=152=225,
・•・DE2=DG：
+EG?
.
:
.ADGE是直角三角形，即DG±EF,19
・.・S^def=—EFDG=120cm2.2
方法总结：
利用勾股定理的逆定理可证两线垂直.
举一反三己知如图，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=10,CD=6,求四边形ABCD的面积.
解：
延长AD、BC交于点E.
在RtAABE中，ZB=90°,ZA=60°,AB=1（）,
・・・AE=20.
由勾股定理可得：
BE=^AE2-AB2=10^3,
・.・S^be=-x10x10a/3=50^3.
2
在RtACDE中，
ZCDE=90°,ZE=30°,CD=6,
・•・CE=12,DE=^CE2-CD2=6^3.
.•・四边形ABCD的面积为：
50V3-18V3=32^3.
例4已知AABC的三边长为a,b,c,且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断AABC的形状.
方法指导：
要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论.
解：
a2c2-b2c2=o'，
二（/-b2）c2=（a2+b2）（a2-护）.
（a2+b2-c2）（a2+b2）=（）.
/.a2+/?
2-c2=0或—人2=o.
当J+/J—疽=（）时，有。
2+/=己
由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；
当。
2—时，有4=匕此时三角形是等腰三角形.
综上，AABC是直角三角形或等腰三角形.
方法总结：
此题易犯的错误是由（a2-b2）c2=（a2-^-b2）（a2-b2）得/+尸一尸二。
，漏掉
a2-b2=0这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性.
举一反三若左ABC的三边满足条件。
之+b2+c、2+338=10。
+248+26c,试判断△ABC的形状.
解：
・.•/+尸++338=10。
+24。
+26c,
:
.a2+b2+c2+338—10。
—24/?
—26c=0.
・•.（g—5）2+0—12）2+（c—13尸=o.
.・.a=5,b=12,c=13.
.・./+/?
2=c，2,「.△ABC是直角三角形.
例5如图，在四边形ABCD中，ZC=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证：
AD±
BD.
方法指导：
可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题.
解：
..•在"BCD中，BC=4,CD=3,
..•由勾股定理得：
BD2=BC2+CD1=42+32=25,
即BD=5.
在MBD中,VBD=5,AB=13,AD=12,
・•・AB2=AD?
+BD〉,
由勾股定理逆定理知：
AABD是直角三角形，
且ZADB=90°,AAD1BD.
方法总结：
判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理,只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形.
举一反三如图，在左ABC44,AD1BD,垂足为D,AB=25,CD=18,BD=7,求AC.
解：
在RtAADB中，AB=25,BD=7,
由勾股定理得：
AD2=AB2-BD2=252-72=576.
AAD=24.
&RtAADC中，VAD=24,CD=18,
・・・AC=^AD-+CD2=J242+应=3（）・
例6如图，已知AABC中，AB=AC,D为BC上任一点，求证：
AD?
+BD•DC=AB?
.
A.
方法指导：
证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件.
解：
过点A作AE1BC于E.
VAB=AC,..・BE=EC.
XVAE1BC,AAB2=AE2+BE2f
AD1=AE2+ED2.
:
.AB2-AD-=BE2-ED2
=（BE+ED）（BE一ED）=（EC+ED）（BE一ED）=CD•BD.
:
.AD-+BDDC=AB?
.
方法总结：
构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形.在解决问题的过程中，代数和儿何的知识经常结合应用.
举一反三如图所示，DE=m,BC=n,ZEBC与ZDCB互余，求BD2+CE2.
知识网络
三角形三边的长度
顷定理麻达形式］
三角形是直角三角形
学法点津
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：
利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.
三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边,若/+/?
2=疽，则三角形是直角三角形；若/+。
2〉疽，则三角形是锐角三角形；若a2+b2同步练习一
1.已知一个三角形的三边分别为3k,4k,5k（k为正整数），则这个三角形是三
角形，理由是.
2.若一个三角形的三边长为m+1,8,m+3,当m=时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边.
3.在左ABC中，a=2,b=5,则当c?
=时，ZC=90°.
4.如果一个三角形的三条边长分别是a,b,c,当/:
/：
c2=i：
3：
4时，那么这个三角形是三角形.
5.已知AABC中，AB=k,AC=2k—1,BC=3,当k=时，ZC=90°.
6.我们知道，像“3,4,5",“6,8,10”，“5,12,13",“7,24,25”这样的每组三
个数是勾股数；已知m、n是正整数，mvn,设三个勾股数中的最大一个是/+〃任.
（1）用含n,m的代数式表示前两个勾股数是
（2）如a,b,c是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称
.请再写出一组不同于这三例
为基本勾股数.例如“3,4,5"，“5,12,13",“7,24,25"
的基本勾股数:
如果线段a,b,c能组成-个直角三角形,那么尝号（
，。
22
n"一m~n+〃厂（n>m）；
（4）n2-l,2n,n2+l.其中能作为直角三角形的三条边长的有（
c=25；（5）a=2.5,b=2,c=3.
ABCD的而积.
16.已知：
如图18.2-5,在AABC中，AC=5,AB=12,BC=13,求BC边上的WAD.
17.初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min,第二组的速度是40m/in,半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m.
（1）两组同学行走的方向是否成直角？
（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
18.如图18.2-6,长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分另ij在AB,BC上，且BE=BF=1.问
△EFD是否是直角三角形？
并说明理由.
图18.2-6
19.先阅读下列文字，然后按要求回答问题：
如图18.2-7,在AABC中，CDJ_AB于D,且CD1=BDAD,ZA,NB都是锐角.在Rt
AABC中，CD2=AC2-AD2.所以AC2-AD2=BDAD,BPAC2=AD~^BDAD,
AC2=AD（AD+BD）=AD•AB.如果在RtABDC中，按照上述推理可得到什么结论呢？
进而可得到AABC是什么形状的三角形？
18.2-7
同步练习二
1.如图，长方形ABCD的长ABT2,宽CB=10,E是BC的中点.那么AE=.
2.如图，正方体ABCD—A'B'C'D'的棱长是3,那么AC2=
ArC
3.
一只蚂蚁从氏、宽都是3,高是8的氏方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是.
4.工人师傅常用如卜•方法来检验电线杆是否垂直于地面.现测得拉线AB=10m,BD=8m,
AD=6m.问此时电线杆是否与地面垂直？
因为.
5.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中
6.
7.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
8.如图，正方形ABCD中，A01BD,OE,FG,HI都垂直于AD；EF,GH,IJ都垂直于
A0.如已知IJ=1.求BD的长.
9.AABCAB=m—5,AC=m+ll,BC=24,则当m=时，ZB=90°.
10.ZXABC中，三边a,b,c满足c2+（/?
+c）2=+c（2ft+c）,那么Z\ABC是三角
11.如图，四边形ABCD中，ZBAD=90°,AD=3cm,AB=4cm,BC=5cm,CD=6cm.
（1）连接BD,判别ACBD的形状.
（2）求四边形ABCD的面积.
（3）
（10题图）
12.
（1）如图
（1）,一个梯了AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯了下端B与墙根C距离为1.5m,梯子滑动手停在DE的位置上，如图
（2）所示，测得BD的长为0.5m，问梯子顶端A下落的距离是否也为0.5m?
为什么？
（2）如图（3）梯子AB靠在墙上，梯子底端A到
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