《自动控制理论》夏德钤 翁贻方版第四版课后习题详细解答答案.docx

1、自动控制理论夏德钤 翁贻方版第四版课后习题详细解答答案第二章2-1 试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。 1R1，zR，则传递函数为： (a)z122RCs11R1CsR1Uo(s)z2R1R2CsR2 Ui(s)z1z2R1R2CsR1R2(b) 设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程：1U(s)I1(s)R1I1(s)I2(s)iC1s 1Uo(s)I2(s)Cs2并且有11I1(s)(R2)I2(s) C1sC2s联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为：Uo(s)Ui(s)1C2s11R1C1sRR12CsCs121 2R1R2C1C2s(R1C1

2、R1C2R2C2)s12-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：对上式进行拉氏变换得到 uiduduCiC0，ucuiu0， RdtdtUi(s)sUi(s)sU0(s) RC故传递函数为U0(s)RCs1 Ui(s)RCs(b)由运放虚短、虚断特性有：Cducuiucucuu0，c00， dt22R2R1联立两式消去uc得到CRdu022uiu00 2R1dtRR1对该式进行拉氏变换得CR22sU0(s)Ui(s)U0(s)0 2R1RR1故此传递函数为U0(s)4R1 Ui(s)R(RCs4)(c)C

3、uuducucu0uc0，且ic，联立两式可消去uc得到 RR12dtR1/2R1/2CR1dui2u02ui0 2RdtR1R对该式进行拉氏变换得到CR122sUi(s)U0(s)Ui(s)0 2RR1R故此传递函数为U0(s)R(RCs4)11 Ui(s)4R2-3 试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角为输出量的微分方程式和传递函数。解：设激磁磁通Kfif恒定Cms 60UassLaJs2LafRaJsRafCeCm22-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触

4、点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为。解：CsRsKACm 60iLaJs3iLafRaJs2iRafCeCmsKACm22-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为d0.u026。假设电路中的R103，静态工作点u02.39V，id10e16i02.19103A。试求在工作点(u0,i0)附近idf(ud)的线性化方程。 解：id2.191030

5、.084ud0.22-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程：dv1mF(t)k2(y2y1)fk1y11dt dv2mk2(y2y1)2dt代入v1dydy1、v22得 dtdtd2y1mF(t)k2(y2y1)fk1y11dt22mdy2k(yy)2221dt22-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为i，温度计显示温度为。试求传递函数(s)（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 i(s)解：根据能量守恒定律可列出如下方程：C对上式进行拉氏变换得到 di dtRi(s)(s) RCs

6、(s)则传递函数为(s)1 i(s)RCs12-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数C(s)。 R(s)a)b)图2-T-8解：(a) 化简过程如下传递函数为G3(G1G2)C(s) R(s)1G3(G1H1)(b) 化简过程如下传递函数为G1(G2G3G4)C(s)R(s)1G1G2H1(G2G3G4)(H2G1G3)2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数C(s)。 R(s)解：化简过程如下系统的传递函数为Cs0.7s0.423Rss0.90.7ks21.180.42ks0.522-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递

7、函数C(s)。 R(s)图2-T-10系统的传递函数为G1G2G3CsG4Rs1G2H1G1G2H1G2G3H22-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数C1(s)C(s)和2（设R1(s)R2(s)。 R2(s)0）RR解：系统信号流程图如图所示。图2-T-11题2-11 系统信号流程图G1G2G3C1sRs1G1G2G4G1G2G4G5H1H2G1G2G4G5G6H2C2sRs1G1G2G4G1G2G4G5H1H22-12 求图2-T-12所示系统的传递函数C(s)。R(s)解：(a) 系统只有一个回环：L1cdh，在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：

