MATLAB学习笔记.docx

1、MATLAB学习笔记Matlab学习笔记第一章矩阵及基本运算1、rand相关 rand()随机矩阵，元素在(0，1)之间； randn()正态分布随机矩阵！元素大小是不限制的，方差为1 randperm(n) 生成1到n之间n个随机数，相当于对n个数进行一个排列；2、blkdiag(a,b,c.)产生以a,b,c 为对角元素的对角矩阵；3、numel(A)计算矩阵A中元素的个数；4、compan 计算友矩阵，对于计算特征值特征向量很有帮助，eig为计算特征值；5、linspace(a,b ,n)将a，b等分为n等分，如果不输入n将视为默认1006、几个特殊矩阵：全一矩阵ones；单位矩阵eye

2、；全零阵zeros7、logspace(a,b):产生在(10a,10b)之间的对数等分向量，同样可以在最后进行限制logspace(a,b,n),eg:logspace(1,2,6)结果为：ans =10.0000 15.8489 25.1189 39.8107 63.0957 100.0000,另外还有一个:y = logspace(a,pi)，不太一样：logspace(1,pi,5) ：ans =10.0000 7.4866 5.6050 4.1963 3.1416,这个主要应该是由于pi是Matlab内部定义的常数。8、哈达玛（Hadamard)矩阵是由+1和-1元素构成的正交方阵；

3、9、希尔伯特矩阵Hilbert：hilb(n),其元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。10、Pascal矩阵，magic魔方矩阵，Hankel方阵，托普利兹矩阵toeplitz，Wilkinson特征值测试阵。由于自己数学功底不是很强，这些矩阵还不是很理解，以后用到的时候再慢慢了解吧。11、矩阵的乘法：A*B:两个矩阵相乘；A.*B:矩阵对应元素相乘；dot(A,B):矩阵的点成;cross(A,B):矩阵的叉乘；conv：矩阵的卷积；kron(A,B):矩阵的张量积，这个相当于用A中每个元素乘以矩阵B，所以这个矩阵还是蛮大的。12、关于集合的一些函数： 求两个函数的交集 c=inters

4、ect(a,b),则c= ab； 求两个函数的并集 c=union(a,b),则c= ab； 检测集合中的元素 d=ismember(a,S)，当a属于集合S的时候返回值d=1； 两个集合的差 d=setdiff(a,b),表示d=a-b； 去集合的单值元素 unique(a)异或:两个矩阵交集的非 c = setxor(a,b)。13、矩阵的除法：Matlab提供了两种除法运算：左除（）和右除（/）。一般情况下，X=AB是方程A*X =B的解，而X=B/A是方程X*A=B的解;14、方阵的行列式: d=det(A). determinant;15、矩阵的逆:Y=inv(X) %求方阵X的逆矩

5、阵。若X为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息；当矩阵为奇异矩阵的时候，使用矩阵的伪逆命令:Y=pinv(X),可以在某种程度上代替矩阵的逆。则若X是非奇异矩阵，inv(X)=pinv(X)；16、矩阵的迹:Y=trace(X) %方阵X的对角线元素之和；17、矩阵和向量的范数:norm ,n=norm(X).默认为二范数，n=norm(X).自己可以设定如: n=norm(X,1)表示一范数, n=norm(X,inf)表示无穷范数;18、矩阵的条件数:d=cond(X).表示X的2-范数的条件数，即X的最大奇异值和最小奇异值的商；19、矩阵的秩：d=rank(A);20、矩阵对角线元素的提取

6、：v=diag(A),同时，也可以进行设定v=diag(A,k):k=0,表示抽取主对角线元素; k0,表示抽取上方对角线元素; k0,表示抽取下方对角线元素;21、上下三角阵的提取：tril（A）提取矩阵A的下三角阵，triu（A）提取矩阵A的上三角阵。22、矩阵的变维：通常有两种方法实现：“：”和“reshape”命令。前者主要是针对已知两个矩阵的操作，后者主要是对一个矩阵的操作；矩阵的旋转：B=rot90(A):将矩阵A旋转900；矩阵的翻转：fliplr,矩阵的左右翻转；flipud,矩阵的上下翻转。23、复制和平铺矩阵：B=repmat(A,m,n)，将矩阵A复制m*n块得到矩阵B；

