数学的考え方4.docx

1、数学的考方4数式指導数指導教科書：文部科学省編中学校学習指導要領(平成10年12月)解説数学編大阪書籍中学校導入数種類小学校：自然数，分数（新指導要領分数計算軽減）中学校：負数，整数（正負整数），無理数（平方根扱，現行指導要領，有理数無理数用語中学校使，高校移行。，発展的内容導入可能，教科書復活）高校：有理数，無理数，実数，虚数，複素数負数負数拡張負数数拡張仕方(1)新符号+,-数考，今数正数，a+a同一視。(2)新数負数導入。，今数計算仕方新定正数負数算数数正数 負数意味符号数意味種状態表記号導入具体的意味：温度，海抜，利益損失，直線方向位置，直線方向運動。負数，正数反対状態表。数学的意味：

2、負数，加法関正数逆元数直線原点正数負数，反対側位置点符号数量，正数負数反対向量負数演算計算，操作対象数。加法減法指導指導例利用正負数大向量（）。但，向次元。加法：和，。（注意：矢線，矢印同値類，原点始点必要。位置同値類代表元）ba0a + b減法：大学数学，（可換）体（，field）構造集合数拡張加法乗法定義集合K，以下性質成立，K体（，field）：(I)加法関,可換群。 (II)加法乗法間分配法則成立。 (III)加法関単位元（零元）除、乗法関可換群。(可換群，代数系(G,)対、以下条件成立言。 ()結合法則成立。 ()単位元存在。 ()逆元存在。()交換法則成立加法単位元。a + a =

3、 0aa逆元，数学的，減法加法逆元帰着。a加法逆元 -a 符号，演算記号，大学数学，a - b : = a + (-b)定義。例，3 - (-5) = 3 + (- (-5)，- 5逆元，3 + (- (-5)= 3 + 5， 3 - (-5) = 8結論 ，中学校，a - b = a + (-b)（減法，符号変加）事例帰納展開普通。，中学数学群逆元概念前提小学校算数学習引算概念意味拡張，定義。小学校算数減法意味(1)求残集（）中，一部集（）取去，集（）中身(大)減少場合。個。人個食。残何個。(2)求差同時存在集（）比較，違考場合。校庭男子人，女子人。何人多。(3)加法逆演算（正）-（正）例：

4、(+5) - (+2)求(+5) - (+2) = x 。方程式習，移項考方使。加法逆演算引算意味，(+5) - (+2)求，x +(+2) = (+5) x 求同等考。+2引- x -+2足x(+3)条件満，図見。従，(+5) - (+2) = +3。（条件満唯一前提），図，+3 = (+5) + (-2)確認，(+5) - (+2) = (+5) + (-2)結論。（正）-（負）例：(+5) - (-2)求(+5) - (-2) = x 。加法逆演算引算意味，(+5) - (-2)求，x +(-2) = (+5) x 求同等考。x(+7)条件満，図見。従，(+5) - (-2) = +7。

5、，図，+7 = (+5) + (+2)確認，(+5) - (-2) = (+5) + (+2)結論。（図省略）指導例加法減法大小関係表考利用正負数演算，状態表。例，5 + (-2)，(-2)大数表考。，(-2)大，2小解釈（(-2)符号後大作用，反対意味小変），5 + (-2) = 5 - 2 = 3結論。同様，5 - (-2)，(-2)小数表考。，(-2)小，2大解釈，5 - (-2) = 5 + 2 = 7結論。乗法除法指導乗法，同数累加考方外挿普通。交換法則前提。（負）（正）：(-2) x 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6（加法帰着）。（正）（負）：交換法則，3 x

6、 (-2) = -6導。課題（：）生涯私数学偽善不可能、少年単純数学応用科学思。、（）（）（）誰説明、。量人借金考、借金借金、財産。疑問答，論分間個別，周話合自分答後，自発的発表募誰申出，受講票選指名，黒板前発表後，発表議論時間複数発表聞発表，中学生，間違構教員目指発表練習必要伝発表者拍手送発表者名記録，評価利用負数同士乗法理解知前述，日常言語，正負損得概念対応，利益財産正数，損失借金負数表，負数同士乗法，損失損失利益借金借金財産意味，理不尽，非難損失損失借金借金話，加法的理解乗法的理解混同損失損失重借金借金重，結末大損失借金地獄，重行為足算同繰返加，乗法，（単位量）（量分（何倍）形式，被乗数

7、乗数意味違借金借金負数同士乗法説明仕方，符号演算記号混同来混乱多，（）（），算数同考，3回足解釈加法使計算，（）（）？中学校先生，（），3回引解釈，以下対応考：記号表現記号内容（）（） - 3回足（）（）（） - 3回引，3回引，何引？先生，引解釈（），始式書，苦説明符号（）演算引全別結苦心結果，混同先損得関乗法，（単位量）（量分（何倍）意味合修正被乗数扱数量，財産，乗数，財産取得回数，場合負数意味，正数意味反対考，次決：被乗数乗数財産取得回数負債放出回数，（）（），億円負債三回手放解釈，金銭的，億円財産得同効果，計算結果，（）納得例数（負）（負）：(-2) x 3 = -6 (-2) x 2

8、 = -4 (-2) x 1 = -2 (-2) x 0 = 0右辺2増，(-2) x (-1) = 2, (-2) x (-2) = 4導。，負数負数算，絶対値同士正符号付，。図示場合図示，整数以外数予想 - - - -例倍(+1) x (+3)算，初項量，後項量，算，倍操作捉，(+1) x (+3)，(+1)，矢印向倍考+1 - (+1)x (+3) -(+1) x (-3)，(+1)，矢印反対向倍考(+1) x (-3) -，数直線，負数作行考方，(+1) x (-3)，(-3)，実際，(+1) x (-3) = (-3) x (+1) = (-3)初負数，(-2) x (3)，(-2)

