中考数学初中数学旋转的综合压轴题专题复习及答案.docx
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中考数学初中数学旋转的综合压轴题专题复习及答案
中考数学一初中数学旋转的综合压轴题专题复习及答案
一、旋转
1.如图所示,
（1）正方形ABCD及等腰Rt^AEF有公共顶点A,/EAF=90；连接BE、DF.将R「AEF绕点
A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？
结合图
（1）给予证明；
（2）将
（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD,等腰Rt^AEF变为RtAAEF7,且AD=kAB,AF=kAE,其他条彳不变.
（1）中的结论是否发生变化？
结合图
（2）说明理由；
（3）将
（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD,将RtAAEF变为△AEF,且
/BAD=/EAF=q其他条彳不变.
（2）中的结论是否发生变化？
结合图（3）,如果不变，直接
写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角3.
【答案】
（1）DF=BE且DFLBE,证明见解析；
（2）数量关系改变，位置关系不变，即
DF=kBE,3=18。
”
DF=kBE,DF±BE；（3）不改变.
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF=AE,又/BAE与/DAF都与/BAF互
余，所以/BAE=/DAF,所以△FAg4EAB,因此BE与DF相等，延长DF交BE于G,根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出/EGF=90°,所以DF±BE;
（2）等同
（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，
所以△FA24EAB,所以DF=kBE,同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出/EHF=90°,所以DF,BE;
（3）与
（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于
360°求出/£人5+/EHF=180°,所以DF与BE的夹角3=180-
【详解】
（1）DF与BE互相垂直且相等.
证明：
延长DF分别交ARBE于点P、G
在正方形ABCD和等腰直角4AEF中
AD=AB,AF=AE,/BAD=/EAF=90
•••ZFAAZEAB••.△FAC^AEAB•ZAFD=ZAEB,DF=BE
ZAFD+ZAFG=180,
ZAEG+ZAFG=180,
ZEA曰90；
ZEGR=180-90=90,
•••DFXBE
DF=kBE,DF±BE
（2）数量关系改变，位置关系不变.延长DF交EB于点H,
ADAF
ABAE
•••/BAD=/EAF=a
/FAD=/EAB
••.△FAD^AEAB
DFAF,kBEAE
.•.DF=kBE
由△FAD^△EAB得/AFD=/AEB
•••/AFD+/AFH=180°
•••/AEB+/AFH=180°
••・四边形AEHF的内角和为360:
•••/EAF+ZEHF=180°
•••/EAF=a,/EHF=3
•,•a+片180:
3=180-a
【点睛】
本题
（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；
（2）（3）利
用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在.
2.在平面直角坐标系中，已知点A（0,4）,B（4,4）,点M,N是射线OC上两动点（OMV
ON）,且运动过程中始终保持/MAN=45。
，小明用几何画板探究其中的线段关系.
（1）探究发现：
当点M,N均在线段OB上时（如图1）,有OM2+BN2=MN2.
他的证明思路如下：
第一步：
将4ANB绕点A顺时针旋转90°得aAPO,连结PM,则有BN=OP.
第二步：
证明△APM^^ANM,得MP=MM.
第一步：
证明/POM=90°,得OM'O卡nMP2.
最后得到OM2+BN2=MN2.
请你完成第二步三角形全等的证明.
图1图2图3
（2）继续探究：
除
（1）外的其他情况，OM，BN2=MN2的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）新题编制：
若点B是MN的中点，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.
【答案】
（1）见解析；
（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）将4ANB绕点A顺时针旋转90°得AAPO,连结PM,则有BN=OP.证明△APM^AANM,再利用勾股定理即可解决问题;
（2）如图2中，当点M,N在OB的延长线上时结论仍然成立.证明方法类似
（1）;
（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长.利用
（2）中结论，构建方程即可解决问题.
【详解】
A顺时针旋转90°得△APO,连结PM,则有BN=OP.
3••/NAP=/OAB=90°,/MAN=45°,/MAN=/MAP,
4.MA=MA,AN=AP,
5•.△MAN^AMAP（SAS）.
（2）如图2中，结论仍然成立.
理由：
如图2中，将4ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO,连结PM,则有BN=OP.
6••/NAP=/OAB=90°,/MAN=45°,/MAN=/MAP,
7.MA=MA,AN=AP,
.•.△MAN^AMAP（SAS）,
.•.MN=PM,
8••/ABN=ZAOP=135；/AOB=45；/MOP=90°,
.•.PM2=OM2+OP2,
9•.OM2+BN2=MN2；
（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长.
