中考数学初中数学旋转的综合压轴题专题复习及答案.docx

1、中考数学初中数学旋转的综合压轴题专题复习及答案中考数学一初中数学 旋转的综合压轴题专题复习及答案一、旋转1.如图所示, (1)正方形ABCD及等腰RtAEF有公共顶点 A, / EAF=90；连接BE、DF.将RAEF绕点A旋转，在旋转过程中， BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图 (1)给予证明；(2)将(1)中的正方形 ABCD变为矩形 ABCD,等腰RtAEF变为RtAAEF7,且AD=kAB, AF=kAE,其他条彳不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图 (2)说明理由；(3)将(2)中的矩形 ABCD变为平行四边形 ABCD,将RtA AEF变为AEF,且/BAD=/ E

2、AF=q其他条彳不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图 (3),如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k表示出线段BE、DF的数量关系，用 a表示出直线BE、DF 形成的锐角3.【答案】(1) DF=BE且DFLBE,证明见解析；(2)数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE, 3 =18。”DF=kBE, DF BE； (3)不改变.【解析】【分析】(1)根据旋转的过程中线段的长度不变，得到 AF= AE,又/ BAE与/ DAF都与/ BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE与DF相等，延长 DF交BE于G, 根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于

3、360求出/ EGF= 90,所以DF BE;(2)等同(1)的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以FA2 4EAB,所以DF=kBE,同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角 和等于360求出/EHF= 90,所以DF, BE;(3)与(2)的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360 求出/人5+/ EHF= 180 ,所以 DF 与 BE 的夹角 3= 180 -【详解】(1) DF与BE互相垂直且相等.证明：延长 DF分别交AR BE于点P、G在正方形 ABCD和等腰直角 4AEF中AD= AB, AF= AE, / BAD

4、= / EAF= 90 Z FAA Z EAB .FACAEAB Z AFD= Z AEB, DF= BEZ AFD+Z AFG= 180 ,Z AEG+ZAFG= 180 ,Z EA曰 90 ；Z EGR= 180 - 90 = 90 ,DFXBEDF= kBE, DF BE(2)数量关系改变，位置关系不变. 延长DF交EB于点H,AD AFAB AE / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB.FADAEABDF AF , k BE AE.DF= kBE由 FAD EAB得 / AFD= / AEB / AFD+/AFH= 180 / AEB+/AFH= 180 四边形AEHF

5、的内角和为360 : / EAF+Z EHF= 180 / EAF= a, / EHF= 3,a+ 片 180 :3= 180 - a【点睛】本题(1)中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；( 2) (3)利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关 键，也是难点所在.2.在平面直角坐标系中，已知点 A(0, 4), B(4, 4),点M, N是射线OC上两动点(OMVON),且运动过程中始终保持 /MAN = 45。，小明用几何画板探究其中的线段关系.(1)探究发现：当点 M, N均在线段OB上时(如图1),有OM2+BN2 = MN2.

6、他的证明思路如下：第一步：将 4ANB绕点A顺时针旋转 90得aAPO,连结PM,则有BN=OP.第二步：证明 APMANM,得 MP=MM.第一步：证明 /POM=90,得 OMO卡nMP2.最后得到OM2+BN2 = MN2.请你完成第二步三角形全等的证明.图1 图2 图3（2）继续探究：除（1）外的其他情况，OM，BN2=MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由.（3）新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题 （不标注新的字母），并直接给出 答案（根据编出的问题层次，给不同的得分 ）.【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立，理由见解析； （3）见解析.【

7、解析】【分析】（1）将4ANB绕点A顺时针旋转90得AAPO,连结PM,则有BN=OP.证明 APMAANM,再利用勾股定理即可解决问题;（2）如图2中，当点M, N在OB的延长线上时结论仍然成立.证明方法类似（ 1）;（3）如图3中，若点B是MN的中点，求 MN的长.利用（2）中结论，构建方程即可解 决问题.【详解】A顺时针旋转 90得APO,连结PM,则有BN=OP.3 / NAP= / OAB= 90 , / MAN = 45 , / MAN= / MAP,4. MA = MA, AN=AP,5.MANAMAP（SAS）.（2）如图2中，结论仍然成立.理由：如图2中，将4ANB绕点A顺时

8、针旋转90得APO,连结PM,则有BN= OP.6 / NAP= / OAB= 90 , / MAN = 45 , / MAN= / MAP,7. MA = MA, AN=AP,.MANAMAP(SAS),.MN = PM,8 / ABN= ZAOP= 135 ； / AOB= 45 ； / MOP=90 ,.PM2= OM2+OP2,9.OM2+BN2=MN2；(3)如图3中，若点 B是MN的中点，求 MN的长.设 MN= 2x,贝U BM= BN=x, -，OA = AB=4, /OAB=90 ； .OB=4.2 ，OM = 4 72 - x,1 OM2+BN2= MN2. .(4 应-x

