向量组线性相关与线性无关.docx

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向量组线性相关与线性无关

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要向董组的线性相关性与线性无关性是线性代数中说为抽象的槪念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向董的关镀.本丈介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之问的关系•总结了向董组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词向量组线性相关线性无关矩阵秩

1引言

在髙等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向虽:

的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：

利用左义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2向量组线性相关和线性无关的定义

定义设向量组口,冬，…,％”都为"维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

爲，他…匕，使kg+k2a2+k3a3+…+kmam=0则称向量组是线性相关,反之,若数域

P中没有不全为零的数何虫…灯,使

5+k2a2+kg+…+kmam=0,

称它是线性无关.

3向■组线性相关和线性无关的判定方法

3.1一个向量与两个向量线性相关的判定方法

由左义可以看岀，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.

命题1一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.

关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.

命题2两个"维向量67=（5，他，…，"”），0=（b血…b）线性相关的充要条件是q•与bj（/=1,2••-“）对应成比例.

证明假设Q=0=（久仇…仇）线性相关，则存在不全为0的数

使得k、a+k/=O,即也―20,不妨设«工0,令k=-H则

（再,勺,…色）=（灿，鸥…炖）

因此务=kbt（i=1,2…幵）也就是说⑷与b\i=1,2■•-町成比例.

■

反过来，若^=^（/=l,2--n）,a-kp=O,所以线性相关.

3.2多个向量的线性相关与线性无关判别方法

命题3若向量组弘冬,…，％线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.

证明设弘冬，％线性相关，^，^，…，久”心”川…心”杠是包含eS，…,比

的一组向量,由于兔如…,％线性相关,则存在一组不全为零的数…km使得

kta}+k2a2+k3a3+…+kmam=0此时有

也+T+kg+…+kmam+Oam+l+…+0%=0,

因此，&],<72，-「0”，匕”+1，一，乞卄.、.线性相关.证毕.

由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.

命题4含有零向量或成比例的两向戢的向疑组必线性相关.

3.2.1运用定义判定

由左义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向疑组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.

例1设px=a}+a2,p2=a1+a^--,Pm_}=am_x+am,证明,当加为偶数时,久角屁，…亿线性相关.

证明令也+⑺+心+…也",即

人（4+6）+他（他+6）+…+忍（4”+5）=0

又即

&+5+依2+«“2+…+（匕+7K=0

«=«=・••=匕“=1*2=/=・・・=〈=一1

则有

匕卩\+上202+心03+…+k点i=0

■

由线性相关的定义知,A,“2，…，0,“线性相关・

3.2.2用向•组的秩和矩阵的秩判断

向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.

命题5一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同.

若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个

数，则该向量组是线性相关的.

例2设向量组a,=（2,-l,3,l）,a2=（4-2,5,4）,a3=（2-1,4-1）.判断久色心的

线性相关性.

解

kg+k2a2+kyay=（2/+4心+2k5-k｝-2k2-k、3k、+5k2+4心&+4心一人）=（0,0,0,0）得人=心=匕=0,于是avalya3线性无关.

例3设向量组a,,a2,•••,«,„线性无关，且可由向量组0、仇…、久线性表示•证

明：

禹,02,…，以也线性无关，且与弘色，…,乙等价•

证明如果0「02,…，盘线性相关，假设久02,…，0r是它的一个极大无关组，如果

r=m,就说明了0「02,…，0,”就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的，出现矛盾！

下而考虑r

由于01，02，—，0,“线性无关，则/?

（0i，02,…，0川）=加，又4，色，…,a”?

可由

A，02,…，0,n线性表示,所以，

仏，02,…‘0,“｝三&S，…,e”，A，02'…心｝等价，所以

R&i»^2»»、卩\、02、…、0"）=m.

于是0,

2,％和卩\、卩I、…'卩m都是匕\02、…、％、0\、卩J…、卩〉的极大无关组.所以

它们是等价的，证毕.

命题6设冬心“…,a加为”维列向量，矩阵A=（a]S，…4加）・

（i）当/?

（A）

（ii）当R（A）=m时,向量组勾a?

...%线性无关.

例4判断向量组勺=（2,1,0,5）',冬=（7,-5,4,-if,冬=（3,—7,4,-Ilf线性相关性.