7、24、矩阵的比较：矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比较，若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素置为1，否则置0；25、关于矩阵取整：floor(A),将A的元素负无穷取整；ceil(A),将A的元素按正无穷方向取整；fix(A),将A的元素按离0近的方向取整；round(A),将A的元素按四舍五入取整。26、矩阵元素的余数：rem(A,x);27、矩阵的逻辑运算：逻辑与A&B，逻辑或A|B，逻辑非A，异或xor；28、符号矩阵sym。将数值矩阵转化为符号矩阵B=sym(A)；另外

8、可以对矩阵进行索引和修改操作，B(m,n)=(l,k);29、因式分解factor(a)。注：因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式。在MATLAB中建立M文件可以直接使用命令edit；30、符号矩阵（函数）的展开：expand命令Eg：syms x;y=(x+2)4;z=expand(y)则：z =x4 + 8*x3 + 24*x2 + 32*x + 16；collect:合并同类项；31、符号矩阵的简化：simple或simplify，pretty命令可以使的结果更好看一些；32、矩阵的分解:cholesky分解R,p=chol(A), 如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个

9、实的非奇异上三角阵R，满足R*R = X, 若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵；33、LU分解，又称矩阵的三角分解，L,U=lu(A):它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU；广义上也有L,U,P=lu(A),满足LU=PA；34、QR分解：Q,R=qr(A),将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积;函数qrdelete: Q,R=qrdelete(Q,R,j):返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解; Q,R=qrinsert(Q,R,j,x):在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分

10、解。若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x;35、schur分解： T = schur(A)：产生schur矩阵T，即T的主对角线元素为特征值的三角阵；也可使用广义命令 U,T = schur(A):返回正交矩阵U和schur矩阵T，满足A = U*T*U; 函数rsf2csf:将实Schur分解转化成复Schur分解;36、矩阵的特征值分解：d=eig(A);或者V,D=eig(A) 计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立；37、矩阵的奇异值分解：U,S,V=svd(X), 返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V。若A为mn阵，则U为mm阵，V

11、为nn阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列; 广义奇异值分解：U,V,X,C,S = gsvd(A,B),返回酉矩阵U和V、一个普通方阵X、非负对角矩阵C和S，满足A = U*C*X，B = V*S*X，C*C + S*S = I (I为单位矩阵)；A和B的列数必须相同，行数可以不同；38、特征值问题的qz分解。AA,BB,Q,Z,V = qz(A,B) ，A、B为方阵，产生上三角阵AA和BB，正交矩阵Q、Z或其列变换形式，V为特征向量阵。且满足：Q*A*Z= AA 和Q*B*Z = BB；39、海森伯格(Hessenberg)矩阵：矩阵H的第一子对角线下元素都是0 ，函数格式H=hes

12、s(A)；40、线性方程组的解：直接法：AX=B的解为X=AB，XA=B的解为X=B/A;用函数rref进行求解C=A,B，C为系数矩阵A和常数构成的增广矩阵，当使用rref命令(求解最简行解)之后最后一列就是所求的解；41、矩阵的LU分解，又称为Gauss分解，将任意方阵分解为下三角阵和上三角阵的乘积。即A=L*U，L*U*X=B，这样可以提高运算速度,命令为L,U=lu(A)；Cholesky分解：若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：A=R*R,其中R为上三角阵，命令为R=chol(A);对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正