9、，矢印向倍，-6得(-2) x (-3)，(-2)，矢印反対向倍，+6得例移動考（東京書籍年）東西一直線道路歩場合。東移動正数，西移動負数表。毎分60m速東向分間歩。現在位置，現在分後数直線上図東300m移動。，(+60)x(+5) = +300。現在分前数直線上図西300m移動。，(+60)x(-5) = -300。今度西向毎分60m速歩。毎分-60m速歩考。現在分後数直線上図西300m移動。，(-60)x(+5) = -300。現在分前数直線上図東300m移動。，(-60)x(-5) = +300移動。例分配法則前提(-1) x (+3) + (-2) = (-1) x (+3) + (-

10、1) x (-2)左辺，(-1) x (+1) = -1右辺，(-3) + (-1) x(-2)従，(-3) + (-1) x(-2)-1，(-1) x(-2) = +2，0 =(-1)x0 = (-1)x(1 + (-1) )=(-1)x1 + (-1)x(-1) =-1 +(-1)x(-1)(-1)左辺移項，1 = (-1)x(-1)，形式不易原理従。形式不易原理(1791-1858)，(1839-1873)数学，数学史研究指摘。数拡張，自然数成立計算法則結合法則( a + b ) + c = a + (b + c )(ab)c = a (bc)交換法則a + b = b + aa b =

11、 b a分配法則a (b + c) = a b + a c，新拡張広範囲数成立数構成。平方根平方根導入現行指導要領，有理数無理数用語中学校使，高校移行無理数存在：数学史，古代学派，図形（正方形正五角形）辺長対角線長比調中発見。Irrational number呼，理ratio（比）指。万物数思想学派，事柄整数比表。図形辺長対角線長比整数比表期待。不可能自発見，学派思想的危機導。平方根：中学校年生導入。二次方程式解必要。無理数現。例，x2 = a 解，乗a数考。a = 4, 9, 16解見。，a = 2場合，問題現設定導入。平方根存在保証：面積正方形一辺長：面積正方形作方書。辺長正方形隣合辺中点

12、線分結正方形利用。日本欧州製紙関規格，A版，B版規格使。規格沿用紙，等分用紙形相似作。，B5版，B4版相似，面積半分逆，B4版B5版2倍面積機，縦方向横方向拡大縮小倍率設定通常，縦方向横方向等倍率拡大縮小行 B5版絵B版拡大，面積比：相似比2乗倍，相似比，：2，拡大倍率2100，約141設定実際，短辺長，長辺長平方根。，相似中学校3年学習，平方根学習時期例授業利用難2平方根無理数証明：通常，背理法（間接証明法）用。関連話題：黄金比（名付）英語小説大切紙枚用意。片方紙，短辺一辺正方形切取。残紙片，残紙相似（重合対角線揃確認）。，短辺長長方辺長，（+5）/（1.618)，横縦長比黄金比：（+5）/

13、。比，最美長方形芸術用他，様，350 ml缶部分粉缶正面図。平方根近似値：現在安電卓。平方根意味理解，2値求，21.42乗1.5乗間，1.41乗1.42乗間，等確認逐次近似大切。電卓機能利用。平方根含式計算：和差，例，2 + 35生徒。簡単傾向。数値比，両者乗違導。有理数無理数関係：小数表現特徴。有理数，分数表，循環小数。無理数表小数，循環。例，0.202002000200002。式指導課題問次問題，西暦400年頃中国算術書孫子算経問題（鶴亀算）：入。頭合35、足合94。何羽、何羽問題、方程式使解方法以上示。解 中国古書鶴亀算解法，(1)足数割。(2)頭数引。、数。(3)数頭数引。数記。1 羽

14、，羽，表作方仮定，足，本94，本少本，本足多，羽代一匹，足本増本増，匹必要，羽仮定，足，140本，94本，本多，2本足少，46本減，羽必要問2中国九章算術下記問題（旅人算）方法解：，甲長安出発5日斉至，乙斉出発7日長安至甲長安出発2日前乙斉出発，（甲出発）何日出会長安斉間距離知，解判明文字式構成要素例：半径花壇周囲幅1道道面積S表S = (r + 1)2 r2数表記号数字 ：0, 1, 2, .，特定数表記号：文字（記号）：a, b, c, A, B, C ，文字，漢字使可能，西洋代数学発展歴史的経緯，使演算表記号四則演算記号，。関係表記号，括弧（）文字役割定数表特定定数任意定数関数係数，関数

15、関係表式中変数異定数表一般数数一般的表例交換法則長方形面積公式未知数表未知定数表方程式変数関数関係表式様値。注意点任意定数変数関数関係場面相対的決。一次関数変数，任意定数相対的。代入操作文字特定数値。未知数変数関係方程式関数的見方，変数含等式。，未知数変数。例，関数一定値。文字自由性任意定数，一般数，未知数，変数表文字，見方応自由変。長方形面積一般数，変数見。文字式種類（言語類比分類数学的表現日常言語省略表現起源自然分類）型（数学的対象，演算手続，演算結果表）：文節類似様関係記号含型（数学的命題表）：文類似関係記号含。型式同士関係表文字式効用簡潔表現。事象中数量関係法則抽出表現。新加。表現，等要素捨象。一般的関係手続表現。公式作。例：交換法則，結合法則，分配法則展開，因数分解公式(a + b)2 = a2 +2ab + b2日常表，最初数二番目数和平方，最初数平方，最初数二番目数積倍，二番目数平方三者和等。以下見操作対象新応用進。数量関係法則操作対象。単表，数学科教育法長科目名数教法省略簡潔変。数学的操