高中数学 推理与证明 板块一 合情推理与演绎推理完整讲义学生版.docx

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高中数学推理与证明板块一合情推理与演绎推理完整讲义学生版

2019-2020年高中数学推理与证明板块一合情推理与演绎推理完整讲义（学生版）

典例分析

题型一：

合情推理

【例1】迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。

他写出不是质数的一个数是（）

A．1643B．1679C．1681D．1697

【例2】下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由向量A的性质|A|2=A2类比得到复数z的性质|z|2=z2；

③方程

有两个不同实数根的条件是可以类比得到：

方程

有两个不同复数根的条件是；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比错误的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

【例3】定义

的运算分别对应下图中的

（1）、

（2）、（3）、（4），那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（）

（1）

（2）（3）（4）（A）（B）

A.B.C.D.

【例4】在平面几何里，有勾股定理：

“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）

（A）AB2+AC2+AD2=BC2+CD2+BD2（B）

（C）

（D）AB2×AC2×AD2=BC2×CD2×BD2

【例5】已知

，猜想的表达式为（）

A.B.C.D.

【例6】观察下列数:

1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是（）

（A）42,41,123;（B）13,39,123;（C）24,23,123;（D）28,27,123.

【例7】观察下列数的特点

1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项是（）

（A）10（B）13（C）14（D）100

【例8】设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

的值为（）

A、B、2C、3D、4

【例9】平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为（）

A、B、C、D、

【例10】在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（）

A．25B．6C．7D．8

【例11】如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于（）

A.B.C.D.

【例12】观察式子：

，…，则可归纳出式子为（）

A、B、

C、D、

【例13】公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列也成等差数列,且公差为。

【例14】考察下列一组不等式：

.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.

【例15】如下图，第

（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第

（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则；＝.

【例16】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为。

【例17】数列是正项等差数列，若

，则数列也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比数列，若=，则数列{}也为等比数列.

【例18】在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为________________颗.（结果用表示）

【例19】在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：

设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是.

【例20】对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:

。

【例21】依次有下列等式：

，按此规律下去，第8个等式为。

【例22】在等差数列中，若，则有等式

成立，类比上述性质，相应地：

在等比数列中，若，则有等式成立.

【例23】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．

第1行　　　　　11

第2行101

第3行1111

第4行10001

第5行110011

……………………………………………

【例24】在平面几何里，可以得出正确结论：

“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。

拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的。

【例25】已知：

；

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

________________=（*）并给出（*）式的证明。

【例26】观察以下各等式：

，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

【例27】在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=A，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

【例28】请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。

【例29】二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：

一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。

【例30】圆的垂径定理有一个推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？

设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？

并证明你的结论。

【例31】已知椭圆C：

具有性质：

若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。

试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

【例32】观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：

（Ⅰ）求第六行的第一个数．

（Ⅱ）求第20行的第一个数．

（Ⅲ）求第20行的所有数的和．

【例33】（xx年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：

.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

【例34】已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.

（1）若，求；

（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；

（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同

（2）类似的问题（

（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

【例35】已知椭圆具有性质：

若是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明

【例36】已知数列（为正整数）的首项为，公比为的等比数列．

⑴求和：

；．

⑵由①的结果，概括出关于正整数的一个结论，并加以证明．

题型二：

演绎推理

【例37】由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）

（A）正方形的对角线相等（B）平行四边形的对角线相等

（C）正方形是平行四边形（D）其它

【例38】下列表述正确的是（）。

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

（A）①②③；（B）②③④；（C）②④⑤；（D）①③⑤。

【例39】有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）。

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

【例40】（4）有一段演绎推理是这样的：

“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）。

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

【例41】小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。

小王说：

“我肯定考上重点大学。

”

小刘说：

“重点大学我是考不上了。

”

小张说：

“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。

”

发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。

可见：

（）

（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学

（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学

（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学

（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上

【例42】已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：

（1）若α∥β，则l⊥m；

（2）若l⊥m，则α∥β；

（3）若α⊥β，则l∥m；（4）若l∥m，则α⊥β；

其中正确命题的个数是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

【例43】给出下列三个命题：

①若

；②若正整数满足，则；③设

上任意一点，圆以为圆心且半径为1。

当时，圆相切。

其中假命题的个数是（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

【例44】给定集合A、B，定义

，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合中的所有元素之和为（）

A.15B.14C.27D.-14

【例45】有一段演绎推理是这样的：

“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

【例46】为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密）,接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为:

明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（）

A．B．C．D．

【例47】下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°

B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D、在数列中，

，由此推出的通项公式

【例48】设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得

的值为.

【例49】函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则f

（1）,f（2.5）,f（3.5）的大小关系是.

【例50】在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。

如从指数函数中可抽象出

的性质；从对数函数中可抽象出

的性质。

那么从函数（写出一个具体函数即可）可抽象出

的性质。

【例51】“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。

”补充以上推理的大前提是。

【例52】由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是。

【例53】已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式．

【例54】

（1）在演绎推理中，只要是正确的，结论必定是正确的。

（2）用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是。

【例55】如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。

求证：

AB⊥BC。

【例56】已知：

空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.

直线BD和平面ABD的位置关系是平行

【例57】设二次函数f（x）=Ax2+bx+c（A,b,c∈R,A≠0）满足条件：

①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x；②当x∈（0,2）时，f（x）≤

③f（x）在R上的最小值为0。

求最大值m（m>1），使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f（x+t）≤x.

【例58】规定：

，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广．

①求的值；

②组合数的两个性质（）是否都能推广到（是正整数）的情形？

说明理由；

③已知组合数是正整数，证明：

当，是正整数时，．

【例59】指出下面推理中的大前提和小前提。

（1）5与2可以比较大小；

（2）直线。

【例60】已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求

的值。

【例61】已知α、β是锐角，，且满足。

（1）求证：

；

（2）求证：

，并求等号成立时的值。