最新初中数学函数知识点汇总优秀名师资料.docx
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最新初中数学函数知识点汇总优秀名师资料
初中数学函数知识点汇总
1.定义:
一般地，如果是常数，，那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
（2）函数的图像与a的符号关系.
?
当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
?
当a时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（）（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2
3.二次函数
的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.
24.二次函数用配方法可化成:
的形式，其中
b
，
25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:
?
;?
;?
;?
;?
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
?
a的符号决定抛物线的开口方向:
当时，开口向上;当时，开口向下;
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
?
平行于y轴（或重合）的直线记作特别地，y轴记作直线
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法:
，?
顶点是
（），对称轴是直线
（2）配方法:
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（h,k），2
对称轴是直线
（3）运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分
1
线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
b2a
，故:
?
时，对称轴为y轴;?
ba
（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧;
?
ba
（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.
（3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置.
当时，，?
抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）:
?
，抛物线经过原点;?
与y轴交于正半轴;?
与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
ba
（1）一般式:
11.用待定系数法求二次函数的解析式
2
已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
2
（2）顶点式:
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式:
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式:
12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线
2
得交点为（0,c）.
2
（2）与y轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（h,ah（3）抛物线与x轴的交点
2
二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程
ax
2
的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定:
?
有两个交点抛物线与x轴相交;
?
有一个交点（顶点在x轴上）抛物线与x轴相切;?
没有交点抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的
纵坐标相等，设纵
坐标为k，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像l与二次函数的图像G的交点，由方
2
程组
的解的数目来确定:
?
方程组有两组不同的解时与G有两个交点;?
方程组只有一组解时与G只有一个交点;?
方程组无解时与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线与x轴两交点为
，，，，
由于x1、x2是方程的两个根，故
ba
ca
2
2
2
2
2
一次函数与反比例函数
考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一
3
象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分点的坐标用（a，
开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面（3分）
1、各象限（3~8分）
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
422
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点:
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面（3~10分）
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点（0，b）的直线;正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
5
4、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数有下列性质:
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质，，一般地，一次函数有下列性质:
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（）中的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（）中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
考点五、反比例函数（3~10分）
1、反比例函数的概念
一般地，函数
x（k是常数，）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成
的一切实数，函数的取值范围也是一切的形式。
自变量x的取值范围是
非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量，函数，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
6
kx
确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要
一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数
kx
图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形
kx
。
PMON的面积。
二次函数
考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）1、二次函数的概念
一般地，如果是常数，，那么y叫做x的二次函数。
2
2
是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于抛物线的主要特征:
?
有开口方向;?
有对称轴;?
有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法:
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D
7
2
b2a
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
考点二、二次函数的解析式（10~16分）
二次函数的解析式有三种形式:
（1）一般式:
是常数，
（2）顶点式:
是常数，
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2
存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值（10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
b2a
时，y最值
2
。
b2a
，那么，首先要看如果自变量的取值范围是
b2a
是否在自变量取值范围（6~14分）1、二次函数的性质
8
2、二次函数是常数，中，a、b、c的含义:
a表示开口方向:
a>0时，抛物线开口向上，，，a<0时，抛物线开口向下
b与对称轴有关:
对称轴为
b2a
c）c表示抛物线与y轴的交点坐标:
（0，
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当时，图像与x轴有两个交点;当时，图像与x轴有一个交点;
当时，图像与x轴没有交点。
补充:
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图:
点A坐标为（x1，y1）点B则AB间的距离，即线段AB的长度为
2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
9
3、直线斜率:
为直线在y轴上的截距
1，一般一般直线方程ax+by+c=0
2，两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:
4、直线方程:
一般两点斜截距
--最最常用，记牢
3，点斜
知道一点与斜率
1
y,kx，b（k?
0）4，斜截斜截式方程，简称斜截式:
5，截距由直线在
x
轴和y轴上的截距确定的直线的截距
式方程，简称截距式:
记牢可大幅提高运算速度
5、设两条直线分别为，l1:
:
若
l1//l2，则有且。
若
1kxkx6、点P（
0，y0）到直线y=kx+b（即:
kx-y+b=0）的距离
k
2
2
k
2
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