高考数学理科一轮复习空间向量及其运算学案附答案.docx

1、高考数学理科一轮复习空间向量及其运算学案附答案高考数学（理科）一轮复习空间向量及其运算学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案45空间向量及其运算导学目标：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直自主梳理空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量相等向量：方向_且模_的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b，ab的充要条件是_推论如图所示，点P在l上的充要条件是：oPoAta其中

2、a叫直线l的方向向量，tR，在l上取ABa，则可化为oP_或oPoAtoB.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使pxayb，推论的表达式为mPxmAymB或对空间任意一点o有，oP_或oPxoAyoBzom，其中xyz_.2空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作oAa，oBb，则_叫做向量a与b的夹角，记作_，其范围是_，若a，b2，则称a

3、与b_，记作ab.两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即_空间向量数量积的运算律结合律：•b_；交换律：a•b_；分配律：a•_.4空间向量的坐标表示及应用数量积的坐标运算若a，b，则a•b_.共线与垂直的坐标表示设a，b，则ab⇔_⇔_，_，_，ab⇔_⇔_模、夹角和距离公式设a，b，则|a|a•a_，cosa，ba•b|a|b|_.若A，B，则|AB|_.自我检测若a，b，且ab，则Ax1，y1Bx12，y12cx16，y32Dx16

4、，y322如图所示，在平行六面体ABcDA1B1c1D1中，m为Ac与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与B1m相等的向量是A12a12bcB.12a12bcc.12a12bcD12a12bc3在平行六面体ABcDABcD中，已知BADAABAAD60，AB3，AD4，AA5，则|Ac|_.4有下列4个命题：若pxayb，则p与a、b共面；若p与a、b共面，则pxayb；若mPxmAymB，则P、m、A、B共面；若P、m、A、B共面，则mPxmAymB.其中真命题的个数是A1B2c3D45A，B，c，D这四个点_探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形oABc中，m

5、为Bc的中点，N为Ac的中点，P为oA的中点，Q为oB的中点，若ABoc，求证：PmQN.变式迁移1如图，在正四面体ABcD中，E、F分别为棱AD、Bc的中点，则异面直线AF和cE所成角的余弦值为_探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABcD与正方形ABEF相交于AB，EBc90，点m、N分别在BD、AE上，且ANDm.求证：mN平面EBc；求mN长度的最小值变式迁移2如图所示，已知正方形ABcD和矩形AcEF所在的平面互相垂直，AB2，AF1，m是线段EF的中点求证：Am平面BDE；Am面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面PAc平面ABc，ABc是以Ac

6、为斜边的等腰直角三角形，E，F，o分别为PA，PB，Ac的中点，Ac16，PAPc10.设G是oc的中点，证明FG平面BoE；在AoB内是否存在一点m，使Fm平面BoE？若存在，求出点m到oA，oB的距离；若不存在，说明理由变式迁移3已知在直三棱柱ABcA1B1c1中，底面是以ABc为直角的等腰直角三角形，Ac2a，BB13a，D为A1c1的中点，E为B1c的中点求直线BE与A1c所成的角的余弦值；在线段AA1上是否存在点F，使cF平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐

7、标法表示几何量，简称坐标法2利用坐标法解几何问题的基本步骤是：建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系根据运算结果解释相关几何问题一、选择题下列命题：若A、B、c、D是空间任意四点，则有ABBccDDA0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点o与不共线的三点A、B、c，若oPxoAyoBzoc则P、A、B、c四点共面其中假命题的个数是A1B2c3D42.如图所示，在正方体ABcDA1B1c1D1中，o是底面ABcD的中心，m、N分别是棱DD1、D1c1的中点，则直线omA既垂直于

8、Ac，又垂直于mNB垂直于Ac，但不垂直于mNc垂直于mN，但不垂直于AcD与Ac、mN都不垂直3如图所示，在三棱柱ABcA1B1c1中，AA1底面ABc，ABBcAA1，ABc90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和Bc1所成的角是A45B60c90D1204设点c在点P、A、B确定的平面上，则a等于A16B4c2D85在直角坐标系中，A，B，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为A.2B211c32D42二、填空题6.如图所示，已知空间四边形ABcD，F为Bc的中点，E为AD的中点，若EF，则_.7在正方体ABcDA1B1c1D1中，给出以下向量表达式：AB；D

