线代习题答案第四章精.docx

1、线代习题答案第四章精1.求下列向量间的夹角:(1 (TT122, 101=;(2 (T T3410, 2120=. 1. 解(1 , cos 2= 故 4=。 (2 , cos 0= 故 2=。 2.用施密特正交化方法将下列向量组正交化:(1 (TTT123111, 123, 149=;(2 (T T T123111, 110, 100=。 2. 解(1取 (T11111=(T2122111(, 101(, =(T313233121122(, (, 1121(, (, 3=(2取 (T11111=(T2122111(, 1112(, 3=(T313233121122(, (, 1110(, (

2、, 2=所得的 123, , 即是与 123, , 等价的正交向量组 . 3.判断下列矩阵是否为正交矩阵:(1 210112003=A (2 112005123=A (3 122333212333221333=A 3. 解 (1 T2102105121101121220230032213=A A 由于 T A A E ,故所给矩阵不是正交矩阵。(2 T 1011122351020053582531235838=A A 由于 TA A E ,故所给矩阵不是正交矩阵。(3 T122122333333100212212010333333001221221333333=A A E 故所给矩阵为正交矩阵

3、。4.求下列矩阵的特征值与特征向量:(1 211020413=A (2 212533102=A (3 123213336=A (4 110430102=A 4.(1解:2211020(2 (1 0413=+=A E 故 1231, 2=对于 11=,解方程 0Ex (A=+4114112000000411000-A E =得基础解系 1101=所以对应于 11=的全部特征向量为 11k 1(0 k 。对于 232=时,解方程 2(- 0A E x =4114112000000411000= A E得基础解系 23011, 014=所以对应于 232=的全部特征向量为 2233k k +(23,

4、 k k 不同时为 0 .(2解:3212533(1 0102=+=A E 故 1231=当 1231=时,解方程 ( +=0A E x =+000110101101325213E A 得基础解系 111=所以对应于 1231=的全部特征向量为 (0 k k .(3解:123213(1(9 0336=+=A E 故 1230, 1, 9=当 10=时,解方程 0Ax =123123123101213033011011336033000000= A 得基础解系 1111=所以对应于 10=的全部特征向量为 111(0 k k 当 21=时,解方程 ( +=0A E x22322311022300

5、1001337000000+= A E 得基础解系 2110=所以对应于 21=的全部特征向量为 222(0 k k 当 39=时,解方程 (-9 =0A E x 11028231111111928382301050123332830105000= A E 得基础解系 3211=所以对应于 39=的全部特征向量为 333(0 k k 。(4解:2110430(2(1 012=A E 故 12=23, 1=当 12=时,解方程组 (2 =0A E x 得基础解系 1001=, 所以对应于 12=的全部特征向量为 11k 1(0 k 。 当 231=时,解方程组 ( =0A E x 得基础解系 2

6、121=所以对应于 231=的全部特征向量为 222(0k k 5.矩阵 A 满足 22350A A E =,求 A 的特征值5. 解:设 是 A 的特征值,对应的特征向量设为 0,则=A 由已知 22350A A E =得222(235 235(235 =0A A E =A A E 由于 0,故 2235=0,解得 52=或 1=。 6.已知 3阶矩阵 A 的特征值为 1, 2,-2,求 3+A E 的特征值。6. 解:令 ( 3f =+A A E ,则 ( 31f =+,又因为 A 的特征值为 1, 2,-2,故 3+A E 的特 征值为(1314f =+=; (2617f =+=; (2

7、 615f =+=所以 3+A E 的特征值为 4, 7,-5.7. 设 3阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, 3,求 *2+A A E 。 7. 解:由于 A 的特征值为 1, 2, 3,故 1236=A 令 *( 2f =+A A A E ,则 6( 2121f =+=+A ,故 *2+A A E 的特征值为 (16219f =+=; (23418f =+=; (32619f =+=所以 *2989648+=A A E 。8. 设 A 为正交矩阵,若 1=A ,求证 A 一定有特征值 -1. 8. 证明:设矩阵 A 的特征多项式为( |f =A E ,则 (1 |f =+A E ,又因为