设MN=2x,贝UBM=BN=x,-，OA=AB=4,/OAB=90；.•.OB=4.2，
OM=472-x,
•1OM2+BN2=MN2.
..（4应-x）2+x2=（2x）2,
解得x=-2、、2+2\6或-2,2-2、,力（舍弃）
MN=-472+4^/6.
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.
AC=2CE=m,BC=
D随半圆O旋转且
3.平面上，Rt^ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，/B=90°,n,半圆O交BC边于点D,将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点/ECD始终等于/ACB,旋转角记为a（0°WaW）180°
AE
（3）若m=10,n=8,当”=/ACB时，求线段BD的长；
（4）若m=6,n=4J2，当半圆。
旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长.
【答案】
（1）90。
，n;
（2）无变化；（3）12〉;（4）BD=2j75或254.
25,3
【解析】
CDCE
试题分析：
（1）①根据直径的性质，由DE//AB得————即可解决问题.②求出
CBCA
BD、AE即可解决问题.
（2）只要证明△ACa4BCD即可.
（3）求出AB>AE,利用△AC&^BCD即可解决问题.
（4）分类讨论：
①如图5中，当a=90时，半圆与AC相切，②如图6中，当a=90°4ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可.
试题解析：
（1）解：
①如图1中，当"O寸，连接DE,则
/CDE=90：
•••ZCDE=ZB=90；..DE//AB,•--CE-CD=1.「BC=n,，CD=1n.故答
ACCB22
一。
1
案为90。
，-n.
2
②如图2中，当a=18叫，BD=BC+CD=-3n,AE=AC+CE=-3m,.故答案为
CDBCn
/ACE=ZBCD.•••—————
CEACm'
（3）如图4中，当“=/ACB时.在R「ABC中，,「ACMO,BC=8,
•
BDBC
AEAC
.AB=JAC2_BC2=6.在Rt^ABE中,/AB=6,BE=BC-CE=3,
•-AE=ZAB^―BE2=.6232=3.5,由
（2）可知AACa△BCD,
..-BD=—,••.BA12Y5.故答案为12Y5.
3.51055
（4）m=6,n=4&,，CE=3,CD=2点，AB=kABC2=2,①如图5中，当a=90
时，半圆与AC相切.在RtaDBC中，BD=,bc2cd2=J（4后（R2）2=2后.
②如图6中，当a=90°Z+ACB时，半圆与BC相切，作EMXABT
M..•ZM=ZCBM=ZBCE=90°,•.四边形BCEM是矩形，..BMEC3,ME4&，
DB2.22114
1-AM=5,AE=Jam2ME2=757,由
（2）可知—=,-BD=-
AE33
故答案为2M或2^14.
3
4.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.
（1）设AB的长为a,PB的长为b（b（2）若PA=2,PB=4,/APB=135°,求PC的长.
【答案】
（1）S阴影=4（a2-b2”
（2）PC=6.
【解析】
试题分析：
（1）依题意，将/\P'CB时针旋转90。
可与4PAB重合，此时阴影部分面积二扇形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。
，可据
此求出阴影部分的面积.
（2）连接PP；根据旋转的性质可知：
BP=BP；旋转角ZPBP'=90°,则4PBP是等腰直角三角形，/BP'C=/BPA=135,/PP'C=/BP'C-ZBP'P=135°-45=90°,可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长.
试题解析：
（1）二,将4PAB绕点B顺时针旋转90°到AP'CB位置，
••.△PAB^AP'CB,Sapae=Sxp'cb,H
S阴影=s扇形bac-S扇形bpp=斗（a2-b2）;
（2）连接PP,根据旋转的性质可知：
△APB^^CPp
.•.BP=BP',=P'C=PA=2PBP'=90°
△PBP是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；
又「/BPC=BPA=135,
・•./PP'CBP'-aBP'P=1355°=^90；即APP'是直角三角形.
PC=\=6.
考点：
1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质.
5.如图1.在4ABC中，/ACB=90°,点P为4ABC内一点.
（1）连接PRPC,将4BCP沿射线CA方向平移，得到^DAE,点B、CP的对应点分别为点D、A、E,连接CE.
1依题意，请在图2中补全图形；
2如果BP±CE,AB+BP=9,
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