8、P1abcdef，P2abcdi，P3agdef，P4agdi，相应的，有：12341 则C(s)1nabcdefabcdiagdefagdi PkkR(s)k11cdh(b) 系统共有三个回环，因此，L1111， R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，L2111 2R1C1sR2C2sR1R2C1C2s1111，并且有1sC1R1sC2R1C1C2s2在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P1111，则C(s)1R2 P11R(s)1L1L2R1R2C1C2s2(R1C1R2C1R2C2)s12-13 确定图2-T-13中系统的输出C(s)。3图2-T-13

9、解：采用叠加原理，当仅有R(s)作用时，C1(s)G1G2， R(s)1G2H2G1G2H1当仅有D1(s)作用时，C2(s)G2，D1(s)1G2H2G1G2H1当仅有D2(s)作用时，C3(s)G2， D2(s)1G2H2G1G2H1C4(s)G1G2H1 D3(s)1G2H2G1G2H1当仅有D3(s)作用时，根据叠加原理得出 C(s)C1(s)C2(s)C3(s)C4(s)G1G2R(s)G2D1(s)G2D2(s)G1G2H1D3(s) 1G2H2G1G2H1第三章3-1 设系统的传递函数为2nC(s)22R(s)s2nsn求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应

10、时，有r(t)t，R(s)所以有1 2s2n1C(s)22s2nsns2分三种情况讨论 （1）当1时，s1,221n221nt1nt 21eectt222n221n211（2）当01时，s1,2j2nctt2n1n2ent22sinnt2（3）当1时，s1,2nc(t)t设系统为单位反馈系统,有2n ent1ntn22ss2n 2s22nnErsRscsRs系统对单位斜坡输入的稳态误差为esrimss0ss2n12 222ss2nsnn3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为（1）G(s)50K（2）G(s)(10.1s)(12s)s(10.1s)(1

11、0.5s)K(12s)(14s)KG(s) （4）s2(s22s10)s(s24s200)2s0s02（3）G(s)解：（1）KplimG(s)50,KvlimsG(s)0,KalimsG(s)0；s0（2）KplimG(s),KvlimsG(s)K,KalimsG(s)0；s0s0s0（3）KplimG(s),KvlimsG(s),KalimsG(s)s0s0s02K； 10（4）KplimG(s),KvlimsG(s)s0s0K,Kalims2G(s)0s02003-3 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)10s(0.1s1)1R2t2 2若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。（1）

12、r(t)R0，（2）r(t)R0R1t，（3）r(t)R0R1t解：首先求系统的给定误差传递函数es误差系数可求得如下E(s)1s(0.1s1) R(s)1G(s)0.1s2s10s(0.1s1)02s0s00.1ss10d10(0.2s1)C1limeslim0.122s0s0ds(0.1ss10)C0limeslimd22(0.1s2s10)20(0.2s1)2C2lim2eslim0s0s0ds(0.1s2s10)3（1）r(t)R0，此时有rs(t)R0,s(t)rrs(t)0，于是稳态误差级数为esrtC0rs(t)0，t0（2）r(t)R0R1t，此时有rs(t)R0R1t,级数为

13、s(t)R1,rr(t)0，于是稳态误差ss(t)0.1R1，t0 esrtC0rs(t)C1r（3）r(t)R0R1t11s(t)R1R2t，R2t2，此时有rs(t)R0R1tR2t2,r22r(t)R2，于是稳态误差级数为 ss(t)esrtC0rs(t)C1r3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为 C2rs(t)0.1(R1R2t)，t0 2!G(s)10 s(0.1s1)若输入为r(t)sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。解：首先求系统的给定误差传递函数es误差系数可求得如下 E(s)1s(0.1s1) 2R(s)1G(s)0.1ss500s(0.1s1)0s0s00.1s2s5

14、00d500(0.2s1)1C1limeslims0dss0(0.1s2s500)2500C0limeslimd2100(0.1s2s500)1000(0.2s1)298C2lim2eslims0dss0(0.1s2s500)35002以及rs(t)sin5ts(t)5cos5trrs(t)25sin5t则稳态误差级数为CesrtC0225sin5tC15cos5t 24.9104sin5t1102cos5t3-6 系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消