9、)2+x2= (2x)2,解得 x=- 2、2+26或-2,2 -2、,力(舍弃)MN = - 4 72+4/6 .【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性 质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问 题，属于中考压轴题.AC= 2CE= m, BC=D随半圆O旋转且3.平面上，RtABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，/B=90, n,半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点 /ECD始终等于/ACB,旋转角记为 a (0 WaW) 180 AE(3)若 m=10, n=8,当”=/ACB时，求

10、线段 BD的长；(4)若m=6, n=4 J2，当半圆。旋转至与 ABC的边相切时，直接写出线段 BD的 长.【答案】(1) 90。，n; (2)无变化；(3) 12 ; (4) BD=2j75 或254 .2 5 , 3【解析】CD CE试题分析：(1)根据直径的性质，由 DE/ AB得 即可解决问题.求出CB CABD、AE即可解决问题.(2)只要证明 ACa4BCD即可.(3)求出 AB AE,利用AC&BCD即可解决问题.(4)分类讨论：如图5中，当a =90时，半圆与AC相切，如图6中，当 a =904ACB时，半圆与 BC相切，分别求出 BD即可.试题解析：(1)解：如图1中，当O

11、寸，连接DE,则/CDE=90： Z CDE=Z B=90 ； . DE/ AB, - -CE- CD = 1 . BC=n, ，CD=1 n .故答AC CB 2 2一 。1案为 90。，-n.2如图 2 中，当 a =18叫，BD=BC+CD=-3 n, AE=AC+CE=-3 m, .故答案为CD BC n/ ACE=Z BCD. CE AC m (3)如图 4 中，当 “=/ACB时.在 RABC中，,ACMO, BC=8,BD BCAE AC.AB= JAC2_BC2 =6.在 RtABE 中,/ AB=6, BE=BC- CE=3,-AE= ZABBE2= .62 32 =3 .

12、5 ,由 (2)可知 AACa BCD,.-BD=, .BA12Y5 .故答案为 12Y5.3.5 10 5 5(4) m=6, n=4&, ，CE=3, CD=2点，AB= kABC2=2,如图 5 中，当 a =90时，半圆与 AC 相切.在 RtaDBC 中，BD=,bc2 cd2= J(4后(R2)2 =2 后. 如图6中，当a =90Z+ACB时，半圆与 BC相切，作 EMXABTM. . ZM=ZCBM=Z BCE=90, .四边形 BCEM是矩形，. . BM EC 3, ME 4&，DB2.2 2 1141-AM =5, AE= Jam 2ME2 =757 ,由(2)可知 =

13、, - BD= -AE 3 3故答案为2 M或214.34.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接 PA, PB, PC.将 PAB绕点B顺时针旋转 90到PCB的位置.(1)设AB的长为a, PB的长为b(ba),求 PAB旋转到 PCB的过程中边 PA所扫过区域(图 中阴影部分)的面积；(2)若 PA=2, PB=4, /APB=135,求 PC 的长.【答案】（1） S阴影=4（a2-b2”（2）PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将/P CB时针旋转90。可与4PAB重合，此时阴影部分面积 二扇 形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是 90。

14、，可据此求出阴影部分的面积.（2）连接PP；根据旋转的性质可知： BP=BP；旋转角ZPBP=90,则4PBP是等腰直角三 角形，/BPC=/ BPA=135, /PPC=/ BPC-Z BPP=135-45 =90,可推出PPC是直角三角 形，进而可根据勾股定理求出 PC的长.试题解析：（1）二,将4PAB绕点B顺时针旋转90到AP CB位置，.PABAPCB, Sapae=Sxpcb, HS阴影=s扇形bac-S扇形bpp =斗（a2-b2）;（2）连接PP,根据旋转的性质可知： APBCP p.BP=BP ,=P C=PA=2 PBP =90 PBP是等腰直角三角形， PP2=PB2+PB2=32；又 / BP C= BPA=135,./PP CBP-aBP P=1355= 90 ；即 APP是直角三角形.PC= =6.考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质.5.如图 1.在 4ABC 中，/ACB= 90,点 P 为 4ABC 内一点.（1）连接PR PC,将4BCP沿射线CA方向平移，得到 DAE,点B、C P的对应点分别 为点D、A、E,连接CE.1依题意，请在图2中补全图形；2如果 BPCE, AB+BP= 9,