解利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯形矩阵

'2

7

3'

'1

_5

_7'

'1

_5

_1

'1

_5

-T

1

-5

-7

—>

2

7

3

0

1

1

T

0

1

1

0

4

4

0

4

4

0

1

1

0

0

0

.5

-1

-11_

5

_1

_11_

_0

1

1.

.0

0

0.

由行阶梯形矩阵知斤（力）=2<3,所以向量组冬,冬*3是线性相关的.

上而是以少,勺,勺为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用

为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.

3.2.3利用行列式的值判断

命题7若a】=（绚1，42,…=（°21，°22,…,么2〃），…，=（4小4「2,…，4川），以

a^aly-.an作为列向疑构成的矩阵A=（a^a2,-\an）是一个方阵，

G）当同=0时，向量组ava2>...an线性相关.

（ii）当同工0时，向量组冬，冬,...a”线性无关.

例5设勺=（1，1，1），冬=（1,2,3）T,a3=（1,3,川问乃取何值时，向量组

a^alya3线性相关.

解向量组弘如‘巾的个数和维数相等都为乳

|A=|123=t-5

13t

可见当t=5时，同=0,所以向量组线性相关.

3.2.4利用齐次线性方程组的解判断

对于匕=（%知…,务$皿2=（如，如，…，陽2）'，%=（%，%，•••，%「的线性相关判断

命题8若a],a2,为系数向量的齐次线性方程组xq+x2a2+■■■+xmam=0有非零解，则向量组线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组es，…,①”线性无关.

例6已知a】=（1,1,1）,a2=（1,2,3）,«3=（1,3,t）

（i）当r为何值时，向量组aPa2,a3线性无关？

（込）当£为何值时，向量组ess线性相关？

（iii）当向量组^，冬心线性相关，将冬表示为冬和冬的线性组合.

解设有实数x,,x2,x3使xq+x2a2+心®=0则可以得到方程组

A

x^+x2+x3=0

<%）+2x2+3x3=0

X）+2x2+tx3=0

111

其系数行列式D=123

13t

（i）当t^5时，DhO,方程组只有零解，即x1=x2=x3=0,这时，向虽:

组al9a2,a3线性无关.

Gi）当r=5时D=0方程组有非零解，即存在不全为零的数，心吃，勺使，

+x2a2+x3a3=0

此时ava2,a3线性相关,

111

10-1

Gii）当t=5时，由

123

012

此时有

135

000

X|_X3=0

<

x2一2x3=0

令£=I,®=2,有勺一2冬+勺=0从而冬可由勺，冬，表示a、=-a.+2a,.

在运用楚义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用左义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用左义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判左时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法•区别是，适用的前提条件不同，疋义法适用于各分量均未具体给出的向量组：

秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给岀的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向捲组中向疑的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向呈:

组的线性相关性进行判左时，要根据题设条件适当选择判泄方法.

以上是从向量组的分量是否具体给岀两个大的方而介绍了向疑组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向疑组的分量是具体给岀的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，左理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的左义，左理等知识和技巧才有助于提髙分析解决问题的能力.

3.2.5用反证法

在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知泄义，左理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反而不成立，则结论成立.

例7设向量组中任一向量匕不是它前而,-1向疑的线性组合，且匕工0证明向量组厲42,…,％线性无关.

证明假设向量组④心?

，…，％线性相关，则存在不全为零的数匕=心=*3=••=—使得,

如+k2a2+k.a.+…+kluain=0,①

不妨设灯HO由上式可得,

即乙可以由它前面〃?

-1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此忍=0于是①式转化为

如+^2+如+…+=°，

类似于上而的证明可得&心=心_2=・・・=他=0

9

©式转化为心冬工0,但勺H0,所以匕H0这与=k2=■■-=km不全为零的假设相矛盾,所以向量组线性无关.

3.2.6运用相关结论判定

定理1向量q,色，…,％（«>2）线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余幵—1个向量的线性组合.

例8判断向量组a产（0,3,1,-1）,a2=（6,0,5,1）,a3=（4,-7,1,3）是否线性相关？

解将,a?

，以行排成矩阵

'o

3

1

-1

'2

7

4

-2

A=

6

0

5

1

T

0

3

1

一1

4

一7

1

3

0

0

0

0

矩阵A化为阶梯形矩阵后出现零行，则a,,a2,a3中必有一向量能被苴余剩下的向量线表示，故由左理1知，向量组冬42，色线性相关.

