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高中数学 推理与证明 板块一 合情推理与演绎推理完整讲义学生版.docx

1、高中数学 推理与证明 板块一 合情推理与演绎推理完整讲义学生版2019-2020年高中数学 推理与证明 板块一 合情推理与演绎推理完整讲义(学生版)典例分析题型一:合情推理【例1】迄今为止,人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41,43,47,53,61,71,83,97的一个通项公式,并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数。小王欣喜万分,但小王按得出的通项公式,再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 ( ) A1643 B1679 C1681 D1697【例2】下面给出了关于复数的四种类比推理:复数的加减法运算可以类比

2、多项式的加减法运算法则;由向量A的性质|A|2=A2类比得到复数z的性质|z|2=z2;方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到:方程有两个不同复数根的条件是;由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 【例3】定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( ) (1) (2) (3) (4) (A) (B)A. B. C. D.【例4】在平面几何里,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,“设三棱锥AB

3、CD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则可得” ( )(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B) (C) (D)AB2AC2AD2=BC2 CD2 BD2【例5】已知,猜想的表达式为 ( )A. B. C. D.【例6】观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,中x,y,z的值依次是 ( )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.【例7】观察下列数的特点1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, 中,第100项是( )(A) 10 (B) 13 (C) 14 (

4、D) 100【例8】设,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得的值为 ( )A、 B、2 C、3 D、4【例9】平面上有n个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成块区域,有,则的表达式为 ( )A、 B、 C、 D、【例10】在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25项为 ( )A25 B6 C7 D8 【例11】如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 ( ) A. B. C. D. 【例12】观察式子:,则可归纳出式子为( )A、 B、C、 D、【

5、例13】公比为的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列,且公比为;类比上述结论,相应地在公差为的等差数列中,若是的前项和,则数列 也成等差数列,且公差为 。 【例14】考察下列一组不等式:.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是_.【例15】如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来,如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为,则 ; .【例16】古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角数,它有一定的规律性,第30个三角数与第28个三角数的差为 。【例

6、17】数列是正项等差数列,若,则数列也为等差数列. 类比上述结论,写出正项等比数列,若= ,则数列也为等比数列.【例18】在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用表示)【例19】在平面上,我们如果用一条直线去截正

7、方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .【例20】对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。【例21】依次有下列等式:,按此规律下去,第8个等式为 。【例22】在等差数列中,若,则有等式成立,类比上述性质,相应地:在等比数列中,若,则有等式 成立.【例23】将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表从上往

8、下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,第次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 【例24】在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。【例25】已知:;通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: _= ( * )并给出( * )式的证明。【例26】观察以下各等式:,分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,

9、并对等式的正确性作出证明。【例27】在ABC中,若C=90,AC=b,BC=A,则ABC的外接圆的半径,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。【例28】请你把不等式“若是正实数,则有”推广到一般情形,并证明你的结论。【例29】二十世纪六十年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象:一个自然数,如果它是偶数就用2除它,如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,必然会得到什么结果,试考查几个数并给出猜想。【例30】圆的垂径定理有一个推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,这一性质能推广到椭圆吗?设AB是椭圆的任一弦,M是AB的中点,设OM与AB的斜率都存在,并设为KOM、KAB,则K

10、OM与KAB之间有何关系?并证明你的结论。【例31】已知椭圆C:具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为KPM、KPN时,那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。【例32】观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题:()求第六行的第一个数()求第20行的第一个数()求第20行的所有数的和【例33】(xx年上海春招高考题)在DEF中有余弦定理:. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式,并予以证明.【例34】已知数列

11、,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().(1)若,求;(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?【例35】已知椭圆具有性质:若是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明【例36】已知数列(为正整数)的首项为,公比为的等比数列 求和:; 由的结果,概括出关于正整数的一个结论,并

12、加以证明题型二:演绎推理【例37】由正方形的对角线相等;平行四边形的对角线相等;正方形是平行四边形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是 ( )(A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等(C) 正方形是平行四边形 (D)其它【例38】下列表述正确的是( )。归纳推理是由部分到整体的推理;归纳推理是由一般到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理;类比推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理。(A); (B); (C); (D)。【例39】有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为( )。A.大前提错

13、误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例40】(4) 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线平面,则直线直线”的结论显然是错误的,这是因为 ( )。A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例41】小王、小刘、小张参加了今年的高考,考完后在一起议论。小王说:“我肯定考上重点大学。”小刘说:“重点大学我是考不上了。”小张说:“要是不论重点不重点,我考上肯定没问题。”发榜结果表明,三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个,并且他们三个人的预言只有一个人是对的,另外两个人的预言都同事实恰好相反。

14、可见:( )(A)小王没考上,小刘考上一般大学,小张考上重点大学(B)小王考上一般大学,小刘没考上,小张考上重点大学(C)小王没考上,小刘考上重点大学,小张考上一般大学(D)小王考上一般大学,小刘考上重点大学,小张没考上【例42】已知直线l、m,平面、,且l,m ,给出下列四个命题:(1)若,则lm; (2)若lm,则;(3)若,则lm; (4)若lm,则;其中正确命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【例43】给出下列三个命题:若;若正整数满足,则;设上任意一点,圆以为圆心且半径为1。当时,圆相切。其中假命题的个数是( )(A) 0 (B ) 1 (C)2 (D)3【例44

15、】给定集合A、B,定义,若A=4,5,6,B=1,2,3,则集合中的所有元素之和为 ( )A.15 B.14 C.27 D.-14【例45】有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线平面,则直线直线”的结论显然是错误的,这是因为 ( )A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【例46】为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为( )A B C D【例47】下面几种推理过程是演绎推理的是 (

16、)A、两条直线平行,同旁内角互补,如果A和B是两条平行直线的同旁内角,则A+B=180B、由平面三角形的性质,推测空间四面体性质C、某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人D、在数列中,由此推出的通项公式【例48】设函数,利用课本中推导等差数列前项和公式的方法,可求得的值为 .【例49】函数yf(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .【例50】在中学数学中,从特殊到一般,从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质;从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数

17、(写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。【例51】“AC,BD是菱形ABCD的对角线,AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。【例52】由正方形的对角线相等;平行四边形的对角线相等;正方形是平行四边形,根据 “三段论”推理出一个结论,则这个结论是 。【例53】已知数列的第1项,且,试归纳出这个数列的通项公式【例54】(1)在演绎推理中,只要 是正确的,结论必定是正确的。(2)用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是 。【例55】如图,S为ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC。求证:ABBC。【例56】已知:空间四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,

18、判断直线EF与平面ABD的关系,并证明你的结论.直线BD和平面ABD的位置关系是平行【例57】设二次函数f(x)=Ax2+bx+c (A,b,cR,A0)满足条件:当xR时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)x;当x(0,2)时,f(x)f(x)在R上的最小值为0。求最大值m(m1),使得存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)x.【例58】规定:,其中,是正整数,且,这是组合数是正整数,且的一种推广求的值;组合数的两个性质()是否都能推广到(是正整数)的情形?说明理由;已知组合数是正整数,证明:当,是正整数时,【例59】指出下面推理中的大前提和小前提。(1)5与2可以比较大小; (2)直线。【例60】已知函数,对任意的两个不相等的实数,都有成立,且,求的值。【例61】已知、是锐角,且满足。(1)求证:;(2)求证:,并求等号成立时的值。

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