8、A 为正交阵,所以 T =AA E ,于是 (1 |(|1|( |T T T T f =+=+=+=+=+ A AA A E A A A E A E A E 由 (1 f 两个方程 |0+=A E ,即 |(1 |0=A E 故 -1为 A 的一个特征根 .9. 设 , A B 都是 n 阶矩阵,证明 AB 与 BA 具有相同的特征值。9. 证明:设 0是 AB 的任一特征值, 0是 AB 与 对应的特征向量,即( =AB ,(1用 B 左乘上式两端,有( ( =BA B B ,(2若记 =B ,则 (2式可写成 ( =BA ,由 (1式知 =0B (否则就有 =0 . 因此 是矩阵 BA 特

9、征值 . 设 0=是 AB 的特征值, 0是 AB 与 对应的特征向量,即 ( 0=AB 0, 亦即 是齐次方程组 ( =AB 0,的非零解,于是齐次方程组的系数行列式 |0=AB A B BA .因而齐次方程组 ( =BA x 0有非零解 ,所以 满足 ( 0=BA .故 0=是矩阵 BA 的特征值 .综上所述,矩阵 AB 的特征值都是矩阵 BA 的特征值,同理可证 BA 的特征值都是 AB 的特征值, 故 结论成立 .10. 设 3阶矩阵 A 与 B 相似,其中 A 的特征值为 2, 12, 1,求 12+B E 。10. 解:由于 A 与 B 相似,故 A 与 B 具有相同的特征值,所以

10、 B 的特征值为 2, 12, 1。令 1( 2f =+B BE ,则 1( 2f =+,故 12+B E 的特征值为 15(2222f =+=; 1(2242f =+=; (1 121f =+=所以 15241102+=B E 。11. 判断下列矩阵是否可对角化,说明理由。 (1 200120012=A ; (2 133353664=A ; (3 1011=A 11. 解:(1先求 A 的特征值3200120(2 012=A E 所以 A 的特征值为 1232=0002100010=A E (2 2330R =A E ,故 A 不能对角化。(2 233353(2 (4 0664=+=A E

11、所以 A 的特征值为 1232, 4=对于 122=3331112333000666000+ =A E (2 132R +=A E ,故 A 能对角化。(3 20(1 011=A E 所以 A 的特征值为 121=0010A E =( 122R =A E ,故 A 能对角化。12. 设矩阵 A B ,其中 11120024202033500a =A ,B ,试求 a 。 12. 解:由于 A ,故 ( ( tr tr =A ,即14522a+=+所以 6a =。13. 31a =是矩阵 10212113a =A 的特征向量,试求 a 。13. 解:设 是矩阵 A 的特征值, 为矩阵 A 的属于

12、特征值 的特征向量 . 有=A ,即102331211113a a a =即230233233a a a a +=+=+=解得 0a =。14. 已知 100252241=A ,求 100A 。14. 解:先求 A 的特征值200252(1 (3 0241=A E 所以矩阵 A 的特征值为 1231, 3=对于 121=,000121242000242000 =A E 由于 ( 132R =A E ,故 A 可对角化。解上述方程组得基础解系为12211, 001=对于 33=2001001003222111011244011000 =A E 得基础解系3011=取(123210, , 1010

13、11=P 则有 1(1,1,3diag =P AP ,从而 1=A P P , 1001001=A P P ,即1001100210121010111010113011=A 100210111110111220113121=10010010010010010010013123131322323=+15.已知 3阶矩阵 A 的特征值为 1,-1,0,对应的特征向量分别为1231020, 3, 1121=求矩阵 A 。15.解:因为 A 有 3个不同的特征值,所以 A 可相似对角化,有112311, (, , 0=P AP P 于是11102110203110311210121=A P P 546

14、333768=16.试求正交矩阵 Q ,使得 1AQ Q 为对角矩阵。(1 220212020A =;(2 101020101=A 16. 解:(1=20212022E A 2(4(1(+=故得特征值为 4, 1, 2321=. 当 21=时,由0220232024321=x x x 解得 =2211321k x x x单位特征向量可取 :1322=当 12=时 , 由0120202021321=x x x 解得 =2122321k x x x 单位特征向量可取 :22323=当 43=时 , 由0420232022321=x x x 解得 =1223321k x x x .单位特征向量可取

