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1、最新初中数学函数知识点汇总优秀名师资料初中数学函数知识点汇总1.定义:一般地，如果是常数，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数的性质 (1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. (2)函数的图像与a的符号关系. ?当时抛物线开口向上顶点为其最低点; ?当a时抛物线开口向下顶点为其最高点. ()(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2 3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 24.二次函数用配方法可化成:的形式，其中 b ， 25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?;?;?;? ;? 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ?a的符号决

2、定抛物线的开口方向:当时，开口向上;当时，开口向下; a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ?平行于y轴(或重合)的直线记作特别地，y轴记作直线 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:，?顶点是 ()，对称轴是直线 (2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(h,k)，2 对称轴是直线(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分 1 线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配

3、方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线中，a,b,c的作用 (1)a决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 b2a ，故:?时，对称轴为y轴;? ba (即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧; ? ba (即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧. (3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置. 当时，?抛物线与y轴有且只有一个交点(0，c): ?，抛物线经过原点; ?与y轴交于正半轴;?与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次

4、函数的图像特征如下: ba (1)一般式: 11.用待定系数法求二次函数的解析式 2 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 2 (2)顶点式:已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式:12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线 2 得交点为(0, c). 2 (2)与y轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(h,ah (3)抛物线与x轴的交点 2 二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 ax 2 的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式判定: ?有两个交

5、点抛物线与x轴相交; ?有一个交点(顶点在x轴上)抛物线与x轴相切; ?没有交点抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵 坐标为k，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图像l与二次函数的图像G的交点，由方 2 程组 的解的数目来确定:?方程组有两组不同的解时与G有两个交点; ? 方程组只有一组解时与G只有一个交点;?方程组无解时与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线与x轴两交点为， 由于x1、x2是方程的两个根，故 ba ca 2 2 2 2 2 一次函数与反比

6、例函数 考点一、平面直角坐标系 (3分) 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一 3 象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分 点的坐标用(a，开，横、纵坐标的位置不能

7、颠倒。平面 (3分) 1、各象限 (38分) 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 4 22 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值

8、列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标，在坐标平面 (310分) 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果(k，b是常数，)，那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，)。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数的图像是经过点(0，b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。 5 4、

9、正比例函数的性质，一般地，正比例函数有下列性质: (1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大; (2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质，一般地，一次函数有下列性质: (1)当k>0时，y随x的增大而增大 (2)当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式()中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式()中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数 (310分) 1、反比例函数的概念 一般地，函数 x(k是常

10、数，)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 的一切实数，函数的取值范围也是一切 的形式。自变量x的取值范围是非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量，函数，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 6 kx 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要 一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数

11、 kx 图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形 kx 。 PMON的面积。 二次函数 考点一、二次函数的概念和图像 (38分) 1、二次函数的概念 一般地，如果是常数，那么y叫做x 的二次函数。 2 2 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于抛物线的主要特征: ?有开口方向;?有对称轴;?有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线与坐标轴的交点: 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点

12、D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D 7 2 b2a 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 (1016分) 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:是常数，(2)顶点式:是常数， (3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2 存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则

13、不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 (10分)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当 b2a 时，y最值 2 。 b2a ，那么，首先要看 如果自变量的取值范围是b2a 是否在自变量取值范围(614分) 1、二次函数的性质 8 2、二次函数是常数，中，a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时，抛物线开口向上， a<0时，抛物线开口向下 b与对称轴有关:对称轴为b2a c) c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0，3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示

14、图像与x轴是否有交点。 当时，图像与x轴有两个交点; 当时，图像与x轴有一个交点; 当时，图像与x轴没有交点。 补充: 1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法) 如图:点A坐标为(x1，y1)点B则AB间的距离，即线段AB的长度为 2、函数平移规律(中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间) 9 3、直线斜率: 为直线在y轴上的截距 1，一般 一般 直线方程 ax+by+c=0 2，两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: 4、直线方程: 一般两点斜截距 -最最常用，记牢 3，点斜 知道一点与斜率1 y,kx，b(k?0) 4，斜截 斜截式方程，简称斜截式: 5 ，截距 由直线在 x 轴和y轴上的截距确定的直线的截距 式方程，简称截距式: 记牢可大幅提高运算速度 5、设两条直线分别为，l1:若l1/l2，则有且。 若1kxkx6、点P( 0，y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离 k 2 2 k 2