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MATLAB学习笔记

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《第一章》

矩阵及基本运算

1、rand相关

rand（）随机矩阵，元素在（0，1）之间；

randn（）正态分布随机矩阵！

元素大小是不限制的，方差为1

randperm（n）生成1到n之间n个随机数，相当于对n个数进行一个排列；

2、blkdiag（a,b,c...）产生以a,b,c为对角元素的对角矩阵；

3、numel（A）计算矩阵A中元素的个数；

4、compan计算友矩阵，对于计算特征值特征向量很有帮助，eig为计算特征值；5、linspace（a,b,n）将a，b等分为n等分，如果不输入n将视为默认100

6、几个特殊矩阵：

全一矩阵ones；单位矩阵eye；全零阵zeros

7、logspace（a,b）:

产生在（10^a,10^b）之间的对数等分向量，同样可以在最后进行限制logspace（a,b,n）,eg:

logspace（1,2,6）结果为：

ans=10.000015.848925.118939.810763.0957100.0000,另外还有一个:

y=logspace（a,pi），不太一样：

logspace（1,pi,5）：

ans=10.00007.48665.60504.19633.1416,这个主要应该是由于pi是Matlab内部定义的常数。

8、哈达玛（Hadamard）矩阵是由+1和-1元素构成的正交方阵；

9、希尔伯特矩阵Hilbert：

hilb（n）,其元素为H（i,j）=1/（i+j-1）。

10、Pascal矩阵，magic魔方矩阵，Hankel方阵，托普利兹矩阵toeplitz，Wilkinson特征值测试阵。

由于自己数学功底不是很强，这些矩阵还不是很理解，以后用到的时候再慢慢了解吧。

11、矩阵的乘法：

A*B:

两个矩阵相乘；A.*B:

矩阵对应元素相乘；dot（A,B）:

矩阵的点成;cross（A,B）:

矩阵的叉乘；conv：

矩阵的卷积；kron（A,B）:

矩阵的张量积，这个相当于用A中每个元素乘以矩阵B，所以这个矩阵还是蛮大的。

12、关于集合的一些函数：

求两个函数的交集c=intersect（a,b）,则c=a∩b；

求两个函数的并集c=union（a,b）,则c=a∪b；

检测集合中的元素d=ismember（a,S），当a属于集合S的时候返回值d=1；

两个集合的差d=setdiff（a,b）,表示d=a-b；

去集合的单值元素unique（a）

异或:

两个矩阵交集的非c=setxor（a,b）。

13、矩阵的除法：

Matlab提供了两种除法运算：

左除（\）和右除（/）。

一般情况下，X=A\B是方程A*X=B的解，而X=B/A是方程X*A=B的解;

14、方阵的行列式:

d=det（A）.determinant;

15、矩阵的逆:

Y=inv（X）%求方阵X的逆矩阵。

若X为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息；当矩阵为奇异矩阵的时候，使用矩阵的伪逆命令:

Y=pinv（X）,可以在某种程度上代替矩阵的逆。

则若X是非奇异矩阵，inv（X）=pinv（X）；

16、矩阵的迹:

Y=trace（X）%方阵X的对角线元素之和；

17、矩阵和向量的范数:

norm,n=norm（X）.默认为二范数，n=norm（X）.自己可以设定如:

n=norm（X,1）表示一范数,n=norm（X,inf）表示无穷范数;

18、矩阵的条件数:

d=cond（X）.表示X的2-范数的条件数，即X的最大奇异值和最小奇异值的商；

19、矩阵的秩：

d=rank（A）;

20、矩阵对角线元素的提取：

v=diag（A）,同时，也可以进行设定v=diag（A,k）:

k=0,表示抽取主对角线元素;k>0,表示抽取上方对角线元素;k<0,表示抽取下方对角线元素;