9、1c1；2DD1；DD1.其中能够化简为向量BD1的是_8如图所示，PD垂直于正方形ABcD所在平面，AB2，E为PB的中点，cosDP，AE33，若以DA，Dc，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_三、解答题9如图所示，已知ABcDA1B1c1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在cc1上，且AEFc11.求证：E、B、F、D1四点共面；若点G在Bc上，BG23，点m在BB1上，GmBF，垂足为H，求证：Em平面Bcc1B1.10如图，四边形ABcD是边长为1的正方形，mD平面ABcD，NB平面ABcD，且mDNB1，E为Bc的中点求异面直线NE与Am所

10、成角的余弦值；在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AmN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由1如图所示，已知空间四边形ABcD的各边和对角线的长都等于a，点m、N分别是AB、cD的中点求证：mNAB，mNcD；求mN的长；求异面直线AN与cm所成角的余弦值学案45空间向量及其运算自主梳理大小方向相同相等存在实数，使得aboAtABomxmAymB12.xaybzc3.AoBa，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，ba•ba•b|a|b|cosa，bb•aa•ba•c4.a1b1a2b2a3b3aba1b1a2b2a3b3

11、a•b0a1b1a2b2a3b30a21a22a23a1b1a2b2a3b3a21a22a23•b21b22b23a2a12b2b12c2c12自我检测cab，2x112y39，x16，y32.2AB1mB1A1A1AAmA1B1A1A12AB12ADac1212a12bc.3.97解析AcABBcccABADAA，|Ac|2AB2AD2AA22AB•AD2AD•AA2AA•AB324252234cos60245cos60235cos609

12、7，|Ac|97.4B正确中若a、b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立正确中若m、A、B共线，点P不在此直线上，则mPxmAymB不正确5共面解析AB，Ac，AD，设ADxAByAc，即x2y3，从而A、B、c、D四点共面课堂活动区例1解题导引欲证ab，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a•b0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法证明如图所示.设oAa，oBb，occ.om1212，oN1212，PmPoom12a1212，QNQooN12b1212Pm•QN14cc14c2214|AB|oc|，Pm•QN0.即PmQN，故P

13、mQN.变式迁移123解析设AB，Ac，AD为空间一组基底，则AF12AB12Ac，cE12cA12cD12cA12Ac12AD.AF•cE12AB12Ac•Ac12AD12AB•Ac12Ac214AB•AD14Ac•AD14AB212Ac218AB218Ac212Ac2.又|AF|cE|32|Ac|，|AF|•|cE|34|Ac|2.cosAF，cEAF•cE|AF|cE|12Ac234|Ac|223.异面直线AF与cE所成角的余弦值为23.例2解题导引如图所示，建立坐标系后，要证mN平行于平面EBc，只要证

14、mN的横坐标为0即可证明如图所示，以BA、Bc、BE为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A，D，E，B，设ANAEDmDB，则mNmDDAANBDDAAE0<<1，10，0，且mN的横坐标为0.mN平行于平面yBz，即mN平面EBc.解由知|mN|1222221212212，当12时，mN取得长度的最小值为22.变式迁移2证明建立如图所示的空间直角坐标系，设AcBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为22，22，0、NE22，22，1.又点A、m的坐标分别为、22，22，1，Am22，22，1.NEAm且NE与Am不共线NEAm.又NE⊂

15、平面BDE，Am⊄平面BDE，Am平面BDE.由得，Am22，22，1，D，F，B，DF，BFAm•DF0，Am•BF0.AmDF，AmBF，即AmDF，AmBF.又DFBFF，Am平面BDF.例3解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标第题证明FG与平面BoE的法向量n垂直，即FG•n0即可第题设出点m的坐标，利用mFn即可解出，然后检验解的合理性证明如图，连接oP，以点o为坐标原点，分别以oB，oc，oP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz.则o，A，B，c，P，E，F由题意，得G因为oB，oE，所以平面BoE的法向

