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1、届步步高数学大一轮复习讲义理科第八章 84直线平面垂直的判定与性质8.4直线、平面垂直的判定与性质最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l，直线l叫做平面的垂

2、线，平面叫做直线l的垂面(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角(2)范围：.3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射

3、线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l概念方法微思考1若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于

4、这个平面2两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若，a，则a.()(4)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()题组二教材改编2下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂

5、直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的3在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO，BO，CO分别

6、交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心题组三易错自纠4若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，则m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选A.5.如图所示

7、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A与AC，MN均垂直B与AC垂直，与MN不垂直C与AC不垂直，与MN垂直D与AC，MN均不垂直答案A解析因为DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因为ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OMAC.设正方体的棱长为2，则OM，MN，ON，所以OM2MN2ON2，所以OMMN.故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是

8、()AMNABB平面VAC平面VBCCMN与BC所成的角为45DOC平面VAC答案B解析由题意得BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC.因为ACVAA，所以BC平面VAC.因为BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC.故选B. 直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又因为ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，所以CD平面PAC.而AE平面P

9、AC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，所以AE平面PCD，而PD平面PCD，所以AEPD，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又因为ABAD，且PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD.又因为ABAEA，AB，AE平面ABE，所以PD平面ABE.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理垂直于平面的传递性面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面

10、垂直的性质跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点当CF2时，证明：B1F平面ADF.证明因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因为BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B

11、1F平面ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.显然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF. 平面与平面垂直的判定与性质例2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C.(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2

12、)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC，又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直跟踪训练2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，AA1

13、AC，ACB90.(1)求证：平面AB1C1平面A1B1C；(2)若A1AC60，AC2CB2，求四棱锥ABCC1B1的体积(1)证明平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABCAC，BC平面ABC，ACB90，BC平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，BCA1C，B1C1BC，A1CB1C1，四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1AC，四边形ACC1A1是菱形，A1CAC1，AC1B1C1C1，AC1，B1C1平面AB1C1，A1C平面AB1C1，又A1C平面A1B1C，平面AB1C1平面A1B1C.(2)解四边形ACC1A1是菱形，A1AC60，AC2，SACC122sin

14、 120，B1C1BC，B1C1BC，BC平面ACC1A1，BC1，VB1ACC1SACC1B1C11，VABCC1B12VACC1B12VB1ACC1，即四棱锥ABCC1B1的体积为.1设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b答案B解析若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a，ab，则b或b，故C错误；若a，ab，则b或b或b与相交，故D错误2(2020云南师大附中适应性考试)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若mn，n，m，则；若，m，nm，则n或n；若m

15、，mn，n，则或；若m，nm，n，n，则n且n.其中正确命题的序号是()A B C D答案C解析命题中，由面面垂直的判定定理可知正确；命题中，n与，的位置关系为平行、相交或n在某个平面上，故错误；命题中，与可能平行或相交，故错误；命题中，由线面平行的判定可知正确3(2020昆明一中双基检测)下列命题中，正确的是()A直线l1，l2与平面所成的角相等，则l1l2B，为三个平面，若，则Cl1，l2，l3为空间中的三条直线，若l1l3，l2l3，则l1l2Dl1，l2为两条直线，为两个平面，若l1，l2，l2，则l1答案D解析选项D中，由l1，l2得l1l2，又因为l2，所以l1.4已知直线a，b表

16、示两条不同的直线，表示一个平面，有下列几个命题：若在直线a上存在不同的两点到的距离相等，则a；若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a与所成的角和b与所成的角相等，则ab；若ab，b，则a.其中正确命题的序号是()A B C D答案D解析中a与可以相交；中a可能在平面内或a；中a与b可以平行，也可以异面；中a与b可以平行，也可以异面、相交；正确5.如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因为ABCB，且E

17、是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.6.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”在如图所示的四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PDCD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A2个 B3个 C4个 D5个答案C解析由题意，因为PD底面ABCD，所以PDDC，PDBC，又四边形ABCD为正方形，所以BCCD，因为PDCDD，所以BC平面PCD，BCPC，所以四面体PDBC是一个鳖臑，因为DE平面PCD，所以BCDE，

18、因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC，因为PCBCC，所以DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖臑，故选C.7.如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是_；与AP垂直的直线是_答案AB，BC，ACAB解析因为PC平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为ABAC，ABPC，ACPCC，所以AB平面PAC，又因为AP平面PAC，所以ABAP，即与AP垂直的直线是AB.8.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在

19、底面ABC上的射影H必在直线_上答案AB解析ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上9.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_答案解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.10.如图，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点现将其

20、沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体下列关于该多面体的命题，正确的是_(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2.答案解析由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确；因为APBP，APCP，BPCPP，所以AP平面BCD，又因为AP平面BAD，所以平面BAD平面BCD，故正确；同理可证平面BAC平面ACD，故正确；该多面体的外接球半径Ra，所以该多面体外接球的表面积为5a2，故正确综上，正确命题的序号为.11.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，

21、C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，A

22、DCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PNPB.(1)证明：MN平面PDC；(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值(1)证明因为ABBC，ADCD，所以BD垂直平分线段AC.又ADC120，所以MDAD，AM.所以AC.又ABBC，所以ABC是等边三角形，所以BM，所以3，又因为PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PA

23、C所成的角，故DPM即为所求的角在RtPAD中，PD2，所以在RtPMD中，sinDPM，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.13如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，AG，GH平面HAG，EF平面HAG，又EF平面AEF，

24、平面HAG平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确故选B.14.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求点F到平面BDE的距离(1)证明取BD的中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OMCD，且OMCD.因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB，又EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF，所以EFCD，所以OMEF，且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以MFO

25、E.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)解由(1)得FM平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离取AD的中点H，连接EH，BH，因为EAED，四边形ABCD为菱形，且DAB60，所以EHAD，BHAD.因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，因为BH平面ABCD，所以EHBH，因为EHBH，所以BE，所以SBDE.设点F到平面BDE的距离为h，连接DM，则SBDMSBCD4，连接EM，由V三棱锥EBDMV三棱锥MBDE，得h，解得h，即点F到平面BDE的距离为.15某几何体的三视图如图所示，其

26、中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点(异于点B，C)，则关于该几何体的说法正确的是()ABEAC BDEAECCE平面ABE DBD平面ACE答案C解析由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，若BEAC，因为BEAB，ABACA，所以BE平面ABC，又因为BC平面ABC，所以BEBC，与BECE矛盾，所以A不正确；因为DE2AE222CE222BE212AD2，因此AED90，即DE与AE不垂直，所以B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BECE，又因为CEAB，ABBEB，所以CE平面ABE，所以C正确；假设BD平面ACE，则BDCE，又CEDC，BDDCD，所以CE平面ABCD，所以CEBC，与CEB90矛盾，所以D不正确故选C.16.如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_