向量组线性相关与线性无关.docx

1、向量组线性相关与线性无关向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要向董组的线性相关性与线性无关性是线性代数中说为抽象的槪念之一，如何判别向量组 的线性相关与线性无关是正确理解向董的关镀.本丈介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组 的解之问的关系总结了向董组线性相关和线性无关的判定方法.关键词向量组线性相关线性无关矩阵秩1引言在髙等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它 与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系， 然而向虽:的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性 相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相

2、关的判别，那么线性无关的判别也就迎 刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用左义法判断，利用齐次线性方程组的 解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩 阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2向量组线性相关和线性无关的定义定义 设向量组口,冬，,”都为维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数爲，他匕，使kg + k2a2 + k3a3 + kmam = 0则称向量组是线性相关,反之,若数域P中没有不全为零的数何虫灯,使5 + k2a2 + kg + + kmam = 0,称它是线性无关.3向组线性相关和线性无关的判定方法3.1

3、 一个向量与两个向量线性相关的判定方法由左义可以看岀，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出 这个向量是线性相关的.命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.命题2 两个维向量67 =（5，他，”），0 = （b血b）线性相关的充要条件是 q与bj （/ = 1,2- “）对应成比例.证明 假设Q = 0 =（久仇仇）线性相关，则存在不全为0的数使得k、a + k/ = O,即也20,不妨设工0,令k = -H 则（再,勺,色）=（灿，鸥炖）因此务=kbt（i = 1,2幵）也就是说与bi = 1,2-町成比

4、例.反过来，若=（/ = l,2- n）, a-kp = O,所以线性相关.3. 2多个向量的线性相关与线性无关判别方法命题3若向量组弘冬,，线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.证明设弘冬，线性相关，久”心”川心”杠是包含eS，,比的一组向量,由于兔如,线性相关,则存在一组不全为零的数km使得kta + k2a2 + k3a3 + + kmam = 0 此时有也 + T + kg + + kmam + Oam+l + + 0% = 0,因此，&,72，-0”，匕”+1，一，乞卄.、.线性相关.证毕.由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比 例的两向

5、量，那么这个向量组必定线性相关.命题4含有零向量或成比例的两向戢的向疑组必线性相关.3. 2.1运用定义判定由左义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向疑组 的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性 相关.例 1 设 px=a+a2,p2=a1 + a-, Pm_ = am_x + am ,证明,当加为偶数时, 久角屁，亿线性相关.证明 令也+心+也,即人（4+6）+他（他+6）+ 忍（4”+5）= 0又即& + 5 + 依2 + “2 + + （匕 + 7 K = 0= =匕“ =1*2 =/= =一1则有匕卩 +上202 +心

6、03 + k点i = 0由线性相关的定义知,A , “2，0,“线性相关3.2.2用向组的秩和矩阵的秩判断向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同.若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例 2 设向量组 a, =（2,-l,3,l）,a2 =（4-2,5,4）,a3 =（2-1,4-1）.判断 久色心 的线性相关性.解kg +k2a2 + kyay =（2/ +4心 +2k5-k -2k2 -k、3k、+5k2 +4心& +4心一人）=（0,0,0

7、,0） 得人=心=匕=0,于是avalya3线性无关.例3设向量组a,a2,线性无关，且可由向量组0、仇、久线性表示证明：禹,02,，以也线性无关，且与弘色，,乙等价证明如果002,，盘线性相关，假设久02,，0r是它的一个极大无关组，如果r = m,就说明了 002,，0,”就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的，出现矛盾！ 下而考虑rm .又因为向量组a】s，,可由%，以线性表示，贝iJ 也可由0,02,，0山线性表示,于是有加5尸，矛盾！由于01，02，0,“线性无关，则/?（0i，02,，0川）=加，又4，色，,a”?可由A，02,，0,n线性表示,所以，仏，02,0,“三&S，,e

8、”，A，02心等价，所以R&i 2 、卩、02、0） = m .于是0,?2,和卩、卩I、 卩m都是匕02、0、卩J、卩的极大无关组.所以 它们是等价的，证毕.命题6设冬心“,a加为”维列向量，矩阵A = （aS，4加）（i） 当/?（A）m时，向量组冬,av .273011T011044044011000.5-1-11_5_ 1_ 11_011 .000 .由行阶梯形矩阵知斤（力）=2 .an线性相关.（ii）当同工0时，向量组冬，冬,.a”线性无关.例5设勺=（1，1，1），冬=（1, 2, 3）T , a3 = （1,3,川问乃取何值时，向量组aalya3线性相关.解 向量组弘如巾的个数

9、和维数相等都为乳|A=| 1 2 3 =t-51 3 t可见当t = 5时，同=0,所以向量组线性相关.3.2.4利用齐次线性方程组的解判断对于匕=(%知,务$皿2 =(如，如，陽2)，%=(%，%，%的线性 相关判断命题8若a,a2,为系数向量的齐次线性方程组xq +x2a2 + + xmam =0 有非零解，则向量组线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组 es，,”线性无关.例 6 已知 a】=(1,1,1), a2 = (1, 2, 3), 3 = (1, 3, t)(i)当r为何值时，向量组aPa2,a3线性无关？(込)当为何值时，向量组ess线性相关？(iii)当向量组，冬心

