4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总.docx
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4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
Ch.5李雅普诺夫稳定性
分析
目录仃/訂
□概述
口£1李雅普诺夫稳定性的定义
口5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理
口5.3线性系统的稳定性分析
口5.4非线性系统的稳定性分析
□55Matlab问题
口本章小结
非线性系统的李洸普诺夫稳定性分析订4
5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
□在线件系统中，如果平衡态是渐近稳定的•则系统的平衡态是唯一的,11.系统4状态空间中是大范国渐近稳定的。
＞对非线性系统则不然。
“卄：
线性系统可能存在多个局部渐近稳定的半衡态（吸引f）•同时还存在不稳定的平術态（孤立C稳定性的悄况远比线性系统來得复杂。
“与线件系统稳定性分析相LtjliTIE线件系统的多样件和复杂性,所以菲线性系统稳定性分析也要麵杂得多。
非线性系统的李耀普诺夫穩定性分析【24
□本节主耍研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
-rtirib线性系统「必万别，没仃统一的描述询也不存在统一的动力学分析方法，因此对其进行稳定性分析是困难的。
•对于非线性系统，于雅普诺夫第二法虽然可应用丁•非线性系统的稳定件判定，但其只是•个充分条件，并没竹给出建立李雅晋诺夫函数的-般方法。
“而只能针对具体的罪线性系统进行具体分析。
非线性系统的李雅昔诺夫稳定性分析「34
□对非线性系统的稳定性分析问题，口前切实可行的途径为:
-针对备类步线性系统的特性•分门别类地构造适宜的
Lyapunov函数。
如，
“通过特殊函数來构造乍雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法（也叫雅克比矩阵法）
“针对特殊凶数的变肚梯度构适Lyapunov凶数的变准梯度法（也叫舒尔茨■吉布生法）
丿针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼法他叫线性近似法）、鲁立叶法等。
非线性系统的李雅昔诺夫稳定性分析44
□由『诽线性系统的Lyapunov稳定性只有局部的性质,1人I此在寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移，将系统的所讨论的平衡态移至原点。
X在讨论稳卫性时，通常还要确足该局部渐近稳定的平衡态的范围。
口卜面分别讨论如卜3种年线竹定性分析方法］
＞克拉索夫斯基法
＞变量梯度法
＞阿依捷尔曼法
丸拉水人折来法（1/7〉
5.4.1克拉索夫斯基法
□设非线性定常连续系统的状态方程为
如二/（X）
”对该系统有如下假设：
1）所讨论的平衡态兀=0;
2）/（x）对状念变张足连续可微的，即存在雅町比矩阵
J（x）=-对上述1F线性系统「仃如卜•判别渐近稳宦性的克拉索夫斯基定理。
克拉索人斯仏法（2/7》
□定S5-11IF线性定常连续系统的半衡态礼=0为渐近稳定的充分条件为
为负定的矩阵函数.Fl
V（x）-xrx-/r（x）/（x）
为该系统的一个李雅普诺夫两数。
■更进一步，当ILr|T8时•冇航则该平衡态是大范隔渐近稳定的。
□证明巧非线件系统的李雅普诺夫函数为
V（x）=xrx=fT（x）f（x）
则其导数为
v（x）=i/r（x）/（x）r
严J]
arr
■1
as
严）,arr
•■
r
/（x）+/r（x）
=
/（xMr（x）/（.r）+/r（x）J（x）/（x）
=
-111FV（x）=/r（x）/（x）^系统的一个李雅评诺夫曲数，即
/f（X）/（X）正定。
■因此,若j（x）负定•则V（x.O=/r（x）j（x）/（x必为负定。
x所以，由泄理54知•该非线性系统的卩衡态叫=0是渐近稳定的。
□□□
丸人索人斯仏法（“7〉
□在应用克拉索夫斯基定理时，还应注意下血儿点。
-克拉索夫斯堆丘理只是渐近稳左的一个充分条件，不是必耍条件。
丁如对于渐近稳定的线性定常连续系统
j（x）=J（x）+Jr（x）=
不是负定矩阵，故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的。
/可见•该定理仅是一个充分条件判别定理。
-若V（x）=f（x}f（x）止定，为Ly叩unov函数•则说明只右'"|*0时才有Wr）=O,即原点是唯一的平衡态。
“因此，只有原点是系统的唯一平衡态，才能用克拉索夫斯皋定理判别渐近稳运性，并且山该泄理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范国渐近稳定的。
-山克拉索夫斯基定理对知，系统的平衡态％=0是渐近稳定的条件IiJ（x）+Z（x）为负定矩阵函数。
"由负定矩阵的性质知，此时雅可比矩阵丿（x）的对角线元索恒取负值•因此向虽函数f（x）的第/个分量必须包禽变駁心含则•就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。
”将克拉索夫斯卑定理推广到线性疋常连续系统可知:
对称矩阵4+川负立，则系统的原点是大范用渐近稳定的。
丸拉索人斯肚注〔67>
J例412试确定如下非线性系统的平衡态的忌定性:
口解由于用）连续可导且
/r（x）/（x）=（-3x|+x2）2+（.V|-X2-X2）2>0
□町取作李雅普诺夫的数，因此•有
兑拉廉夬浙临法（7/7）
由塞尔维斯特准则有
一625
=-6<0>△?