15、除。a)b) 图3-T-1解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：esr2n，加入比例微分环节后CsRs1asCsGs21asn1asGsCsRs2Rs21Gss2nsns22annsEsRsCsRss22nsn2Rs1s22anesrlimsEss0n可见取a2n，可使esr03-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为2nG(s)s(s2n)从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp0.096，tp0.2s。试确定传递函数中的参量及n。解：由图可以判断出01，因此有Mpexp(tp2)100% 2n代入Mp0.096，tp0.2可求出0.598 n19.588

16、3-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。（2）整个系统的特征方程为s4s6s40求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求。解：设开环传递函数为 32图3-T-3C(s)K 32R(s)sk1sk2sk3s3k1s2k2sk31根据条件（1）esrlim30可知：k30； 2s01G(s)sk1sk2sk3K32根据条件（2）D(s)s4s6s40可知：k14，k26，K4。所以有Gs4 2ss4s63-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s)，如要求（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。（2）三阶系统的

17、一对主导极点为s1,s21j1。求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。解：按照条件（2）可写出系统的特征方程(s1j)(s1j)(sa)(s22s2)(sa)s3(2a)s2(22a)s2a0 将上式与1G(s)0比较，可得系统的开环传递函数G(s)2a 2ss(2a)s(22a)根据条件（1），可得Kv12a 0.5esr22a解得a1，于是由系统的开环传递函数为G(s)2 2ss3s43-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)K s(s1)试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。（1）K4.5,1s （2）K1,1s （3）K0.16,1s解：系统单位阶跃响

18、应的象函数为C(s)R(s)G(s)K s2(s1)（1）将K4.5，1s代入式中可求出n2.12rad/s，0.24，为欠阻尼系统，因此得出Mp46%，ts7.86s(2%)，5.90s(5%)（2）将K1，1s代入式中可求出n1rad/s，0.5，为欠阻尼系统，因此得出Mp16.3%，ts8s(2%)s，6s(5%)（3）将K0.16，1s代入式中可求出n0.4rad/s，1.25，过阻尼，无最大超调量。因此只有ts15s。3-11 系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。（1）当a=0时， 则系统传传递函数为G(s)所以有0.354。（2）n不变时

19、，系统传函数为G(s)8，其中n22，2n2，s22s88，要求0.7，则有2s(8a2)s82n2(4a1)，所以可求得求得a0.25。3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。1. 单位脉冲响应(a) 无零点时ct（b）有零点z1时 n2entsin2nt,t02nnt2,t0 ctesintarctgn1n2比较上述两种情况，可见有零点z1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生2nnn22n相移，相移角为arctg。 1n2单位阶跃响应(a) 无零点时ct1（b）有零点z1时 12ent22sinntarctg

20、,t0 ct12nn222entsin2ntarctgn,t0 加了z1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节K11s1，当误差信号et0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故s系统输出继续增长，知道出现et0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。3-14 上述系

21、统，如在rt为常量时，加于系统的扰动nt为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动nt为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？在rt为常量的情况下，考虑扰动nt对系统的影响，可将框图重画如下图A-3-2 题3-14系统框图等效变换CsK2sNs 2s2s1K1K21s1根据终值定理，可求得nt为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，nt为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 1。 K1从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号

22、以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。s4s3（1）劳斯表有 s2183240630 则系统系统稳定。303s4s3121240劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，s1s0 （2）劳斯表有 s2s1s01282系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。s5s4s3（3）劳斯表有 2ss1s0*066 劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，10101210系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。s6s5s4（4）劳斯表有 s3132343459648464系统处于稳定的临界状态，由辅助方程812