21、上下三角阵的提取：

tril（A）提取矩阵A的下三角阵，triu（A）提取矩阵A的上三角阵。

22、矩阵的变维：

通常有两种方法实现：

“：

”和“reshape”命令。

前者主要是针对已知两个矩阵的操作，后者主要是对一个矩阵的操作；矩阵的旋转：

B=rot90（A）:

将矩阵A旋转900；矩阵的翻转：

fliplr,矩阵的左右翻转；flipud,矩阵的上下翻转。

23、复制和平铺矩阵：

B=repmat（A,m,n），将矩阵A复制m*n块得到矩阵B；

24、矩阵的比较：

矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。

关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比较，若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素置为1，否则置0；

25、关于矩阵取整：

floor（A）,将A的元素负无穷取整；ceil（A）,将A的元素按正无穷方向取整；fix（A）,将A的元素按离0近的方向取整；round（A）,将A的元素按四舍五入取整。

26、矩阵元素的余数：

rem（A,x）;

27、矩阵的逻辑运算：

逻辑与A&B，逻辑或A|B，逻辑非~A，异或xor；

28、符号矩阵sym。

将数值矩阵转化为符号矩阵B=sym（A）；另外可以对矩阵进行索引和修改操作，B（m,n）=（l,k）;

29、因式分解factor（a）。

注：

因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式。

在MATLAB中建立M文件可以直接使用命令edit；

30、符号矩阵（函数）的展开：

expand命令Eg：

symsx;y=（x+2）^4;z=expand（y）则：

z=x^4+8*x^3+24*x^2+32*x+16；collect:

合并同类项；

31、符号矩阵的简化：

simple或simplify，pretty命令可以使的结果更好看一些；

32、矩阵的分解:

cholesky分解[R,p]=chol（A）,如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R=X,若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵；

33、LU分解，又称矩阵的三角分解，[L,U]=lu（A）:

它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU；广义上也有[L,U,P]=lu（A）,满足LU=PA；

34、QR分解：

[Q,R]=qr（A）,将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积;函数qrdelete:

[Q,R]=qrdelete（Q,R,j）:

返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解;[Q,R]=qrinsert（Q,R,j,x）:

在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解。

若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x;

35、schur分解：

T=schur（A）：

产生schur矩阵T，即T的主对角线元素为特征值的三角阵；也可使用广义命令[U,T]=schur（A）:

返回正交矩阵U和schur矩阵T，满足A=U*T*U';函数rsf2csf:

将实Schur分解转化成复Schur分解;

36、矩阵的特征值分解：

d=eig（A）;或者[V,D]=eig（A）计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立；

37、矩阵的奇异值分解：

[U,S,V]=svd（X）,返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足=U*S*V'。

若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。

奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列;广义奇异值分解：

[U,V,X,C,S]=gsvd（A,B）,返回酉矩阵U和V、一个普通方阵X、非负对角矩阵C和S，满足A=U*C*X'，B=V*S*X'，C'*C+S'*S=I（I为单位矩阵）；A和B的列数必须相同，行数可以不同；

38、特征值问题的qz分解。

[AA,BB,Q,Z,V]=qz（A,B），A、B为方阵，产生上三角阵AA和BB，正交矩阵Q、Z或其列变换形式，V为特征向量阵。

且满足：

Q*A*Z=AA和Q*B*Z=BB；

39、海森伯格（Hessenberg）矩阵：

矩阵H的第一子对角线下元素都是0，函数格式H=hess（A）；

40、线性方程组的解：

①直接法：

AX=B的解为X=A\B，XA=B的解为X=B/A;②用函数rref进行求解C=[A,B]，C为系数矩阵A和常数构成的增广矩阵，当使用rref命令（求解最简行解）之后最后一列就是所求的解；

41、矩阵的LU分解，又称为Gauss分解，将任意方阵分解为下三角阵和上三角阵的乘积。

即A=L*U，L*U*X=B，这样可以提高运算速度,命令为[L,U]=lu（A）；Cholesky分解：

若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：

A=R*R’,其中R为上三角阵，命令为R=chol（A）;对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：