13、交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR;42、null求解零空间，即满足AX=0,实际上是求解出解空间的一组基（基础解系），注：format rat指定有理式格式输出，B=null(A, r);43、让矩阵输出的结果更漂亮一些：pretty（X），在此举一个综合一点的例子，求A*X=0的通解A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3;format rat%指定有理数格式输出;B=null(A,r);syms k1 k2%定义符号变量;X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2);pretty(X);44、求解非齐次线性方程组的通解，首先需要先判断方程组是否有解，若有

14、解，再去求通解。因此，步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，（注：判断系数矩阵A的秩是否和其增广矩阵的秩是否相等，若相等，方程有解R(A)=R(B)n,有无穷解，=n有唯一解，R(A)R(B)则无解。）若有解则进行第二步；第二步：求AX=b的一个特解；第三步：求AX=0的通解；第四步：AX=b的通解为 AX=0的通解加上AX=b的一个特解；45、平衡矩阵B，T,B=balance(A),满足B=T-1AT；46、复对角矩阵转化为实对角矩阵：cdf2rdf，将复对角阵d变为实对角阵D，在对角线上，用22实数块代替共轭复数对；47、正交基orth，B=orth(A)：将矩阵A正交规范化；B*B=e

15、ye(rank(A);48、求行阶梯矩阵及向量组的基：R,jb=rref(A),R表示将矩阵A化成行最简形，jb是一个向量，其含义为：r=length(jb)为A的秩；A(:, jb)为A的列向量基；jb中元素表示基向量所在的列;49、稀疏矩阵的创建S=sparse（A）；将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S，sparse是用来产生稀疏矩阵的，详细一点的S = sparse(i,j,s,m,n)，利用向量i,j,s来产生一个m*n的矩阵，产生方法为S(i(k),j(k) =s(k)；full函数，将稀疏矩阵转换为满矩阵（相当于sparse函数的逆）A=full（S）

16、；另外，find命令用于查找稀疏矩阵中的非零元素，i,j,v = find(X)：检索X中非零元素的行标i和列标j以及对应的元素值v；50、基本稀疏矩阵，带状（对角）稀疏矩阵：B,d = spdiags(A)，从矩阵A中提取所有非零对角元素，这些元素保存在矩阵B中，向量d表示非零元素的对角线位置；单位稀疏矩阵：speye(m,n),生成m*n的单位对角矩阵；稀疏均匀分布随即矩阵R=sprand（S）：生成与S具有相同稀疏结构的均匀分布随机矩阵；稀疏正态分布随机矩阵R=sprandn(S);稀疏对称随机矩阵sprandsym, R = sprandsym(S),生成稀疏对称随机矩阵，其下三角和对

17、角线与S具有相同的结构，其元素服从均值为0、方差为1的标准正态分布；51、稀疏矩阵的运算：稀疏矩阵非零元素的个数n=nnz(x);稀疏矩阵的非零元素s = nonzeros(A),返回矩阵A中非零元素按列顺序构成的列向量;稀疏矩阵非零元素的内存分配n = nzmax(S)，返回非零元素分配的内存总数n；、稀疏矩阵的存贮空间：S=spalloc(m,n,nzmax)，产生一个mn阶只有nzmax个非零元素的稀疏矩阵，这样可以有效减少存贮空间和提高运算速度；稀疏矩阵的非零元素应用：f = spfun(function,S)，用S中非零元素对函数function求值，如果function不是对稀疏矩

18、阵定义的，同样可以求值；：把稀疏矩阵的非零元素全换为1，R=spones(S)，将稀疏矩阵S中的非零元素全换为1；52、画稀疏矩阵非零元素的分布图形：spy函数，具体spy(S,LineSpec,markersize)其中LineSpec指定绘图标记和颜色，markersize为整数，指定点阵大小；53、矩阵变换：列近似最小度排序A=colamd（S）返回稀疏矩阵S的列的近似最小度排序向量A；稀疏对称最小度排列，p = symmmd(S)，返回S的对称最小度排列向量p，S为对称正定矩阵；54、稀疏矩阵的近似欧几里得范数和条件数：c = condest(A)，计算方阵A的1-范数中条件数的下界值

