二次函数导学案.docx

1、二次函数导学案二次函数26.1.1 二次函数认识知识点:一般地,形如_的函数,叫做二次函数。其中x是_,a是_,b是_,c是_.例题1.观察:y6x2;yx230x;y200x2400x200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是_次.一般地,如果yax2bxc(a.b.c是常数,a0),那么y叫做x的_.2.函数y(m2)x2mx3(m为常数).(1)当m_时,该函数为二次函数; (2)当m_时,该函数为一次函数.3.下列函数表达式中,哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数,请指出各项对应项的系数.(1)y13x2 (2)y3x22x (3)yx (x

2、5)2 (4)y3x32x2 (5)yx练习1.y(m1)x3x1是二次函数,则m的值为_.2.下列函数中是二次函数的是( ) A.yx B. y3 (x1)2 C.y(x1)2x2 D.yx3.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s5t22t,则当t4秒时,该物体所经过的路程为（ ） A.28米 B.48米 C.68米 D.88米4.若函数y(a1)x22xa21是二次函数,则( ) A.a1 B.a1 C.a1 D.a15.下列函数中,是二次函数的是( ) A.yx21 B.yx1 C.y D.y6.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球

3、队数n之间的 关系式_.7.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.8.已知二次函数yx2bx3.当x2时,y3,求 这个二次函数解析式.9.已知y与x2成正比例,并且当x1时,y3.求:(1)函数y与x的函数关系式;(2)当x4时,y的值;(3)当y时,x的值.10.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为x m,绿化带的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. 26.1.2 二次函数yax2的图象与性质例

4、题画二次函数yx2的图象.【提示:画图象的一般步骤:列表(取几组x.y的对应值;描点(表中x.y的数值在坐标平面中描点(x,y);连线(用平滑曲线).】x3210123yx2列表:描点,并连线图象可得二次函数yx2的性质:1.二次函数yx2是一条曲线,把这条曲线叫做_.2.二次函数yx2中,二次函数a_,抛物线yx2的图象开口_.3.自变量x的取值范围是_.4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于_对称,从而图象关于_对称.5.抛物线yx2与它的对称轴的交点( , )叫做抛物线yx2的_.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_6.抛物线yx2有_点(填“最

5、高”或“最低”) .知识点:1.抛物线yax2的性质图象(草图)开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a0当x_时,y有最_值,是_.a0当x_时,y有最_值,是_.2.抛物线yx2与yx2关于_对称,因此,抛物线yax2与yax2 关于_对称,开口大小_.3.当a0时,a越大,抛物线的开口越_; 当a0时,a 越大,抛物线的 开口越_;因此,a越大,抛物线的开口越_, 反之,a 越小,抛物线的开口越_.练习开口方向顶点对称轴有最高或低点最值yx2当x_时,y有最_值,是_.y8x21填表:2.若二次函数yax2的图象过点(1,2),则a的值是_.3.二次函数y(m1)x2的图象开口向下,则m_

6、.4.如图,yax2ybx2ycx2ydx2比较a.b.c.d的大小,用“”连接._5.函数yx2的图象开口向_,顶点是_,对称轴是_,当x_时, 有最_值是_.6.二次函数ymx有最低点,则m_.7.二次函数y(k1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为_.8.写出一个过点(1,2)的函数表达式_.26.1.3 二次函数ya(xh)2k的图象与性质例题:画出函数y(x1)21的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.x4321012y(x1)21列表:由图象归纳:1.函数开口方向顶点对称轴最值增减性y(x1)212.把抛物线yx2向_平移_个单位,再向_平移_个单位, 就得到抛物

7、线y(x1)21.知识点yax2ya (xh)2k开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴右侧)2.抛物线ya (xh)2k与yax2形状_,位置_.练习：1.y6x23与y6 (x1)210_相同,而_不同.2.顶点坐标为(2,3),开口方向和大小与抛物线yx2相同的解析式为( )A.y(x2)23 B.y(x2)23 C.y(x2)23 D.y(x2)233.二次函数y(x1)22的最小值为_.4.将抛物线y5(x1)23先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的 解析式为_.5.若抛物线yax2k的顶点在直线y2上,且x1时,y3,求a.k的值.6.若抛物线ya (x1)2k上有

8、一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A的坐标 为_.7.抛物线y3 (x4)21中,当x_时,y有最_值是_.8.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图 表示( ) A B C D9.将抛物线y2 (x1)23向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为_.26.1.4 二次函数yax2bxc的图象例题:1. 求二次函数yx26x21的顶点坐标与对称轴.2.画二次函数yx26x21的图象.(解:yx26x21配成顶点式为_.)x3456789yx26x21列表: 3.用配方法求抛物线ax2bxc(a0)的顶点与对称轴.知识点:yax2

9、ya(xh)2kyax2bxc开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)练习 1.用配方法求二次函数y2x24x1的顶点坐标. 2.用两种方法求二次函数y3x22x的顶点坐标. 3.二次函数y2x2bxc的顶点坐标是(1,2),则b_,c_. 4.已知二次函数y2x28x6,当_时,y随x的增大而增大; 当x_时,y有_值是_.5.用顶点坐标公式和配方法求二次函数yx221的顶点坐标.6.二次函数yx2mx中,当x3时,函数值最大,求其最大值.二次函数yax2bxc的性质例题：1.求二次函数yx23x4与y轴的交点坐标为_,与x轴的交点坐标_.2.二次函数yx23x4的顶点坐标为_,对称轴为_