A=QR;

42、null求解零空间，即满足AX=0,实际上是求解出解空间的一组基（基础解系），注：

formatrat指定有理式格式输出，B=null（A,’r’）;

43、让矩阵输出的结果更漂亮一些：

pretty（X），在此举一个综合一点的例子，求A*X=0的通解A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];formatrat%指定有理数格式输出;B=null（A,’r’）;symsk1k2%定义符号变量;X=k1*B（:

1）+k2*B（:

2）;pretty（X）;

44、求解非齐次线性方程组的通解，首先需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。

因此，步骤为：

第一步：

判断AX=b是否有解，（注：

判断系数矩阵A的秩是否和其增广矩阵的秩是否相等，若相等，方程有解R（A）=R（B）

）若有解则进行第二步；第二步：

求AX=b的一个特解；第三步：

求AX=0的通解；第四步：

AX=b的通解为AX=0的通解加上AX=b的一个特解；

45、平衡矩阵B，[T,B]=balance（A）,满足B=T-1AT；

46、复对角矩阵转化为实对角矩阵：

cdf2rdf，将复对角阵d变为实对角阵D，在对角线上，用2×2实数块代替共轭复数对；

47、正交基orth，B=orth（A）：

将矩阵A正交规范化；B*B’=eye（rank（A））;

48、求行阶梯矩阵及向量组的基：

[R,jb]=rref（A）,R表示将矩阵A化成行最简形，jb是一个向量，其含义为：

r=length（jb）为A的秩；A（:

jb）为A的列向量基；jb中元素表示基向量所在的列;

49、稀疏矩阵的创建S=sparse（A）；将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S，sparse是用来产生稀疏矩阵的，详细一点的S=sparse（i,j,s,m,n），利用向量i,j,s来产生一个m*n的矩阵，产生方法为

S（i（k）,j（k））=s（k）；full函数，将稀疏矩阵转换为满矩阵（相当于sparse函数的逆）A=full（S）；另外，find命令用于查找稀疏矩阵中的非零元素，[i,j,v]=find（X）：

检索X中非零元素的行标i和列标j以及对应的元素值v；

50、基本稀疏矩阵，带状（对角）稀疏矩阵：

[B,d]=spdiags（A），从矩阵A中提取所有非零对角元素，这些元素保存在矩阵B中，向量d表示非零元素的对角线位置；单位稀疏矩阵：

speye（m,n）,生成m*n的单位对角矩阵；稀疏均匀分布随即矩阵R=sprand（S）：

生成与S具有相同稀疏结构的均匀分布随机矩阵；稀疏正态分布随机矩阵R=sprandn（S）;稀疏对称随机矩阵sprandsym,R=sprandsym（S）,生成稀疏对称随机矩阵，其下三角和对角线与S具有相同的结构，其元素服从均值为0、方差为1的标准正态分布；

51、稀疏矩阵的运算：

①稀疏矩阵非零元素的个数n=nnz（x）;②稀疏矩阵的非零元素s=nonzeros（A）,返回矩阵A中非零元素按列顺序构成的列向量;③稀疏矩阵非零元素的内存分配n=nzmax（S），返回非零元素分配的内存总数n；④、稀疏矩阵的存贮空间：

S=spalloc（m,n,nzmax），产生一个m×n阶只有nzmax个非零元素的稀疏矩阵，这样可以有效减少存贮空间和提高运算速度；⑤稀疏矩阵的非零元素应用：

f=spfun（'function',S），用S中非零元素对函数'function'求值，如果'function'不是对稀疏矩阵定义的，同样可以求值；⑥：

把稀疏矩阵的非零元素全换为1，R=spones（S），将稀疏矩阵S中的非零元素全换为1；

52、画稀疏矩阵非零元素的分布图形：

spy函数，具体spy（S,'LineSpec',markersize）其中LineSpec指定绘图标记和颜色，markersize为整数，指定点阵大小；

53、矩阵变换：

列近似最小度排序A=colamd（S）返回稀疏矩阵S的列的近似最小度排序向量A；稀疏对称最小度排列，p=symmmd（S），返回S的对称最小度排列向量p，S为对称正定矩阵；