19、c；nrm = normest(S)，返回矩阵S的2-范数的估计值，相对误差为10-6；稀疏矩阵的不完全LU分解： L,U = luinc(X,0)；X为稀疏方阵；L为下三角矩阵的置换形式；U为上三角矩阵；0是一种分解标准。第二章数值计算与数据分析55、基本数学函数：正弦函数Y=sin(X)，双曲正弦函数Y=sinh（X）, 反正弦函数Y=asin(X),反双曲正弦函数Y=asinh(X)；余弦函数Y=cos(X)，双曲余弦函数Y=cosh（X），反余弦函数Y=cos（X），反双曲余弦函数Y=acosh(X)；正切函数Y=tan(X)，双曲正切函数Y=谈话（X），反正切函数Y=atan（X），

20、反双曲正切函数Y=atanh（X）;余切函数Y=cot（X），双曲余切函数Y=coth(X),反余切函数Y=acot(X),反双曲余切函数Y=acoth（X），另外还有正割sec（1/cos）和余割csc（1/sin），PS：四象限的反正切函数P=atan2（Y,X），返回一与参量X和Y同型的、与X和Y元素的实数部分对应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P，其中X和Y的虚数部分将忽略。阵列P中的元素分布在闭区间-pi,pi上。特定的象限将取决于sign(Y)与sign(X)；56、取余rem或mod,p=rem(X,Y)；exp：以e为底的指数函数y=exp(x)，expm（x）：求矩阵的

21、以e为底的指数函数，Y=expm(X);log以e为底的对数, y=log(x), log2(x)、long10(X)分别是以2和10为底的对数。57、sort命令：把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列;58、abs：数值的绝对值或复数的幅值；复数的共轭conj，复数的虚部imag，复数的实部real，复数的相角：P=angle（Z）；59、用实数和虚数部分创建复数：c=complex(a,b);带符号的除法余数mod，M=mod(X,Y)，若运算数x与y有相同的符号，则mod(X,Y)等于rem(X,Y)。总之，对于整数x,y，有：mod(-x,y) = rem(-x,y)+y；60、

22、二项式系数或所有的组合数,C=nchoosek(n,k) 参量n,k为非负整数，返回n! / ( (n-k)! k!)，即一次从n个物体中取出k个的组合数,相当于=n! / ( (n-k)! k!)命令，另外阶乘的函数为factorial；61、yi = interp1(x,Y,xi,method) ，用指定的算法计算插值，主要包括nearest 最近邻点插值，linear线性插值，spline 三次样条函数插值，pchip 分段三次Hermite插值，cubic：双三次插值；62、rat与rats：有理分式近似。rat对于有连续出现的小数的数值，将会用有理式近似表示它们，函数rats调用函数

23、rat，且返回字符串。rats=format ratPs:inline函数，matlab中定义的一个内置函数，可以直接内嵌在命令行中；63、常微分方程数值解：ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb第三章符号运算64、 定义符号变量：syms a,b,c,d;65、基本运算：合并同类项collect，列空间的基colspace，B = colspace(A)返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基，其中A可以是符号或数值矩阵。而size(colspace(A),2)等于rank(A)。即由A生成的空间维数等于A的秩；com

24、pose，复合函数的计算，compose(f,g)：返回复合函数fg(y)，其中f=f(x)，g=g(y)；66、符号复数的共轭conj（X），real(Z)返回符号复数的实数部分，real(Z)返回符号复数的虚部部分；Y=cosint(X),返回余弦函数的整函数，Ps：欧拉常数，可以通过vpa(eulergamma)获得；67、digits：设置变量的精度；R = double(S)，将符号对象S转换为数值对象R；expand ,R=expand(S)对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式;符号因式分解：fact