16、量n由FG，得n•FG0.又直线FG不在平面BoE内，所以FG平面BoE.解设点m的坐标为，则Fm因为Fm平面BoE，所以Fmn，因此x04，y094，即点m的坐标是4，94，0.在平面直角坐标系xoy中，AoB的内部区域可表示为不等式组x>0，y<0，xy<8.经检验，点m的坐标满足上述不等式组所以，在AoB内存在一点m，使Pm平面BoE.由点m的坐标，得点m到oA，oB的距离分别为4，94.变式迁移3解以点B为原点，以BA、Bc、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B，B1，ABc为等腰直角三角形，ABBc22Ac2a，A，c，

17、c1，E0，22a，32a，A1，BE0，22a，32a，A1c，cosBE，A1cBE•A1c|BE|A1c|72a2112a13a7143143.直线BE与A1c所成的角的余弦值为7143143.假设存在点F，使cF平面B1DF，并设AFAA1，D为A1c1的中点，D22a，22a，3a，B1D22a，22a，3a22a，22a，0，B1FB1BBAAF)，cFcAAFcF平面B1DF，cFB1D，cFB1F，cF•B1D0cF•B1F0，即3a0092920，解得23或13存在点F使cF面B1DF，且当13时，|AF|13|AA1|a，当23时，|AF

18、|23|AA1|2a.课后练习区c均不正确2A以D为坐标原点，以DA为x轴，Dc为y轴，DD1为z轴建系，设棱长为2，则m，N，o，A，c，Ac，mN，om，om•Ac0，om•mN0，omAc，ommN.3B如图建立坐标系，设ABBcAA12，则E，F，c1，EF，Bc1，cosEF，Bc122•812.EF，Bc10，180EF与Bc1所成的角是60.4A由Pc1PA2PB得：12，1622a1312a1，21422解得a16.5B过A、B分别作AA1x轴，BB1x轴，垂足分别为A1和B1，则AA13，A1B15，BB12，ABAA1A1B1B1B，AB

19、2AA12A1B12B1B22AA1•B1B325222232cos6044.|AB|211.6.12解析EFEAABBF，又EFEDDccF，2EFABDc，EF12，12.7解析ABAD1ABBD1；D1c1Bc1D1c1BD1；2DD1BD2DD1BD1；DD1B1D1B1D1BD1.8解析设DPy>0，则A，B，P，E1，1，y2，DP，AE1，1，y2.cosDP，AEDP•AE|DP|AE|12y2y2y24y8y233.解得y2，E9证明建立如图所示的空间直角坐标系，则BE，BF，BD1所以BD1BEBF.故BD1、BE、BF共面又它们有公共点B，E

20、、B、F、D1四点共面设m，则Gm0，23，z.而BF，由题设，得Gm•BF233z•20，得z1.m，E，mE又BB1，Bc，mE•BB10，mE•Bc0，从而mEBB1，mEBc.又BB1BcB，mE平面Bcc1B1.0.解如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意，得D，A，m，c，B，N，E12，1，0.NE12，0，1，AmcosNE，AmNE•Am|NE|•|Am|125221010，异面直线NE与Am所成角的余弦值为1010.假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AmN.AN，可设ASAN

21、，又EA12，1，0，ESEAAS12，1，.由ES平面AmN，得ES•Am0，ES•AN0，即120，10.故12，此时AS0，12，12，|AS|22.经检验，当AS22时，ES平面AmN.故线段AN上存在点S，使得ES平面AmN，此时AS22.1证明设ABp，Acq，ADr.由题意可知：|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.mNANAm1212AB12，mN•AB12•p12120.mNAB又cDADAcrq，mN•cD12•12120，mNcD.解由可知mN12，|mN|2mN214214q2r2p2214a2a2a22a22a22a22142a2a22.|mN|22a，mN的长为22a.解设向量AN与mc的夹角为.AN1212，mcAcAmq12p，AN•mc12•q12p12q212q•pr•q12r•p12a212a2•cos60a2•cos6012a2•cos6012a2a24a22a24a22.又|AN|mc|32a，AN̶