4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总.docx

1、4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总Ch.5李雅普诺夫稳定性分析目录仃/訂概述口 1李雅普诺夫稳定性的定义口 5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理口 5.3线性系统的稳定性分析口 5.4非线性系统的稳定性分析 55 Matlab 问题口本章小结非线性系统的李洸普诺夫稳定性分析订45.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析在线件系统中，如果平衡态是渐近稳定的则系统的平衡态是 唯一的,11.系统4状态空间中是大范国渐近稳定的。对非线性系统则不然。“卄：线性系统可能存在多个局部渐近稳定的半衡态（吸 引f）同时还存在不稳定的平術态（孤立C稳定性的 悄况远比线性系统來得复杂。“与线件系统稳定性分析相Ltjli

2、 T IE线件系统的多样 件和复杂性,所以菲线性系统稳定性分析也要麵杂得 多。非线性系统的李耀普诺夫穩定性分析【2 4本节主耍研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。-rti r ib线性系统必万别，没仃统一的描述询也不存在 统一的动力学分析方法，因此对其进行稳定性分析是困难 的。对于非线性系统，于雅普诺夫第二法虽然可应用丁非线性 系统的稳定件判定，但其只是个充分条件，并没竹给出建 立李雅晋诺夫函数的-般方法。“而只能针对具体的罪线性系统进行具体分析。非线性系统的李雅昔诺夫稳定性分析3 4对非线性系统的稳定性分析问题，口前切实可行的途径为:-针对备类步线性系统的特性分门别类地构造适宜的L

3、yapunov函数。如，“通过特殊函数來构造乍雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法（也叫雅克比矩阵法）“针对特殊凶数的变肚梯度构适Lyapunov凶数的变准 梯度法（也叫舒尔茨吉布生法）丿针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法他叫线性近似法）、鲁立叶法等。非线性系统的李雅昔诺夫稳定性分析4 4由诽线性系统的Lyapunov稳定性只有局部的性质,1人I此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移，将系统的 所讨论的平衡态移至原点。X在讨论稳卫性时，通常还要确足该局部渐近稳定的平衡 态的范围。口卜面分别讨论如卜3种年线竹 定性分析方法克拉索夫斯基法变量梯度法阿依捷尔曼法丸拉水人

4、折来法(1/75.4.1克拉索夫斯基法设非线性定常连续系统的状态方程为如二/(X)”对该系统有如下假设：1)所讨论的平衡态兀=0;2)/(x)对状念变张足连续可微的，即存在雅町比矩阵J(x) = J例412试确定如下非线性系统的平衡态的忌定性:口解由于用)连续可导且/r(x)/(x) = (-3x| + x2)2 +(.V|-X2-X2)2 0町取作李雅普诺夫的数，因此有兑拉廉夬浙临法(7/7)由塞尔维斯特准则有一6 2 5=-6 ?= 、二 36x； + 802 2 61，故矩阵函数j(x)负定，所以曲克拉索夫斯基定理可知，平衡 态耳=0杲渐近稳定的。变说梯巫丛1/105.4.2变量梯度法舒

5、尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法，为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度來分析 Lyapunov函数的定号性。设非线性定常连续系统的状态方程为x(t)= f(X)且所讨论的平衡态为原点即耳=0。设所找到的非线性系统的判定平衡态兀=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为VX）,它的显函数而不是时间的显函数则 吃）的单值梯度grad皿在.梯度gradV是如下定义的维向撬:avAdVa-vl0 gradV(x)= dr av=-舒尔茨和靑布生建议洗假设gradV具仃某种形式并山此 求出符合要求的r）和V（x）o殳皿梯度仏（3 10V(x)

6、 -占十十-勺-(gradV)r x可知Mx）可山grad V的线积分求取，即V(x) =(grail U)：dr =vV；dx,式屮积分上限X是状态空间的一点（旺七兀）。由场论知识可知,若梯度gradV的”维旋度等丁零，即 rot（gradV）=0,则视为保守场川.I：式所示的线积分与路 径无关。tarnV(x- f . (5 (i而rot(gradV)=0的充分必要条件是:/ gadV的雅可比矩阵討心)=是对称矩阵即” X匕述条件满足时，式(529)的积分路径可以任意选择，故 町以选择一条简单的路径即依各个坐标轴兀的方向枳分V(x)-j“曲订Ml亦+ j变故梅度丛(5 10口按变虽梯度法构

