二次函数导学案.docx
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二次函数导学案
二次函数
26.1.1二次函数认识
知识点:
一般地,形如______________的函数,叫做二次函数。
其中x是________,a是_______,
b是_______,c是_____.
例题
1.观察:
①y＝6x2;②y＝－
x2＋30x;③y＝200x2＋400x＋200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是____次.一般地,如果y＝ax2＋bx＋c（a.b.c是常数,a≠0）,那么y叫做x的__.
2.函数y＝（m－2）x2＋mx－3（m为常数）.
（1）当m_____时,该函数为二次函数;
（2）当m_______时,该函数为一次函数.
3.下列函数表达式中,哪些是二次函数？
哪些不是？
若是二次函数,请指出各项对应项的系数.
（1）y＝1－3x2
（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x（x－5）＋2（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋
练习
1.y＝（m＋1）x
－3x＋1是二次函数,则m的值为_________________.
2.下列函数中是二次函数的是（）
A.y＝x＋
B.y＝3（x－1）2C.y＝（x＋1）2－x2D.y＝
－x
3.一定条件下,若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为（）
A.28米B.48米C.68米D.88米
4.若函数y＝（a－1）x2＋2x＋a2－1是二次函数,则（）
A.a＝1B.a＝±1C.a≠1D.a≠－1
5.下列函数中,是二次函数的是（）
A.y＝x2－1B.y＝x－1C.y＝
D.y＝
6.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的
关系式_______________.
7.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
8.已知二次函数y＝－x2＋bx＋3.当x＝2时,y＝3,求这个二次函数解析式.
9.已知y与x2成正比例,并且当x＝－1时,y＝－3.求:
（1）函数y与x的函数关系式;
（2）当x＝4时,y的值;
（3）当y＝－
时,x的值.
10.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
26.1.2二次函数y＝ax2的图象与性质
例题
画二次函数y＝x2的图象.【提示:
画图象的一般步骤:
①列表（取几组x.y的对应值;②描点（表中x.y的数值在坐标平面中描点（x,y）;③连线（用平滑曲线）.】
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
列表:
描点,并连线
图象可得二次函数y＝x2的性质:
1.二次函数y＝x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y＝x2中,二次函数a＝_______,抛物线y＝x2的图象开口__________.
3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（,）叫做抛物线y＝x2的___.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_
6.抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）.
知识点:
1.抛物线y＝ax2的性质
图象（草图）
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a＞0
当x＝____时,y有最___值,是______.
a＜0
当x＝____时,y有最____值,是______.
2.抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称,因此,抛物线y＝ax2与y＝－ax2
关于_______对称,开口大小______.
3.当a＞0时,a越大,抛物线的开口越___________;当a＜0时,｜a｜越大,抛物线的
开口越_________;因此,｜a｜越大,抛物线的开口越________,
反之,｜a｜越小,抛物线的开口越________.
练习
开口方向
顶点
对称轴
有最高或低点
最值
y＝
x2
当x＝____时,y有最_____值,是______.
y＝－8x2
1填表:
2.若二次函数y＝ax2的图象过点（1,－2）,则a的值是___________.
3.二次函数y＝（m－1）x2的图象开口向下,则m____________.
4.如图,①y＝ax2②y＝bx2③y＝cx2④y＝dx2比较a.b.c.d的大小,用“＞”连接.__________
5.函数y＝
x2的图象开口向_______,顶点是_____,对称轴是____,当x＝____时,
有最___值是_____.
6.二次函数y＝mx
有最低点,则m＝_____.
7.二次函数y＝（k＋1）x2的图象如图所示,则k的取值范围为_____.
8.写出一个过点（1,2）的函数表达式_________________.
26.1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
例题:
画出函数y＝－
（x＋1）2－1的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－
（x＋1）2－1
…
…
列表:
由图象归纳:
1.函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－
（x＋1）2－1
2.把抛物线y＝－
x2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,
就得到抛物线y＝－
（x＋1）2－1.
知识点
y＝ax2
y＝a（x－h）2＋k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴右侧）
2.抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状___________,
位置________________.
练习：
1.y＝6x2＋3与y＝6（x－1）2＋10_____________相同,而____________不同.
2.顶点坐标为（－2,3）,开口方向和大小与抛物线y＝
x2相同的解析式为（）
A.y＝
（x－2）2＋3B.y＝
（x＋2）2－3
C.y＝
（x＋2）2＋3D.y＝－
（x＋2）2＋3
3.二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值为__________________.
4.将抛物线y＝5（x－1）2＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的
解析式为____________.
5.若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a.k的值.
6.若抛物线y＝a（x－1）2＋k上有一点A（3,5）,则点A关于对称轴对称点A’的坐标
为______________.
7.抛物线y＝－3（x＋4）2＋1中,当x＝_______时,y有最________值是________.
8.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）
ABCD
9.将抛物线y＝2（x＋1）2－3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为______________.
26.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
例题:
1.求二次函数y＝
x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴.
2.画二次函数y＝
x2－6x＋21的图象.（解:
y＝
x2－6x＋21配成顶点式为_______________________.）
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
x2－6x＋21
…
…
列表:
3.用配方法求抛物线ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴.
知识点:
y＝ax2
y＝a（x－h）2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴左侧）
练习
1.用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标.