=、二36x；+8>0
2261
■
，故矩阵函数j（x）负定，所以曲克拉索夫斯基定理可知，平衡态耳=0杲渐近稳定的。
变说梯巫丛1/10>
5.4.2变量梯度法
□舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法，为构造李雅普诺夫函数提供了一种比较实用的方法。
■该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度來分析Lyapunov函数的定号性。
□设非线性定常连续系统的状态方程为
x（t）=f（X）
且所讨论的平衡态为原点•即耳=0。
□设所找到的非线性系统的判定平衡态兀=0是渐近稳定的李雅普诺夫函数为V{X）,它的显函数•而不是时间『的显函数•则吃）的单值梯度grad皿在.
＞梯度gradV是如下定义的〃维向撬:
av'
AdV
a-vl
■0■
gradV（x）=—=dr
■
■av
=
■
■
-舒尔茨和靑布生建议洗假设gradV具仃某种形式■并山此求出符合要求的《r）和V（x）o
殳皿梯度仏（310
V（x）~-—占十…十-—勺-（gradV）rx
可知Mx）可山gradV的线积分求取，即
V（x）=『（grailU）：
dr=『£vV；dx,
式屮■积分上限X是状态空间的一点（旺七…兀）。
»由场论知识可知,若梯度gradV的”维旋度等丁•零，即rot（gradV）=0,则视为保守场川.I：
式所示的线积分与路径无关。
tarn
V（x»-f.（5⑼
（■i
而rot（gradV）=0的充分必要条件是:
/g「adV的雅可比矩阵
討心）=
是对称矩阵•即
”X匕述条件满足时，式（5・29）的积分路径可以任意选择，故町以选择一条简单的路径•即依各个坐标轴兀的方向枳分
V（x）-j
“曲订「Ml—亦+…+j
变故梅度丛（510
口按变虽梯度法构造李雅泮诺夫函数方法的步骤如匸
1）将李雅普诺夫换数V（x）的梯度假设为
gradV=
式中旳（口二1・2•.…“）为待定系数•它们可以足常数，也可以是了的函数或“比,…兀的函数。
“通常将呦选择为常数或『的函数。
费St柿发法（6/10）
2）由V（x）=（gradV）fx定义V（x）0
“由半衡态渐近稳怎时"（*为负定的条件•可以决宦部分待定参数刃/。
3）山限制条件
式中决定其余待定参数呦。
4）按式（5・31）求线积分，获御U（x）。
“验证吃）的1E定性，若不止定则需要重新选择待定参数呦，直至％r）止定为止。
5）确定平衡态耳=0渐近稳定的范围。
空姑梯櫃法（710-例5-14
□由I：
述构造过程可知,变屋梯度法只是建立非线性系统的李雅普诺夫函数的充分性方法。
”用这种方法没有找到适宜的乍雅艸诺夫函数，井不意味着平衡态就不是渐近稳定的。
□例,14试确定如下IF•线性系统的平衡态的稳定性。
□解显然耳=0是系统的平衡态。
■可设竽雅艸诺夫函数V（x）的梯度为
变展梯丿fl仏（8/10>
■由gradEj紂如卜V（x）的导数
V（x）-（gradV）fx
・■
I
=【4|內+4血Fd+SXj•'3
Z-斗
=“2（41Wa詔）+€⑷厂如）-auxi
5一如<0勾>（）
时W'（x）为负定。
丁即上述呦所满足的条件足VS）负泄的一个充分条件。
dVT
gjH.n（530）
电&
/W・（910
-由限制条件（5・30）,并设g和①为常数•右
|dVVt
dVVy
1<»
u\2“2i
斯|
>综上所述•有
%_6|_如彳=°
>计算线积分式（5・31）,得
心7：
v%a+J：
w爲此
=£阿內5+（:
（吗內+吗內）空
=J：
（〜+%彳）斗％+［仏曲+如召）收哼舒］伞”
>由VO“因此,该系统原点是渐近稳定的。
阿依捷尔曼法110
图5・8—类静态非线性特性
V当ILrl—oo时，佇所以该系统庄点是系统人范国渐近稳定的。
5.4.3阿依捷尔曼法
□假设系统中出现的非线性关系为如图5・8所示的静态非线性关系.即它是-个单值的非线性函数，且满足
rz（o）=o
-匕述非线性函数/;（对为通过W标原点川・介丁•H线心内和之间的任总形状的曲线函数朋此只有一定的代丧性.