25、or(X)，参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。若X为一正整数，则factor(X)返回X的质数分解式。若x为多项式或整数矩阵，则factor(X)分解矩阵的每一元素。若整数阵列中有一元素位数超过16位，用户必须用命令sym生成该元素。68、simple：搜索符号表达式的最简形式，r = simple(S)，该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。若S为一矩阵，则结果为整个矩阵的最短形式，而非是每一个元素的最简形式。若没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式，同时返回最短的一个;69、符号矩阵的维

26、数：size，d = size(A)若A为m*n阶的符号矩阵，则输出结果d=m，n；代数方程的符号解析解solve，g = solve(eq)；70、特征多项式：p=poly(A); poly2sym将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式,记得pretty可以对结果进行简化得到我们熟知的形式；71、r=findsym（S）：从一符号表达式中或矩阵中找出符号变量；g=finverse(f),返回函数f 的反函数。其中f为单值的一元数学函数，如f=f(x)。若f的反函数存在，设为g，则有gf(x) = x;72、horner：套嵌形式的多项式表达式；r=symsum(S,a,b)，符号表达式求和

27、,首先定义符号函数，然后对从a项到b项求和操作；广义超几何函数函数 hypergeom；73、limit极限，limit(F)：用命令findsym(F)确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x0时；limit(F,x,a)，计算符号表达式F=F(x)的极限值，当xa时；74、diff(S,v,n)：对表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数；75、R = int(S,v,a,b)：对表达式s中指定的符号变量v计算从a到b的定积分；dslove，常微分方程的符号解，r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)，ps：若没有指定变量v，则缺省变量为t；76、画符号

28、函数的等高线图，ezcontour(f)，画出二元符号函数f=f(x,y)的等高线图，函数f将被显示于缺省的平面区域-2x2，-2y2内，也可以使用ezcontour(f,domain)，在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)，参量domain可以是四维向量xmin,xmax,ymin,ymax或二维向量min,max（其中显示区域为：minxmax，minymax），或者ezcontour(,n)，用指定n*n个栅格点（对定义域的一种划分），在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的图形。n的缺省值为60；用不同颜色填充的等高线图ezcontourf（f）；77、在matlab中

29、特别在使用句柄函数的时候，记得在前面加上“.”，代表元素运算，当不加点的时候表示矩阵或者数组相乘，eg：A.*B代表矩阵A、B对应元素相乘而A*B则代表A和B矩阵的相乘；78、符号函数的三维网格图ezmesh(f)，画二元数学符号函数f=f(x,y)的网格图，ezmeshc，同时画出曲面网格图与等高线图；79、 画符号函数的图形ezplot（f），对于显式函数f=f(x)，在缺省的范围-x上画函数f(x)；对于隐函数f=f(x,y)，在缺省的平面区域-2x2，-2y2上画函数f(x,y)的图形；80、三维参量曲线图，ezplot3(x,y,z)，在缺省的范围0t2内画空间参数形式的曲线x=x(

30、t)、y=y(t)与z=z(t)的图形；ezplot3(,animate)，以动画形式画出空间三维曲线；81、画极坐标图形，格式 ezpolar(f)，在缺省的范围0theta2内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。且将函数关系式显示于图形下方。ezpolar(f,a,b) 在指定的范围athetab内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。且将函数关系式显示于图形下方；82、三维带颜色的曲面图，ezsurf（f）,画出二元数学符号函数z=f(x,y)的曲面图形,同样的使用ezsurfc命令可同时画出曲面图与等高线图；83、Fourier积分变换，格式 F = fourier(f)，对符号单值函数f中的缺省变量x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式。缺省的输出结果F是变量w的函数;运行了一个例子：syms x w u vf = sin(x)*exp(-x2); F1 = fourier(f)，结果却并不是期望得到的：transform:fourier(sin(x)/exp(x2), x, -w)，这时候使用命令simplify（fourier(sin(x)/exp(x2), x, -w)）才可以得到正确的结果。84、85、