《自动控制理论》夏德钤 翁贻方版第四版课后习题详细解答答案.docx
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《自动控制理论》夏德钤翁贻方版第四版课后习题详细解答答案
第二章
2-1试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。
1
R1，zR，则传递函数为：
（a）z122RCs11R1CsR1
Uo（s）z2R1R2CsR2Ui（s）z1z2R1R2CsR1R2
（b）设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程：
1U（s）I1（s）R1[I1（s）I2（s）]iC1s1Uo（s）I2（s）Cs2
并且有
11I1（s）（R2）I2（s）C1sC2s
联立三式可消去I1（s）与I2（s），则传递函数为：
Uo（s）Ui（s）1C2s
11R1C1sRR12CsCs1212R1R2C1C2s（R1C1R1C2R2C2）s1
2-2假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。
（a）由运算放大器虚短、虚断特性可知：
对上式进行拉氏变换得到uiduduCiC0，ucuiu0，Rdtdt
Ui（s）sUi（s）sU0（s）RC
故传递函数为
U0（s）RCs1Ui（s）RCs
（b）由运放虚短、虚断特性有：
Cducuiucucuu0，c00，dt22R2R1
联立两式消去uc得到
CRdu022uiu002R1dtRR1
对该式进行拉氏变换得
CR22sU0（s）Ui（s）U0（s）02R1RR1
故此传递函数为
U0（s）4R1Ui（s）R（RCs4）
（c）Cuuducucu0uc0，且ic，联立两式可消去uc得到RR12dtR1/2R1/2
CR1dui2u02ui02RdtR1R
对该式进行拉氏变换得到
CR122sUi（s）U0（s）Ui（s）02RR1R
故此传递函数为
U0（s）R（RCs4）11Ui（s）4R
2-3试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角为输出量的微分方程式和传递函数。
解：
设激磁磁通Kfif恒定
Cms60UassLaJs2LafRaJsRafCeCm2
2-4一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。
电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。
另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。
两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为u，电流为I。
电动机的角位移为。
解：
CsRsKACm60iLaJs3iLafRaJs2iRafCeCmsKACm2
2-5图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为
d0.u026。
假设电路中的R103，静态工作点u02.39V，id10e16
i02.19103A。
试求在工作点（u0,i0）附近idf（ud）的线性化方程。
解：
id2.191030.084ud0.2
2-6试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。
解：
分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程：
dv1mF（t）k2（y2y1）fk1y11dtdv2mk2（y2y1）2dt
代入v1dydy1、v22得dtdt
d2y1mF（t）k2（y2y1）fk1y11dt2
2mdy2k（yy）2221dt2
2-7图2-T-7为插了一个温度计的槽。
槽内温度为i，温度计显示温度为。
试求传递函数（s）（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。
i（s）
解：
根据能量守恒定律可列出如下方程：
C
对上式进行拉氏变换得到didtR
i（s）（s）RCs（s）
则传递函数为
（s）1i（s）RCs1
2-8试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数C（s）。
R（s）
a）
b）
图2-T-8
解：
（a）化简过程如下
传递函数为
G3（G1G2）C（s）R（s）1G3（G1H1）
（b）化简过程如下
传递函数为
G1（G2G3G4）C（s）
R（s）1G1G2H1（G2G3G4）（H2G1G3）
2-9试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数
C（s）
。
R（s）
解：
化简过程如下
系统的传递函数为
Cs0.7s0.42
3
Rss0.90.7ks21.180.42ks0.52
2-10绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数
