3椭圆的简单几何性质三.docx

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3椭圆的简单几何性质三

双曲线及其标准方程

【每日一乐】

买了个灯泡，问老板为什么不亮？

老板说：

这是限亮版。

【椭圆知识点总结】

1、椭圆及其标准方程

1、画法

3、方程

【新课知识点】

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

|MF1|-|MF2|=2a

①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

②|F1F2|=2c——双曲线的焦距.（得出a,c的大小关系）

思考：

1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|?

①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）．

②如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．

③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．

（1）若2a=2c,则轨迹是什么？

（1）两条射线

（2）若2a>2c,则轨迹是什么？

（2）不表示任何轨迹

（3）若2a=0,则轨迹是什么？

（3）线段F1F2的垂直平分线

2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是不是双曲线？

不是，是双曲线的某一支．

在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点

则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示双曲线的右支．

②|PF1|－|PF2|＝－2a，曲线只表示双曲线的左支．

概念应用：

1，动点P到点M（-2,0）的距离减去到点N（2,0）的距离之差为3，则点P轨迹是（）B

A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线

2.动点P到点M（-2,0）的距离减去到点N（2,0）的距离之差的绝对值为4，则点P轨迹是（）C

A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线

3,下列方程分别表示什么曲线?

椭圆

双曲线的右支

双曲线

x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。

双曲线的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

－＝1（a>0，b>0）

－＝1（a>0，b>0）

焦点坐标

F1（－c,0），F2（c,0）

F1（0，－c），F2（0，c）

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2

思考：

如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？

如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

【例题讲解】

3.求出a,b,c及焦点坐标

4，根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）经过点P，Q；

（2）c＝，经过点（－5,2），焦点在x轴上．

解　

（1）法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0），

由于点P和Q在双曲线上，

所以解得（舍去）．

若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0），

将P、Q两点坐标代入可得

解之得

所以双曲线的标准方程为－＝1.

（2）依题意，可设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0）．

依题设有解得

∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.

【变式训练】

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a＝3，c＝4，焦点在x轴上；

（2）焦点为（0，－6），（0,6），经过点A（－5,6）．

解　

（1）由题设知，a＝3，c＝4，

由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.

因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

（2）由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A（－5,6）在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，

即2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.

因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.

2.若椭圆＋＝1（m＞n＞0）和双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为（　　）

A．m－aB．m－bC．m2－a2D．－

A　解析：

设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2．

由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2．∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－．

∴|PF1|·|PF2|＝m－a．

例、已知双曲线的焦点F1（-5,0）,F2（5,0），双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。

变式训练：

若|PF1|-|PF2|=8呢？

例，方程

表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围。

题型二　双曲线定义的应用

例，如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．

（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；

（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

正弦定理：

余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA,

解　双曲线的标准方程为－＝1，

故a＝3，b＝4，c＝＝5.

（1）由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.

（2）将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝

36＋2×32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2＝

＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，

∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.

【变式训练】

1．已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小（O为坐标原点）．

解：

连接ON，ON是△PF1F2的中位线，

所以|ON|＝|PF2|．

因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，

所以|PF2|＝2或18，|ON|＝|PF2|＝1或9．

2．设P为双曲线－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．

解：

由方程－＝1，得a＝4，b＝3，故c＝＝5，

所以|F1F2|＝2c＝10．

又由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝8，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝64．①

在△PF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，

即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝100．②

①－②，得|PF1||PF2|＝36，

所以

＝|PF1||PF2|sin60°＝×36×＝9．

3.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

解　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，

所以102＝（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1|·|PF2|，

所以|PF1|·|PF2|＝64，

∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2

＝×64×＝16.

【随堂练习】

1.平面内有两个定点F1（－5,0）和F2（5,0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（　　）

A．

（x≤－4）B．

（x≤－3）

C．

（x≥4）D．

（x≥3）

答案：

D　解析：

由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求轨迹方程为

（x≥3）．

2．已知双曲线为

，则此双曲线的焦距为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：

D　解析：

由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距

．

3．已知双曲线

上的点P到（5,0）的距离为15，则点P到点（－5,0）的距离为（　）

A．7B．23C．5或25D．7或23

答案：

D　解析：

设F1（－5,0），F2（5,0），

则由双曲线的定义知：

||PF1|－|PF2||＝2a＝8，

而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23．

4，已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为（　　）A

A．2B．3C．2D．3

5,已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝（　　）A

A.B.C.D.

4.方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．

[错解]由解得－3

∴m的取值范围是{m|－3

只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．

[正解]依题意有或

解得－33.

∴m的取值范围是{m|－33}．

答案　{m|－33}

5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－6,0）和C（6,0），顶点B在双曲线

的左支上，则

＝______．

答案：

　解析：

如图，

．

6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________．

答案：

4　解析：

设右焦点为F，则点F的坐标为（4,0）．

把x＝3代入双曲线方程得y＝±，即M点的坐标为（3，±）．

由两点间距离公式得|MF|＝＝4．

7,写出适合下列条件的双曲线的标准方程：

1.焦点为（0,-6）、（0,6），且经过点（2,5）；

2.a=4，过点（1,

）

3.经过点