我们注意到，例9中的矩阵A在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦岀现零行，就可以断泄內，&2,中必有一个向疑能被其余剩下的”-1个向量线性表示，从而向量组线性相关.

定理2—个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.

例9判断向量组：

=（1,2,4,0,1）丁，a2=（0,1,&1,2「，a、=

（0,2,3,0,5）丁的线性相关性.

解取=（1,0,0「，02=（0，1，1）：

03=（°，2,0「，因为由久02，03为列向量的行列式不为零，所以向量组伤,02，03线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所

得向量组是线性无关的.

定理3任意〃+1个〃维向量必线性相关.

定理4如果向量组qss，可由向量组A，民,…,0.、线性表示，若m>s,则a^a1.a3^-am线性相关.

证明设召④+X2a2+^'+XHan=0，由已知可知

冬=k点+精02+…+也=Ek朋=1-加）

7-1

带入上式可得

sms/m

=为乞kj"Pj=工乞kj“>1r=lJ=1Vi=l

要证明%吆码宀％线性相关，只需证明存在不全为零的数册宀，…心使得

詁+嗨+…+詁=0成立,即只要存在不全为零的数册宀，…心使得

m

；=i>=i）j=i；=i>=i\j=i

中的每一个0,前的系数均为零即可.

要使每个角前面的系数为零，则可得到，

•&內+g+…+/”凡=0

<褊册+耳花+…+匕届严。

.M1+^2X2+•••+^n=°

因为m>s即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解，所以

4]<2卫3,…％r线性相关.

定理5如果向量组f…心.可以由ava^a^^ar线性表示为且ava^a^-aT

是线性无关的，设pt=a-ct^j=1,2,…,厂>=|

若同工0则兀卩"…0线性无关.

证明设S+32+…+g=0,将Q=工呦勺=40+ai2a2+•--+airar（i=1,2•r）代入上式，得

7-1

（5禹+a2lk2+…+arlkr>zl+（a}2k}+a22k2+…+ar2kr血+…+（4人+a2rk2+…+arrkr）ar=0

由a^a2,a^--ar线性无关，得

a{崗+a2[k2+--+ar[kr=0al2k[+°2丞2+…+勺2人=0

0虫+勺人+…+〜匕=°

则0\、0“・0线性无关，所以系数全为零，即方程组只有零解,

5«21

a\2a22

«lr«2r

得证!

例10设0]=Of],02=Q]+a2，・・・，0「=Q]+6?

2+…+且向呈组口，^2,03,…％•线性无关，求向量组p\、g…卩的线性相关性.

=1工0

解因为久02,…屛由即勺心3,…色线性表示，由定理5可得,

H=

0・・・01

因为es，4，・・q线性无关，且|A|HO所以久0“…,0,.线性无关.

结束语

本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判左方法，总介绍左义入手，介绍了它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结了一些方法，例如：

利用左义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.

参考文献

⑴姚慕生.吴泉水.高等代数学［M］•第2版.上海.复旦大学出版社.2008.⑵刘仲奎.杨永保，程辉.等.高等代数［M］,北京.高等教育出版社.2003.

［3］钱吉林，高等代数题解精粹［M］•北京.中央民族大学出版社，2002.

［4］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，烏等代数凶〕，北京.商等教育出版社.2003.

［5］董明秀.判断向量组线性相关与线性无关［J］,考试周刊，12;7（2013）■61-63.

〔6］黄娟震.关于向量组线性相关性的初步探讨［J］,广东石油化匸学报，18;11（2012）,40-44.

［7］段辉明，李永红•线性相关性若干问题的分析和探尤［J］,科技创新导报,15;9（2013）,20-23.

IdentificationMethodofLinearDependenceandLinearIndependence

AbstractTlievectorgroup'sLmeardependenceandlinearindependencearemostabstractconceptsinlinearalgebra・HowtodetermineLineardependenceandlinearindependenceisthekeyfactortounderstandvectorcorrectly.Thispaperintroducestherelationshipbetweendeterminant,matrix,thesolutionoflinearequationsandit,alsoconcludesthemethodstodetenninethevector'slineardependenceandlinearindependent.

KeywordsVectorgroupLineardependenceLinearindependenceMatrixRank