C（s）
。
R（s）
图2-T-10
系统的传递函数为
G1G2G3CsG4
Rs1G2H1G1G2H1G2G3H2
2-11试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数
C1（s）C（s）
和2（设R1（s）R2（s）
。
R2（s）0）
R
R
解：
系统信号流程图如图所示。
图2-T-11
题2-11系统信号流程图
G1G2G3C1s
Rs1G1G2G4G1G2G4G5H1H2G1G2G4G5G6H2C2s
Rs1G1G2G4G1G2G4G5H1H2
2-12求图2-T-12所示系统的传递函数
C（s）
。
R（s）
解：
（a）系统只有一个回环：
L1cdh，
在节点R（s）和C（s）之间有四条前向通道，分别为：
P1abcdef，P2abcdi，P3agdef，P4agdi，相应的，有：
12341则
C（s）1nabcdefabcdiagdefagdiPkkR（s）k11cdh
（b）系统共有三个回环，因此，L1111，R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，L21112R1C1sR2C2sR1R2C1C2s
1111，并且有1sC1R1sC2R1C1C2s2在节点R（s）和C（s）之间仅有一条前向通道：
P11
11，则
C（s）1R2P11R（s）1L1L2R1R2C1C2s2（R1C1R2C1R2C2）s12-13确定图2-T-13中系统的输出C（s）。
3图2-T-13
解：
采用叠加原理，当仅有R（s）作用时，C1（s）G1G2，R（s）1G2H2G1G2H1当仅有D1（s）作用时，C2（s）G2，
D1（s）1G2H2G1G2H1
当仅有D2（s）作用时，C3（s）G2，D2（s）1G2H2G1G2H1
C4（s）G1G2H1D3（s）1G2H2G1G2H1当仅有D3（s）作用时，
根据叠加原理得出C（s）C1（s）C2（s）C3（s）C4（s）G1G2R（s）G2D1（s）G2D2（s）G1G2H1D3（s）1G2H2G1G2H1
第三章
3-1设系统的传递函数为
2nC（s）
2
2
R（s）s2nsn
求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。
解：
当输入为单位斜坡响应时，有
r（t）t，R（s）
所以有
12s
2n1
C（s）22
s2nsns2
分三种情况讨论
（1）当1时，
s1,221n
22
1nt1nt
21eectt22
2n221n211
（2）当01时，
s1,2j2nctt
2
n
1n
2
e
nt
22
sinnt2
（3）当1时，
s1,2nc（t）t
设系统为单位反馈系统,有
2
n
ent1ntn22
ss2n2
s22nn
ErsRscsRs
系统对单位斜坡输入的稳态误差为
esrims
s0
ss2n12222
ss2nsnn
3-2试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。
系统的开环传递函数为
（1）G（s）
50K
（2）G（s）
（10.1s）（12s）s（10.1s）（10.5s）K（12s）（14s）K
G（s）（4）
s2（s22s10）s（s24s200）
2
s0
s02
（3）G（s）
解：
（1）KplimG（s）50,KvlimsG（s）0,KalimsG（s）0；
s0
（2）KplimG（s）,KvlimsG（s）K,KalimsG（s）0；
s0
s0
s0
（3）KplimG（s）,KvlimsG（s）,KalimsG（s）
s0
s0
s0
2
K
；10
（4）KplimG（s）,KvlimsG（s）
s0
s0
K
Kalims2G（s）0
s0200
3-3设单位反馈系统的开环传递函数为
G（s）
10
s（0.1s1）
1
R2t22
若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。
（1）r（t）R0，
（2）r（t）R0R1t，（3）r（t）R0R1t解：
首先求系统的给定误差传递函数
es
误差系数可求得如下
E（s）1s（0.1s1）
R（s）1G（s）0.1s2s10
s（0.1s1）
02s0s0
0.1ss10
d10（0.2s1）
C1limeslim0.122s0s0
ds（0.1ss10）C0limeslim
d22（0.1s2s10）20（0.2s1）2
C2lim2eslim0
s0s0
ds（0.1s2s10）3
（1）r（t）R0，此时有rs（t）R0,
s（t）rrs（t）0，于是稳态误差级数为
esrtC0rs（t）0，t0
（2）r（t）R0R1t，此时有rs（t）R0R1t,级数为
s（t）R1,rr（t）0，于是稳态误差s
s（t）0.1R1，t0esrtC0rs（t）C1r
（3）r（t）R0R1t
11
s（t）R1R2t，R2t2，此时有rs（t）R0R1tR2t2,r
22
r（t）R2，于是稳态误差级数为s
s（t）esrtC0rs（t）C1r
3-4设单位反馈系统的开环传递函数为C2rs（t）0.1（R1R2t），t02!