2.用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标.
3.二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1,－2）,则b＝________,c＝_________.
4.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当________时,y随x的增大而增大;
当x＝________时,y有______值是_____.
5.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝
x2－2－1的顶点坐标.
6.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
例题：
1.求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________,与x轴的交点坐标____________.
2.二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________,对称轴为______________.
3.一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________.
4.二次函数y＝x2＋bx过点（1,4）,则b＝________________.
5.一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,△＞0时,一元二次方程有_______________,
△＝0时,一元二次方程有___________,△＜0时,一元二次方程_______________.
知识点应用
1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时,则在函数值y＝0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）.
例1求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）.
例2求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标.3.a.b.c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
（1）a决定:
开口方向.形状
（2）c决定与y轴的交点为（0,c）
（3）b与－
共同决定b的正负性（4）△＝b2－4ac
例3如图,由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△______0
例4已知二次函数y＝x2＋kx＋9.
1当k为何值时,对称轴为y轴；
②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
练习
1.求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.
2.抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上,则m＝__________.
3.如图:
由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△＝b2－4ac______0
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
基本练习
1.已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1,2）,则m的值为________________.
2.已知点A（2,5）,B（4,5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____________________.
3.将抛物线y＝－（x－1）2＋3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为___________.
4.抛物线的形状.开口方向都与抛物线y＝－
x2相同,顶点在（1,－2）,则抛物线的解析式为_______________.
例题
例1已知抛物线经过点A（－1,0）,B（4,5）,C（0,－3）,求抛物线的解析式.
例2已知抛物线顶点为（1,－4）,且又过点（2,－3）.求抛物线的解析式.
例3已知抛物线与x轴的两交点为（－1,0）和（3,0）,且过点（2,－3）.求抛物线的解析式.
归纳:
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:
1.已知抛物线过三点,设一般式为y＝ax2＋bx＋c.
2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y＝a（x－h）2＋k.
3.已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标）,
设两根式:
y＝a（x－x1）（x－x2）.（其中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
练习
1.已知二次函数的图象过（0,1）.（2,4）.（3,10）三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2,－3）,且图像过点（－3,－2）,求这个二次函数的解析式.
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C（0,3）,求二次函数的顶点坐标.
4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P.Q分别从A.B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？
写出函数关系式及t的取值范围.
26.2用函数观点看一元二次方程
例题：
1.问题:
如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h（单位:
m）与飞行时间t（单位:
s）之间具有关系h＝20t－5t2.
考虑以下问题:
（1）球的飞行高度能否达到15m？
如能,需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？
如能,需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？
为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
2.观察图象:
（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点,
则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△_______0;
（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___个交点,
则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△_____0;
（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点,
则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0.
知识点
1.已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值.
一般地:
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反之,解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系:
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式
△＝b2－4ac.
（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;
（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点;
（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.
练习
1.二次函数y＝x2－3x＋2,当x＝1时,y＝________;当y＝0时,x＝_______.
2.二次函数y＝x2－4x＋6,当x＝________时,y＝3.
3.如图,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________
4.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________
5.如图填空
（1）a________0
（2）b________0
（3）c________0（4）b2－4ac________0
6.特殊代数式求值:
①如图看图填空:
（1）a＋b＋c_______0
（2）a－b＋c_______0
（3）2a－b_______0
②如图2a＋b_______04a＋2b＋c_______0
7.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________;
（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________;
（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________;
（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________;
（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________;
（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________.
检测
1.根据图象填空:
（1）a_____0;
（2）b_____0;（3）c______0;
（4）△＝b2－4ac_____0;（5）a＋b＋c_____0;
（6）a－b＋c_____0;（7）2a＋b_____0;
（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________;
（9）当y＞0时,x的范围为___________;
（10）当y＜0时,x的范围为___________;
2.已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上,则k＝____________.
3.已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.
4.已知函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c为常数,且a≠0）的图象如图所示,则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（）
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
5.如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象,在下列说法中:
①ac＜0;②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3;③a＋b＋c＞0;
④当x＞1时,y随x的增大而增大.正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）.
26.3实际问题与二次函数
1.商品价格调整问题
例题
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢？
解:
（1）设每件涨价x元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润为y元.
（2）设每件降价x元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件.
训练
1.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表:
上市时间x/（月份）
1
2
3
4
5
6
市场售价P（元/千克）
10.5
9
7.5
6
4.5
3
这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段（如图）.
（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；
（2）若图中抛物线过A.B.C三点,写出抛物线对应的函数关系式；
（3）由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？
最大值为多少？
（收益＝市场售价－种植成本）
2.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:
（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,
w有最大值？
最大值是多少？
2.（解决桥洞水面宽度问题）
例题.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示）,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示）,其关系式y＝ax2＋c的形式,请根据所给的数据求出a.c的值;
（2）求支柱MN的长度;
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带）,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？
请说说你的理由.
练习
1.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4
米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4
米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,
水CD的宽是10m.
（1）建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急通知:
前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行）.试问:
如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥？
若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米？
3.最大利润问题
例题.
1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：
每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。
①若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②若每件衬衫降价x元时，商场平均每天盈利y元，写出y与x的函数关系式。
练习.
1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：
这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天
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