54、稀疏矩阵的近似欧几里得范数和条件数：

c=condest（A），计算方阵A的1-范数中条件数的下界值c；nrm=normest（S），返回矩阵S的2-范数的估计值，相对误差为10-6；稀疏矩阵的不完全LU分解：

[L,U]=luinc（X,'0'）；X为稀疏方阵；L为下三角矩阵的置换形式；U为上三角矩阵；'0'是一种分解标准。

《第二章》

数值计算与数据分析

55、基本数学函数：

正弦函数Y=sin（X），双曲正弦函数Y=sinh（X）,反正弦函数Y=asin（X）,反双曲正弦函数Y=asinh（X）；余弦函数Y=cos（X），双曲余弦函数Y=cosh（X），反余弦函数Y=cos（X），反双曲余弦函数Y=acosh（X）；正切函数Y=tan（X），双曲正切函数Y=谈话（X），反正切函数Y=atan（X），反双曲正切函数Y=atanh（X）;余切函数Y=cot（X），双曲余切函数Y=coth（X）,反余切函数Y=acot（X）,反双曲余切函数Y=acoth（X），另外还有正割sec（1/cos）和余割csc（1/sin），PS：

四象限的反正切函数P=atan2（Y,X），返回一与参量X和Y同型的、与X和Y元素的实数部分对应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P，其中X和Y的虚数部分将忽略。

阵列P中的元素分布在闭区间[-pi,pi]上。

特定的象限将取决于sign（Y）与sign（X）；

56、取余rem或mod,p=rem（X,Y）；exp：

以e为底的指数函数y=exp（x），expm（x）：

求矩阵的以e为底的指数函数，Y=expm（X）;log以e为底的对数,y=log（x）,log2（x）、long10（X）分别是以2和10为底的对数。

57、sort命令：

把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列;

58、abs：

数值的绝对值或复数的幅值；复数的共轭conj，复数的虚部imag，复数的实部real，复数的相角：

P=angle（Z）；

59、用实数和虚数部分创建复数：

c=complex（a,b）;带符号的除法余数mod，M=mod（X,Y），若运算数x与y有相同的符号，则mod（X,Y）等于rem（X,Y）。

总之，对于整数x,y，有：

mod（-x,y）=rem（-x,y）+y；

60、二项式系数或所有的组合数,C=nchoosek（n,k）参量n,k为非负整数，返回n!

/（（n-k）!

k!

），即一次从n个物体中取出k个的组合数,相当于

=n!

/（（n-k）!

k!

）命令，另外阶乘的函数为factorial；

61、yi=interp1（x,Y,xi,method），用指定的算法计算插值，主要包括‘nearest’最近邻点插值，’linear’线性插值，‘spline’三次样条函数插值，‘pchip’分段三次Hermite插值，‘cubic’：

双三次插值；

62、rat与rats：

有理分式近似。

rat对于有连续出现的小数的数值，将会用有理式近似表示它们，函数rats调用函数rat，且返回字符串。

rats=formatrat

Ps:

inline函数，matlab中定义的一个内置函数，可以直接内嵌在命令行中；

63、常微分方程数值解：

ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb

《第三章》

符号运算

64、定义符号变量：

symsa,b,c,d;

65、基本运算：

合并同类项collect，列空间的基colspace，B=colspace（A）返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基，其中A可以是符号或数值矩阵。