G（s）10s（0.1s1）
若输入为r（t）sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。
解：
首先求系统的给定误差传递函数
es
误差系数可求得如下E（s）1s（0.1s1）2R（s）1G（s）0.1ss500
s（0.1s1）0s0s00.1s2s500
d500（0.2s1）1C1limeslims0dss0（0.1s2s500）2500C0limeslim
d2100（0.1s2s500）1000（0.2s1）298C2lim2eslims0dss0（0.1s2s500）35002
以及
rs（t）sin5t
s（t）5cos5tr
rs（t）25sin5t
则稳态误差级数为
CesrtC0225sin5tC15cos5t2
4.9104sin5t1102cos5t
3-6系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。
如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。
a）
b）图3-T-1
解：
系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：
esr
2
n
，加入比例—微分环节后
CsRs1asCsGs
2
1asn1asGsCsRs2Rs2
1Gss2nsn
s22anns
EsRsCsRs
s22nsn
2
Rs
1
s2
2an
esrlimsEs
s0
n
可见取a
2
n
，可使esr0
3-7单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为
2n
G（s）
s（s2n）
从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。
经测量知，Mp0.096，
tp0.2s。
试确定传递函数中的参量及n。
解：
由图可以判断出01，因此有
Mpexp（
tp2）100%
2n
代入Mp0.096，tp0.2可求出
0.598n19.588
3-8反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求
（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。
（2）整个系统的特征方程为s4s6s40
求三阶开环传递函数G（s），使得同时满足上述要求。
解：
设开环传递函数为32图3-T-3
C（s）K32R（s）sk1sk2sk3
s3k1s2k2sk31根据条件
（1）esrlim30可知：
k30；2s01G（s）sk1sk2sk3K
32根据条件
（2）D（s）s4s6s40可知：
k14，k26，K4。
所以有
Gs42ss4s63-9一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G（s），如要求
（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。
（2）三阶系统的一对主导极点为s1,s21j1。
求同时满足上述条件的系统开环传递函数G（s）。
解：
按照条件
（2）可写出系统的特征方程
（s1j）（s1j）（sa）（s22s2）（sa）s3（2a）s2（22a）s2a0将上式与1G（s）0比较，可得系统的开环传递函数
G（s）2a2ss（2a）s（22a）
根据条件
（1），可得
Kv12a0.5esr22a
解得a1，于是由系统的开环传递函数为
G（s）22ss3s43-10已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
G（s）Ks（s1）
试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。
（1）K4.5,1s
（2）K1,1s（3）K0.16,1s
解：
系统单位阶跃响应的象函数为
C（s）R（s）G（s）Ks2（s1）
（1）将K4.5，1s代入式中可求出n2.12rad/s，0.24，为欠阻尼系统，因此得出
Mp46%，ts7.86s（2%），5.90s（5%）
（2）将K1，1s代入式中可求出n1rad/s，0.5，，为欠阻尼系统，因此得出
Mp16.3%，ts8s（2%）s，6s（5%）
（3）将K0.16，1s代入式中可求出n0.4rad/s，1.25，过阻尼，无最大超调量。
因此只有ts15s。
3-11系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。
如要求，是确定a的值。
（1）当a=0时，则系统传传递函数为G（s）
所以有0.354。
（2）n不变时，系统传函数为G（s）8，其中n22，2n2，s22s88，要求0.7，则有2s（8a2）s8
2n2（4a1），所以可求得求得a0.25。
3-12已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位
脉冲响应和单位阶跃响应的影响。
1.单位脉冲响应
（a）无零点时
ct
（b）有零点z1时n2entsin2nt,t0
2nnt2,t0ctesintarctgn1n2
比较上述两种情况，可见有零点z1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生2nnn2
2n相移，相移角为arctg。
1n
2．单位阶跃响应
（a）无零点时
ct1
（b）有零点z1时12ent22sinntarctg,t0
ct12nn
222entsin2ntarctgn,t0
加了z1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。
3-13单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。
假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。
如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？
单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。
假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节K11s1，当误差信号et0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故s
系统输出继续增长，知道出现et0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。
因此，系统的响应必然存在超调现象。
3-14上述系统，如在rt为常量时，加于系统的扰动nt为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？
如扰动nt为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？
在rt为常量的情况下，考虑扰动nt对系统的影响，可将框图重画如下
图A-3-2题3-14系统框图等效变换
CsK2sNs2s2s1K1K21s1根据终值定理，可求得nt为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，nt为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为1。
K1
从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。
在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。
3-15已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。
s4
s3
（1）劳斯表有s2183240630则系统系统稳定。