10、.3.一元二次方程x23x40的根的判别式_.4.二次函数yx2bx过点(1,4),则b_.5.一元二次方程yax2bxc(a0),0时,一元二次方程有_, 0时,一元二次方程有_,0时,一元二次方程_.知识点应用 1.求二次函数yax2bxc与x轴交点(含y0时,则在函数值y0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标).例1 求yx22x3与x轴交点坐标.2.求二次函数yax2bxc与y轴交点(含x0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标). 例2 求抛物线yx22x3与y轴交点坐标. 3.a.b.c以及b24ac对图象的影响.(1)a决定:开口方向.形状 (2)c决定与y轴的交点为(0,c)(

11、3)b与共同决定b的正负性 (4)b24ac例3 如图,由图可得:a_0,b_0,c_0,_0例4 已知二次函数yx2kx9.1 当k为何值时,对称轴为y轴；当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点；当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.练习1.求抛物线y2x27x15与x轴交点坐标_,与y轴的交点坐标为_.2.抛物线y4x22xm的顶点在x轴上,则m_.3.如图:由图可得: a_0,b_0,c_0,b24ac_0 26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式基本练习1.已知二次函数yx2xm的图象过点(1,2),则m的值为_.2.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y4x2bxc上的两点,

12、则这条抛物线的对称轴为_.3.将抛物线y(x1)23先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为_.4.抛物线的形状.开口方向都与抛物线yx2相同,顶点在(1,2),则抛物线的解析式为_.例题例1 已知抛物线经过点A(1,0),B(4,5),C(0,3),求抛物线的解析式.例2 已知抛物线顶点为(1,4),且又过点(2,3).求抛物线的解析式.例3 已知抛物线与x轴的两交点为(1,0)和(3,0),且过点(2,3).求抛物线的解析式.归纳:用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:1.已知抛物线过三点,设一般式为yax2bxc.2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式ya(xh

13、)2k.3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),设两根式:ya(xx1)(xx2) .(其中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)练习1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(2,3),且图像过点(3,2),求这个二次函数的解析式.3.已知二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.4.如图,在ABC中,B90,AB12mm,BC24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边B

14、C向C以4mm/s的速度移动,如果P.Q分别从A.B同时出发,那么PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.26.2 用函数观点看一元二次方程例题：1.问题:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h20t5t2.考虑以下问题:(1)球的飞行高度能否达到15m？如能,需要多少飞行时间？(2)球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？(3)球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4)球从飞出到落地要用多少时间？2.观察图象:(1)二

15、次函数yx2x2的图象与x轴有_个交点,则一元二次方程x2x20的根的 判别式_0;(2)二次函数yx26x9的图像与x轴有_ _个交点,则一元二次方程x26x90的根的判别式_0;(3)二次函数yx2x1的图象与x轴_公共点,则一元二次方程x2x10的根的判别式_0.知识点1.已知二次函数yx24x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程_.反之,解一元二次方程x24x3又可以看作已知二次函数_的函数值为3的自变量x的值.一般地:已知二次函数yax2bxc的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2bxcm.反之,解一元二次方程ax2bxcm又可以看作已知二次函数y

16、ax2bxc的值为m的自变量x的值.2.二次函数yax2bxc与x轴的位置关系:一元二次方程ax2bxc0的根的判别式b24ac.(1)当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴有两个交点;(2)当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴只有一个交点;(3)当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴没有公共点.练习1.二次函数yx23x2,当x1时,y_;当y0时,x_.2.二次函数yx24x6,当x_时,y3.3.如图,一元二次方程ax2bxc0的解为_4.如图一元二次方程ax2bxc3的解为_5.如图填空(1)a_0 (2)b_0 (3)c_0 (4)b24ac_06.特殊代数式求值

17、:如图看图填空: (1)abc_0(2)abc_0 (3)2ab _0如图2ab _0 4a2bc_07.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax2bxc0的根为_;(2)方程ax2bxc3的根为_;(3)方程ax2bxc4的根为_;(4)不等式ax2bxc0的解集为_;(5)不等式ax2bxc0的解集为_;(6)不等式4ax2bxc0的解集为_.检测1.根据图象填空:(1)a_0;(2)b_0;(3)c_0;(4)b24ac_0;(5)abc_0;(6)abc_0;(7)2ab_0;(8)方程ax2bxc0的根为_;(9)当y0时,x的范围为_;(10)当y0时,x的范围为_

18、;2.已知抛物线yx22kx9的顶点在x轴上,则k_.3.已知抛物线ykx22x1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围_.4.已知函数yax2bxc(a,b,c为常数,且a0)的图象如图所示,则关于x的方程ax2bxc40的根的情况是( )A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根 C.有两个相等实数根 D.无实数根5.如图为二次函数yax2bxc的图象,在下列说法中:ac0;方程ax2bxc0的根是x11,x23;abc0;当x1时,y随x的增大而增大.正确的说法有_(把正确的序号都填在横线上).26.3 实际问题与二次函数1. 商品价格调整问题例题某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖

19、出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？分析:调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢？解:(1)设每件涨价x元,则每星期少卖_件,实际卖出_件,设商品的利润为y元. (2)设每件降价x元,则每星期多卖_件,实际卖出_件.训练1.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月份)与市场售价P(元/千克)的关系如下表:上市时间x/(月份)123456市场售价P(元/千克)10.597.564.53这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上

20、市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).(1)写出上表中表示的市场售价P(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式；(2)若图中抛物线过A.B.C三点,写出抛物线对应的函数关系式；(3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？(收益市场售价种植成本)2.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:(1)房间每天入住量y(间)关于x(元)的函

21、数关系式；(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式；(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,w有最大值？最大值是多少？2. （解决桥洞水面宽度问题）例题.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示),其关系式yax2c的形式,请根据所给的数据求出a.c的值;(2)求支柱MN的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三 辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.练

22、习1.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位

23、在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥？若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米？3.最大利润问题例题.1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？若每件衬衫降价x 元时，商场平均每天盈利 y元，写出y与x的函数关系式。练习.1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天