15、:323=得正交阵 12212123221Q =1200010004Q AQ =(2先求 A 的特征值2101020(2 011=A E 得到 A 的特征值为 1230, 2=对于 10=,1011010020010101000 =A E得基础解系1101=对于 232=,1011012000000101000 =A E 得基础解系23011, 001=注意到 2与 3已经正交,故只需将各向量单位化即可令 31212312300, 1, 00= 以单位正交向量 123, , 为列得正交矩阵00100=Q 使得1022=Q AQ 17. (06设 3阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3, 向

16、量 12(1, 2, 1 , (0,1,1 TT=是线性 方程组 =0Ax 的两个解 .(1求 A 的特征值和特征向量;(2求正交矩阵 Q 和对角矩阵 , 使 T=AQ Q ;17. 解:(1 由题设 A 的行和均为 3,有=1113333111A , 所以, (T1, 1, 13=是 A 的属于特征值 3的特征向量.又 21, 是 0=Ax 的线性无关的两个解,即 21, 是 A 的属于特征值 0的两个线性无关的特征向 量.由此可知,特征值 0的代数重数不小于 2. 综合之, A 的特征值为 0, 0, 3.属于0的特征向量为 2211k k +, 其中 21, k k 是不全为零的常数;属

17、于3的特征向量为 3k ,其中 k 是非零常数.(2将 21, 正交化, 令 11=,=2102112163110 , (, (1111222,单位化(T 1, 2, 11111=, (T 10, 121222=, (T 1, 1, 131333=. 令 =31216131062312161Q , =300,则有 =300AQ Q T. 18. 已知 A 是 3阶实对称矩阵 , 特征值是 3, 6,0, 3=的特征向量是 1(1,1 , 6T a =的特征 向量是 2(, 1,1 Ta a =+, 求矩阵 A 。18. 解:因为 A 是 实对称 矩阵,不同特征值的特征向量相互正交,故12(1

18、10T a a a =+=所以1a =设 0=的特征向量 3123(, , Tx x x =,则31123321300T Tx x x x x =+=+=解出 3(1,2,1 T=由 12312(, , (3, 6, =0A 得1112123360111214(, 2, (, , 300102111360111412=0A 19. 已知矩阵 A B , 200200001, 0001001b a =A B (1求参数 , a b ;(2求正交矩阵 Q ,使得 1AQ Q =B 。解:(1显然, B 的特征值为 2, , 1b ,220001(2(1 01a a =A E 由于 A B ,所以

19、, A B 具有相同的特征值,将 1=代入上式得 0a =,由此可得 A 的特征值为 2, 1,-1,所以 1b =。(2对于 2=,解齐次线性方程组 (2 0A E x =0000002021010012001= A E 得基础解系(T1100=对于 1=,解齐次线性方程组 ( 0A E x =100100011011011000= A E 得基础解系(T2011=对于 1=,解齐次线性方程组 ( +0A E x =300100011011011000+= A E 得基础解系(T3011=123, , 两两正交,只需将其单位化即可得 Q ,10000=Q 使得 1Q AQ =B 。自测题一、

20、填空题(本大题共 5小题,每小题 2分,共 10分1. 矩阵 1111111111111111=A 的非零特征值是 _答案:42. 设 3阶矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3,则矩阵 22=+B A A E 的特征值为 _答案:0, 1, 43.1是 21253112a =A 的特征值,则a =_答案:-44. 设矩阵 A B , A 的特征值为 1111, , , 2345,则 1=B E _答案:245. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量 _答案:正交二、单项选择(本大题共 5小题,每小题 2分,共 10分1. 设 3阶矩阵 A 的特征值为 1, 0,-1, 2( 21f x

21、x x =,则 ( f A 的特征值为( A .-2,-1, 2B .-2,-1,-2C . 2, 1,-2D . 2, 0,-2答案:A2. n 阶矩阵 A 有 n 个不相等的特征值是矩阵 A 可相似对角化的(A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案:A3. 下列命题错误的是(A .属于不同特征值的特征向量线性无关 B .属于同一特征值的特征向量线性相关 C .相似矩阵必有相同的特征值 D .特征值相同的矩阵不一定相似 答案:B4. 设 A 为 3阶矩阵, A 的特征值为 12, ,22,则下列矩阵中可逆的是( A . 2+E A B . 32+E AC . 2+E AD . 2A E答案:B 5. 与矩阵 1203=A 不相似的矩阵是( A . 1023B . 3501C . 1133D . 2112答案:C三、计算(本大题共 6小题,每小题 10分,共 60分1. 求矩阵 111023001=