30
3
s4
s3121240
劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，s1s0
（2）劳斯表有s2
s1
s01282
系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
s5
s4
s3
（3）劳斯表有2s
s1
s0*******066劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，10101210
系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。
s6s5s4
（4）劳斯表有s
3
1323434
5964
8464
系统处于稳定的临界状态，由辅助方程
812
s2s1s0
As2s46s24可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2j;s3,4j。
3-16根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。
（1）K>0时,系统稳定。
（2）K>0时，系统不稳定。
（3）03-17已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G（s）标，为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。
系统的特征方程为D（s）2s3
（2）s2（K1）sK0
K（s1）
请在以K为横坐
s（s1）（2s1）
列写劳斯表
s3s2s
1
s0
（2）（K1）2K
0
2
22
（2）（k1）2k
2k
k1k
，得出系统稳定应满足的条件
由此得到和应满足的不等式和条件
0
26
34
43.3
2（K
1）
K1,2
K1
53
92.5
152.28
30
2.13
1002.04
根据列表数据可绘制K为横坐标、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。
图A-3-3闭环系统稳定的参数区域
3-18已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G（s）K（s5）（s40）试求系统的3s（s200）（s1000）
临界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。
根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程
s51200s4200000s3ks245ks200k0
列写劳斯表
s5
s4
s3
s2112002.4108k12001.7544108kk2
2.4108k7.787109k245k30.961016k
1.7544108kk2
200k200000k5.410k200k1200445k200k0200ks1s0
根据劳斯判据可得
2.4108k012001.7544108kk2
02.4108k7.787109k245k30.961016k0821.754410kk200k0
系统稳定的K值范围为
1.22106K1.7535108
当K11.2210、K21.753510时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc1.22106以及Kc1.7535108。
根据劳斯表列写Kc1.22106时的辅助方程68
1.75441081.22106（1.22106）2
2s2001.221060862.4101.2210
解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。
Kc1.753510时的辅助方程8
1.75441081.7535108（1.7535108）2
2s2001.75351080882.4101.753510
解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。
第四章
4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。
（1）GsK1ss1s30与，3上有根轨迹，渐近线系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。
实轴1，
相角a60,180，渐近线与实轴交点a1.33，由dK10可得出分离点为dS（0.45,j0），与虚轴交点jK112。
常规根轨迹如图A-4-2所示。
图A-4-2题4-2系统
（1）常规根轨迹
（2）GsK12ss4s4s200上有根轨迹，a45,135，a2，分离点方法步骤同上，实轴4，
2,j0与2j2.5，与虚轴交点jK1260。
常规根轨迹如图A-4-3所示。
图A-4-3题4-2系统
（2）常规根轨迹
4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G（s）K1
（1）试绘制系统根轨迹的大致图形，2s（s1）
并对系统的稳定性进行分析。
（2）若增加一个零点z1，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？
（1）GsK1s2s2实轴，2上有根轨迹，a60,a0.67，由dK10可得出分离点为dS
0,j0，与虚轴交点为j0K10常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。
从根轨迹图可见，当K10便有二个闭环极点位于右半s平面。
所以无论K取何值，系统都不稳定。
图A-4-4题4-3系统常规根轨迹
（2）GsK1s12ss21上有根轨迹，a90,a0.5，分离点为0,j0；常规根轨迹如图实轴2，
A-4-4（b）所示。
从根轨迹图看，加了零点z1后，无论K取何值，系统都是稳定的。
4-4设系统的开环传递函数为G（s）H（s）
根轨迹
（1）a=1
（2）a=1.185（3）a=3K1（s2）试绘制下列条件下系统的常规2s（s2sa）
0上有根轨迹，a90，a0，分离点为0.38
（1）a=1时，实轴2，，0，常
规根轨迹如图图A-4-5
（1）
ImaginaryAxisRealAxis
图A-4-5
（1）
0上有根轨迹，a90，a0，根轨迹与虚轴的交点为
（2）a=1.185时，实轴2，
0，j，常规根轨迹如图图A-4-5
（2）
ImaginaryAxisRealAxis
图A-4-5
（2）
0上有根轨迹，j，a0，（3）a=3时，实轴2，根轨迹与虚轴的交点为0，a90，
常规根轨迹如图图A-4-5（3）
ImaginaryAxisRealAxis
图A-4-5（3）
4-5求开环传递函数为G（s）H（s）
a=9（3）a=8（4）a=3K1（s1）的系统在下列条件下的根轨迹
（1）a=10
（2）2s（sa）
（1）实轴10，1上有根轨迹，a90,a4.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为j0K10。
常规根轨迹大致图形如图A-4-6
（1）
RootLocus
ImaginaryAxisRealAxis
图A-4-6
（1）
1上有根轨迹，a90,a4，分离点为0，j0，与虚轴交点为
（2）实轴9，
j0K10。
常规根轨迹大致图形如图A-4-6
（2）
ImaginaryAxis
RealAxis图A-4-6
（2）
1上有根轨迹，a90,a3.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为（3）实轴8，
j0K10。
常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3）
RootLocus
ImaginaryAxisRealAxis
图A-4-6（3）
1上有根轨
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