7、造李雅泮诺夫函数方法的步骤如匸1)将李雅普诺夫换数V(x)的梯度假设为gradV =式中旳(口二12.“)为待定系数它们可以足常数，也可以是了 的函数或“比,兀的函数。“通常将呦选择为常数或的函数。费St柿发法(6/10)2)由 V(x) = (gradV)fx定义 V(x)0“由半衡态渐近稳怎时(*为负定的条件可以决宦部 分待定参数刃/。3)山限制条件式中决定其余待定参数呦。4)按式(531)求线积分，获御U(x)。“验证吃)的1E定性，若不止定则需要重新选择待定参 数呦，直至r)止定为止。5)确定平衡态耳=0渐近稳定的范围。空姑梯櫃法(7 10 -例5-14由I：述构造过程可知,变屋梯度法

8、只是建立非线性系统的李 雅普诺夫函数的充分性方法。”用这种方法没有找到适宜的乍雅艸诺夫函数，井不意味着 平衡态就不是渐近稳定的。例,14试确定如下IF线性系统的平衡态的稳定性。解显然耳=0是系统的平衡态。可设竽雅艸诺夫函数V(x)的梯度为变展梯丿fl仏(8/10由gradEj紂如卜V(x)的导数V(x)-(gradV)fx I=【4|內+4血 Fd+SXj 3Z -斗=“2(41W a 詔)+ 厂如)-auxi5一如 ()时W(x)为负定。丁即上述呦所满足的条件足VS)负泄的一个充分条件。dVTgjH.n (5 30)电 &/ W(9 10-由限制条件(530),并设g和为常数右|dVVtdV

9、Vy1 综上所述有%_6|_如彳=计算线积分式（531）,得心7：v%a+J：w爲此=阿內5+（:（吗內+吗內）空=J：（+%彳）斗+仏曲+如召）收 哼舒伞”由VOal2A和B为适宜维数的常数矩阵；/（x）=l/l（.rl）/,（AS）. 诃为刃维关于状态向址的向最函 数。八|式（5-32）和式（533）可知原点x=0是状态空间的平衡态。rm阿依捷尔曼法3 10对于I：述系统的李雅普诺夫稳定件分析阿依捷尔咙法的思 想是先用线件关系吋取代非线件关系他）,即令卩片几兀）。” i大1而对r该比线性系统，氏线性化后的系统同样町以建立 正定的李雅呼诺夫函数，并判定渐近稳定性；若线件化后的系统是渐近稳定的

10、则山便李雅胖诺夫曲数 的导数为负定的渐近稳定的充分条件來确定原非线性系 统在&.&（“）/.()同时有 V(x)-xzQx3)将求取的V(x)作为原非线性系统的孕雅普诺夫函数.再求 出它对时间的全导数，即将非线性状态方程(533)代入，得 到II线件系统的(X)。/最后楓据v*(x)应是负定的系统渐近稳定的充分条件,确定非线性关系渐近稳定时的緒和阳的取值范用。阿依捷尔曼法巧/16 -例5-15阿依捷尔曼法判定非线件系统渐近稳定件只是一个充分件的 方法。尸当菲线性系统渐近稳定时非线性关条中的5和3的实 际取值范国可能要比用阿依捷尔曼法确定的大。”而且，对线件化系统得到的李雅普诺夫旳数不同则号其

11、相应的仇和心2的取值范围也不同。例515设非线性控制系统如图59所示,试用阿依捷尔曼法判 泄该系统在给定输入=0时的渐近稳宦性。VP解图59所示的非线性控制系统在给定输入=0时，系统的 状态方程为厂 20 m 二 0 m = f(e)式中，犬0）为单值非线性函数。如果选择状态变量七之：则系统的状态方程为肩一 “2 丘2 =-2七一 /（刃）A由李雅普诺夫代数方程M+/TP二J.解出故线性化系统定渐近稳定的。m a II 1阿依捷尔受法伯10取m非线性系统的李雅普诺夫函数v（x 0%则有阿依捷尔曼法（9 10根据塞尔维斯特准则可知当4/仪）V52_6时M*）负定从而求得在时该非线性系统是渐近稳定的。这样就确定了、只要系统中的也值非线性特件的允许变化 范围为如图510所爪的两条斜率分别为6.983和0.573的直 线所夹成的对称于原点的两个谢形区只要非线性环节的 曲线4此允许范用内变化，则系统是人范用渐近稳定的。 j阿依捷尔受法110 10由上町见阿依捷尔曼法有以下优点。1） 与克拉索夫斯械法在平衡态附近用躱勒级数展开法不同. 此法是在大范用内线性近似，因此可以用來判定系统在大 范用内的稳定性,而不受平衡态邻域的限制；2） 在此法中町选择通常的二次型曲数作为非线性系统的李 雅普诺夫旳数；3） 此法中的非线性环节的线性近似直线可以用解析法求得, 亦可以用实验数据得到。