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1、3椭圆的简单几何性质三双曲线及其标准方程【每日一乐】买了个灯泡，问老板为什么不亮？老板说：这是限亮版。【椭圆知识点总结】1、椭圆及其标准方程1、画法3、方程 【新课知识点】1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距|MF1| - |MF2 | = 2a 两个定点F1、F2双曲线的焦点; |F1F2|=2c 双曲线的焦距.（得出a,c的大小关系） 思考：1双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|?如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1、F2为端点的

2、两条射线(包括端点)如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线（2）若2a2c,则轨迹是什么？(2)不表示任何轨迹（3）若2a=0,则轨迹是什么？(3)线段F1F2的垂直平分线2平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？不是，是双曲线的某一支在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点则|PF1|PF2|2a，曲线只表示双曲线的右支|PF1|PF2|2a，曲线只表示双曲线的左支概念应用：1，动点P到点M(-2,0

3、)的距离减去到点N(2,0)的距离之差为3，则点P轨迹是( )B A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线2.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离之差的绝对值为4，则点P轨迹是( )C A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线3,下列方程分别表示什么曲线? 椭圆 双曲线的右支 双曲线x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。双曲线的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2思考：如何判断双曲线

4、的焦点在哪个轴上？ 如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上【例题讲解】3.求出a,b,c 及焦点坐标4， 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点P，Q；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上解(1)法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P、Q两点坐标代入可得解之得所以双曲线的标准方程为1.(2)依题意，可设双曲线方程为1(a0，b0)依题设有解得所

5、求双曲线的标准方程为y21.【变式训练】 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a3，c4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6)解(1)由题设知，a3，c4，由c2a2b2，得b2c2a242327.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为1.(2)由已知得c6，且焦点在y轴上因为点A(5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a|135|8，则a4，b2c2a2624220.因此，所求双曲线的标准方程是1.2.若椭圆1(mn0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值为(

6、)Ama Bmb Cm2a2 DA解析：设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|PF2|2由双曲线定义得|PF1|PF2|2|PF1|，|PF2|PF1|PF2|ma例、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。变式训练：若|PF1|-|PF2|=8呢？例，方程 表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围。题型二双曲线定义的应用例，如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF

7、2的面积正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, 解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义，得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.【变式训练】1已知双

8、曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)解：连接ON，ON是PF1F2的中位线，所以|ON|PF2|因为|PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2或18，|ON|PF2|1或92设P为双曲线1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若F1PF260，求PF1F2的面积解：由方程1，得a4，b3，故c5，所以|F1F2|2c10又由双曲线的定义，得|PF1|PF2|8，两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|

9、PF2|cos 60，即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|100，得|PF1|PF2|36，所以|PF1|PF2|sin 603693.已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.【随堂练习】1.平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF

10、1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是()A(x4) B(x3)C(x4) D(x3)答案：D解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a3，c5，b2c2a216，所求轨迹方程为(x3)2已知双曲线为，则此双曲线的焦距为()A B C D答案：D解析：由已知0，a22，b2，c22，焦距3已知双曲线上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(5,0)的距离为( )A7 B23 C5或25 D7或23答案：D解析：设F1(5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：|PF1|PF2|2a8，而|PF2|15，解得|PF1|7或234，已知双曲线x2y21，点F1，F2为其

11、两个焦点，点P为双曲线上一点若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为()AA2 B3 C2 D35,已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()AA. B. C. D.4.方程1表示双曲线，那么m的取值范围是_错解 由解得3m2，m的取值范围是m|3m2 只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况正解 依题意有或解得3m3.m的取值范围是m|3m3答案m|3m35在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6,0)和C(6,0)，顶点B在双曲线的左支上，则_答案：解析：如图，6在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_答案：4解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)把x3代入双曲线方程得y，即M点的坐标为(3，)由两点间距离公式得|MF|47,写出适合下列条件的双曲线的标准方程：1. 焦点为(0, -6)、(0, 6)，且经过点(2, 5)；2. a=4，过点(1,) 3. 经过点