而size（colspace（A）,2）等于rank（A）。

即由A生成的空间维数等于A的秩；compose，复合函数的计算，compose（f,g）：

返回复合函数f[g（y）]，其中f=f（x），g=g（y）；

66、符号复数的共轭conj（X），real（Z）返回符号复数的实数部分，real（Z）返回符号复数的虚部部分；Y=cosint（X）,返回余弦函数的整函数，Ps：

γ：

欧拉常数，可以通过vpa（‘eulergamma’）获得；

67、digits：

设置变量的精度；R=double（S），将符号对象S转换为数值对象R；expand,R=expand（S）对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。

该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式;符号因式分解：

factor（X），参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。

若X为一正整数，则factor（X）返回X的质数分解式。

若x为多项式或整数矩阵，则factor（X）分解矩阵的每一元素。

若整数阵列中有一元素位数超过16位，用户必须用命令sym生成该元素。

68、simple：

搜索符号表达式的最简形式，r=simple（S），该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。

若S为一矩阵，则结果为整个矩阵的最短形式，而非是每一个元素的最简形式。

若没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式，同时返回最短的一个;

69、符号矩阵的维数：

size，d=size（A）若A为m*n阶的符号矩阵，则输出结果d=[m，n]；代数方程的符号解析解solve，g=solve（eq）；

70、特征多项式：

p=poly（A）;poly2sym将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式,记得pretty可以对结果进行简化得到我们熟知的形式；

71、r=findsym（S）：

从一符号表达式中或矩阵中找出符号变量；g=finverse（f）,返回函数f的反函数。

其中f为单值的一元数学函数，如f=f（x）。

若f的反函数存在，设为g，则有g[f（x）]=x;

72、horner：

套嵌形式的多项式表达式；r=symsum（S,a,b），符号表达式求和,首先定义符号函数，然后对从a项到b项求和操作；广义超几何函数函数hypergeom；

73、limit极限，limit（F）：

用命令findsym（F）确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x→0时；limit（F,x,a），计算符号表达式F=F（x）的极限值，当x→a时；

74、diff（S,'v',n）：

对表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数；

75、R=int（S,v,a,b）：

对表达式s中指定的符号变量v计算从a到b的定积分；dslove，常微分方程的符号解，r=dsolve（'eq1,eq2,…','cond1,cond2,…','v'），ps：

若没有指定变量v，则缺省变量为t；

76、画符号函数的等高线图，ezcontour（f），画出二元符号函数f=f（x,y）的等高线图，函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π

min

n的缺省值为60；用不同颜色填充的等高线图ezcontourf（f）；

77、在matlab中特别在使用句柄函数@的时候，记得在前面加上“.”，代表元素运算，当不加点的时候表示矩阵或者数组相乘，eg：

A.*B代表矩阵A、B对应元素相乘而A*B则代表A和B矩阵的相乘；

78、符号函数的三维网格图ezmesh（f），画二元数学符号函数f=f（x,y）的网格图，ezmeshc，同时画出曲面网格图与等高线图；

79、画符号函数的图形ezplot（f），对于显式函数f=f（x），在缺省的范围[-π

80、三维参量曲线图，ezplot3（x,y,z），在缺省的范围0

81、画极坐标图形，格式ezpolar（f），在缺省的范围0

且将函数关系式显示于图形下方。

ezpolar（f,[a,b]）在指定的范围a

且将函数关系式显示于图形下方；

82、三维带颜色的曲面图，ezsurf（f）,画出二元数学符号函数z=f（x,y）的曲面图形,同样的使用ezsurfc命令可同时画出曲面图与等高线图；

83、Fourier积分变换，格式F=fourier（f），对符号单值函数f中的缺省变量x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式。

缺省的输出结果F是变量w的函数

;运行了一个例子：

symsxwuv

f=sin（x）*exp（-x^2）;F1=fourier（f），结果却并不是期望得到的：

transform:

:

fourier（sin（x）/exp（x^2）,x,-w），这时候使用命令simplify（fourier（sin（x）/exp（x^2）,x,-w））才可以得到正确的结果。

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