M用來描述一人类II：
线性系统。
□考电具有上述非线性换数关系的如下非线性系统的状态方程:
x=Ar+«f（x）（5—33）
式中K为〃维状态变皐向量；
>A和B为适宜维数的常数矩阵；
>/（x）=l/'l（.rl）/,（AS）...£诃为刃维关于状态向址的向最函数。
八||式（5-32）和式（5・33）可知•原点x=0是状态空间的平衡态。
rm
阿依捷尔曼法«310
□对于I：
述系统的李雅普诺夫稳定件分析•阿依捷尔咙法的思想是先用线件关系吋取代非线件关系他）,即令卩片几兀）。
”i大1而对r该比线性系统，氏线性化后的系统同样町以建立正定的李雅呼诺夫函数，并判定渐近稳定性；
•若线件化后的系统是渐近稳定的•则山便李雅胖诺夫曲数的导数为负定的渐近稳定的充分条件來确定原非线性系统在&.&（“）/.£<&.丹内是否渐近稳定的。
□因此，应用阿依捷尔曼法判定IF•线性系统渐近稳定性的步骤如下。
1）系统中的非线性函数/；（兀）用线性关系卩內代替.
fTITW
x-/tr+ttf（x）（533）
2）对线件化后的系统•找出苴相应的判定渐近稳定的二次熨李雅普诺夫曲数■即心英屮矩阵P为正定的•并满足
pa+atp=-qQ>（）
同时有V（x）^-xzQx\
3）将求取的V（x）作为原非线性系统的孕雅普诺夫函数.再求出它对时间的全导数，即将非线性状态方程（5・33）代入，得到II线件系统的"（X）。
/最后楓据v*（x）应是负定的系统渐近稳定的充分条件,
确定非线性关系渐近稳定时的緒和阳的取值范用。
阿依捷尔曼法巧/16-例5-15
□阿依捷尔曼法判定非线件系统渐近稳定件只是一个充分件的方法。
尸当菲线性系统渐近稳定时•非线性关条中的5和3的实际取值范国可能要比用阿依捷尔曼法确定的大。
”而且，对线件化系统得到的李雅普诺夫旳数不同•则号其相应的仇」和心2的取值范围也不同。
□例5・15设非线性控制系统如图5・9所示,试用阿依捷尔曼法判泄该系统在给定输入"=0时的渐近稳宦性。
[VP
□解图5・9所示的非线性控制系统在给定输入"=0时，系统的状态方程为
厂20m二0m=f（e）
式中，犬0）为单值非线性函数。
■如果选择状态变量七之：
则系统的状态方程为
肩一“2丘2=-2七一/（刃）
A由李雅普诺夫代数方程M+/TP二J.解出
故线性化系统定渐近稳定的。
m［aI
I<［『［>1
阿依捷尔受法伯10
取m非线性系统的李雅普诺夫函数v（x0%则有
阿依捷尔曼法（910
＞根据塞尔维斯特准则可知•当
4/仪）
V<52_6
时M*）负定■从而求得在
时■该非线性系统是渐近稳定的。
•这样就确定了、只要系统中的也值非线性特件的允许变化范围为如图5・10所爪的两条斜率分别为6.983和0.573的直线所夹成的对称于原点的两个谢形区•只要非线性环节的曲线4此允许范用内变化，则系统是人范用渐近稳定的。
'j
阿依捷尔受法11010
□由上町见•阿依捷尔曼法有以下优点。
1）与克拉索夫斯械法在平衡态附近用躱勒级数展开法不同.此法是在大范用内线性近似，因此可以用來判定系统在大范用内的稳定性,而不受平衡态邻域的限制；
2）在此法中町选择通常的二次型曲数作为非线性系统的李雅普诺夫旳数；
3）此法中的非线性环节的线性近似直线可以用解析法求得,亦可以用实验数据得到。
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