10、线性相关，将冬表示为冬和冬的线性组合.解 设有实数x,x2,x3使xq +x2a2 +心 = 0则可以得到方程组Ax+x2+x3 =0 %)+ 2x2 + 3x3 = 0X)+2x2 +tx3 =01 1 1其系数行列式D=1 2 31 3 t(i)当t5时，DhO,方程组只有零解，即x1=x2=x3=0 ,这时，向虽:组 al9a2,a3线性无关.Gi)当r = 5时D = 0方程组有非零解，即存在不全为零的数，心吃，勺使，+ x2a2 + x3a3 = 0此时ava2,a3线性相关,1 1 110-1Gii）当t = 5时，由1 2 30 1 2此时有1 3 50 0 0X| _ X3 =

11、 0 2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余 幵1个向量的线性组合.例 8 判断向量组a产(0, 3,1,-1), a2= (6, 0,5,1), a3 = (4, -7,1, 3)是否线性 相关？解 将, a?，以行排成矩阵o31- 1274- 2A =6051T031一 14一 7130000矩阵A化为阶梯形矩阵后出现零行，则a,a2,a3中必有一向量能被苴余剩下的向量 线表示，故由左理1知，向量组冬42，色线性相关.我们注意到，例9中的矩阵A在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵， 一旦岀现零行，就可以断泄內，&2,中必有一个向疑能被其余剩下的”-1个向量线性 表示，从

12、而向量组线性相关.定理2 个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍 线性无关.例 9 判断向量组：= (1,2,4,0,1)丁， a2=(0,1, &1,2， a、=(0, 2, 3, 0, 5)丁的线性相关性.解取 = (1,0, 0，02 =(0，1，1)： 03=(，2,0，因为由久02，03 为列向量 的行列式不为零，所以向量组伤,02，03线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所得向量组是线性无关的.定理3任意 + 1个维向量必线性相关.定理4如果向量组qss，可由向量组A，民,0.、线性表示，若m s,则 aa1.a3-am线性相关.证明 设召+X2a2

13、+ + XHan = 0，由已知可知冬=k点+精02 +也=E k朋=1 -加)7-1带入上式可得s m s / m=为乞kjPj =工乞kj“ 1 r=l J=1 V i=l要证明%吆码宀线性相关，只需证明存在不全为零的数册宀，心使得詁+嗨+詁=0成立,即只要存在不全为零的数册宀，心使得m；=i =i ) j=i ；=i =i j=i中的每一个0,前的系数均为零即可.要使每个角前面的系数为零，则可得到，&內+g+/”凡=0s即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解，所以4 =|若同工0则兀卩0线性无关.证明设S+32+g=0, 将 Q =工呦勺=40 + ai2a2 + - -

14、+ airar(i = 1,2 r)代入上式，得7-1(5 禹 + a2lk2 + + arlkr zl + (a2k + a22k2 + + ar2kr 血 + +(4 人 + a2rk2 + + arrkr )ar =0由aa2,a-ar线性无关，得a崗 +a2k2+- + arkr = 0 al2k + 2丞2 + + 勺 2人=00虫+勺人+匕=则0、0“0线性无关，所以系数全为零，即方程组只有零解,5 21a2 a22lr 2r得证!例 10 设 0 =Of,02 =Q+a2，0=Q+6?2 + + 且向呈组 口，2,03,线 性无关，求向量组p、g卩的线性相关性.=1工0解因为久0

15、2,屛由即勺心3,色线性表示，由定理5可得,H=00 1因为es，4，q线性无关，且|A|HO所以久0“,0,.线性无关.结束语本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判左方法，总介绍左义入手，介绍了它 与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了 解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结 了一些方法，例如：利用左义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判 断，利用行列式的值判断等.参考文献姚慕生.吴泉水.高等代数学M 第2版.上海.复旦大学出版社.2008. 刘仲奎.杨永保，程辉.等.高等代数M,北京.高等教育

16、出版社.2003.3 钱吉林，高等代数题解精粹M 北京.中央民族大学出版社，2002.4 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，烏等代数凶，北京.商等教育出版社.2003.5 董明秀.判断向量组线性相关与线性无关J,考试周刊，12;7 (2013) 61-63.6黄娟震.关于向量组线性相关性的初步探讨J,广东石油化匸学报，18; 11 (2012), 40-44.7段辉明，李永红线性相关性若干问题的分析和探尤J,科技创新导报,15;9(2013), 20-23.Identification Method of Linear Dependence and Linear Independenc

17、eAbstract Tlie vector groups Lmear dependence and linear independence are most abstract concepts in linear algebra How to determine Linear dependence and linear independence is the key factor to understand vector correctly. This paper introduces the relationship between determinant, matrix, the solution of linear equations and it, also concludes the methods to detennine the vectors linear dependence and linear independent.Keywords Vector group Linear dependence Linear independence Matrix Rank