23、s2s1s0As2s46s24可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2j;s3,4j。3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。（1）K0时,系统稳定。 （2）K0时，系统不稳定。 （3）0K3时，系统稳定。 3-17 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)标，为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。系统的特征方程为 D(s)2s3(2)s2(K1)sK0K(s1)请在以K为横坐s(s1)(2s1)列写劳斯表s3s2s1s0(2)(K1)2K0222(2)(k1)2k2kk1k，得出系统稳定应满足的条件由此得到和应满足的不等式和条件02 63 44 3.32(

24、K1),K1,2K15 39 2.515 2.28302.13100 2.04根据列表数据可绘制K为横坐标、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)K(s5)(s40) 试求系统的3s(s200)(s1000)临界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程s51200s4200000s3ks245ks200k0列写劳斯表s5s4s3s2112002.4108k12001.7544108kk22.4108k7.787109k245k30.961016

25、k1.7544108kk2200k200000k5.410k200k1200445k200k0 200ks1s0根据劳斯判据可得2.4108k012001.7544108kk20 2.4108k7.787109k245k30.961016k0821.754410kk200k0系统稳定的K值范围为1.22106K1.7535108当K11.2210、K21.753510时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc1.22106以及Kc1.7535108。根据劳斯表列写Kc1.22106时的辅助方程 681.75441081.22106(1.22106)22s2001.22106

26、0 862.4101.2210解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。 Kc1.753510时的辅助方程 81.75441081.7535108(1.7535108)22s2001.75351080 882.4101.753510解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。第四章4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。（1）GsK1 ss1s30与，3上有根轨迹，渐近线 系统开环极点为0，1，3，无开环零点。实轴1，相角a60,180，渐近线与实轴

27、交点a1.33，由dK10可得出分离点为dS（0.45,j0），与虚轴交点jK112。常规根轨迹如图A-4-2所示。图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹（2）GsK1 2ss4s4s200上有根轨迹，a45,135，a2，分离点 方法步骤同上，实轴4，2,j0与2j2.5，与虚轴交点jK1260。常规根轨迹如图A-4-3所示。图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K1（1)试绘制系统根轨迹的大致图形，2s(s1)并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z1，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？（1）GsK1 s2s2实轴，2上

28、有根轨迹，a60,a0.67，由dK10可得出分离点为dS0,j0，与虚轴交点为j0K10常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当K10便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹（2）GsK1s1 2ss21上有根轨迹，a90,a0.5，分离点为0,j0；常规根轨迹如图实轴2，A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z1后，无论K取何值，系统都是稳定的。 4-4 设系统的开环传递函数为G(s)H(s)根轨迹（1）a=1 (2) a=1.185 (3) a=3 K1(s2)试绘制下列条件下系统的常规2s(s2sa)0上有

29、根轨迹，a90，a0，分离点为0.38 （1）a=1时，实轴2，0，常规根轨迹如图图A-4-5（1）Imaginary AxisReal Axis图A-4-5（1） 0上有根轨迹，a90，a0，根轨迹与虚轴的交点为（2）a=1.185时，实轴2，0，j，常规根轨迹如图图A-4-5（2）Imaginary AxisReal Axis图A-4-5（2）0上有根轨迹，j，a0，（3）a=3时，实轴2，根轨迹与虚轴的交点为0，a90，常规根轨迹如图图A-4-5（3）Imaginary AxisReal Axis图A-4-5（3）4-5 求开环传递函数为G(s)H(s)a=9（3）a=8 (4)a=3

30、K1(s1)的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）2s(sa)（1）实轴10，1上有根轨迹，a90,a4.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1）Root LocusImaginary AxisReal Axis图A-4-6（1）1上有根轨迹，a90,a4，分离点为0，j0，与虚轴交点为（2）实轴9，j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2）Imaginary AxisReal Axis 图A-4-6（2）1上有根轨迹，a90,a3.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为（3）实轴8，j0K10。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3）Root LocusImaginary AxisReal Axis图A-4-6（3）1上有根轨