二重积分学习总结.docx

1、二重积分学习总结高等数学论文二重积分学习总结姓名：徐琛豪班级：安全工程 02班学号：1201050221完成时间： 2013年6月2日二重积分【本章学习目标】理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联 系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限， 如何改换二次积分的积分次 序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。 熟练掌握直角坐标系和极坐标系 下重积分的计算方法。掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。1二重积分的概念与性质1二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，

2、 必须首先引入二重积分的两个 “原型”，一个是几何的“原型”曲顶柱体的体积如何计算，另一 个是物理的“原型”平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出 发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意” ，一 是将区域 D 成 n 个小区域 1, 2,L , n 的分法要任意，二是在每个 小区域 i 上的点 ( i, i) i 的取法也要任意。有了这两个“任意” ，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值 0 时总有同一 个极限，才能称二元函数 f(x, y)在区域 D 上的二重积分存在。2明确二重积分的几何意义。(1) 若在 D 上 f (x

3、,y) 0，则 f (x,y)d 表示以区域 D 为底，以Df ( x, y)为曲顶的曲顶柱体的体积。 特别地，当 f (x, y)1 时， f (x, y)dD 表示平面区域 D 的面积。(2) 若在 D上 f(x, y) 0，则上述曲顶柱体在 Oxy面的下方，二重 积分 f (x, y)d 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积D(3)若 f(x,y)在 D的某些子区域上为正的， 在 D的另一些子区域上 为负的，则 f (x,y)d 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即 D在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体的体 积).3二重积分的性质，即线性、区域可

4、加性、有序性、估值不等 式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。 有序性常用于比较两个 二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围， 在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 f(x,y) 在闭区域 D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值， 再应用估值不等式得到取值范围。【主要概念梳理 】1.二重积分的定义 设二元函数 f(x,y)在闭区域 D 上有定义且有 界.分割 用任意两组曲线分割 D 成 n 个小区域 1, 2,L , n，同 时用 i 表示它们的面积， i 1,2,L , n.其中任意两小块 i 和 j(i j)除边界外无公共点。 i既表示第

5、 i 小块,又表示第 i小块的面积 .n近似、求和 对任意点 ( i, i) i ,作和式 f ( i, i) i.i1取极限 若 i为 i 的直径，记 max 1, 2,L , n ,若极限lim0 f( i , i) i 0i1存在，且它不依赖于区域 D 的分法，也不依赖于点 ( i , i) 的取法，称 此极限为 f(x,y)在 D 上的二重积分 . 记为nf(x, y)d lim0 f ( i , i).D 0 i 1称 f(x,y)为被积函数， D为积分区域， x、y为积分变元， d 为面积微元 (或面积元素 ).2.二重积分 f(x, y)d 的几何意义D(1)若在 D 上 f(x

6、,y)0，则 f (x,y)d 表示以区域 D 为底，以 f(x,y) D为曲顶的曲顶柱体的体积 .(2)若在 D 上 f(x,y)0，则上述曲顶柱体在 Oxy面的下方，二重 积分 f (x, y)d 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积D(3)若 f(x,y)在 D 的某些子区域上为正的，在 D 的另一些子区域上 为负的，则 f (x,y)d 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即 D在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体的体 积).3二重积分的存在定理3.1 若 f(x,y)在有界闭区域 D 上连续，则 f(x,y)在 D 上的二重积分 必存在 (即 f

7、(x,y)在 D 上必可积 ).3.2 若有界函数 f(x,y)在有界闭区域 D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则 f(x,y)在 D 可积.4二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质 .假设下面各性质中所涉及的函 数 f(x,y)，g(x,y)在区域 D 上都是可积的 .性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积， 且函数代数和的积 分等于各函数积分的代数和，即 f (x,y) g( x, y)d f (x, y)d g(x,y)d .D D D性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即kf ( x, y)d k f (x, y)d (k为常数).DD性质 3 若 D 可

8、以分为两个区域 D1,D2，它们除边界外无公共点， 则f (x,y)d f (x, y)d f (x,y)d .D D1 D2性质 4 若在积分区域 D上有 f(x,y)=1，且用 S(D)表示区域 D 的 面积，则d S(D).D性质 5 若在 D 上处处有 f(x,y) g(x,y)，则有f ( x, y)d g( x, y)d .DD推论 f (x, y)d f(x,y) d .DD性质 6(估值定理 ) 若在 D上处处有 mf(x,y)M，且 S(D)为区域D 的面积，则mS(D) f (x, y)d MS(D).D性质 7(二重积分中值定理 ) 设 f(x,y)在有界闭区域 D 上连

9、续， 则在 D上存在一点 ( , ) ,使数学思想方法】D二重积分是一元函数定积分的推广与发展， 它们都是某种形式的 和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积 分的概念与性质。2在直角坐标系中二重积分的计算本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定 X型区域还是 Y 型区域，这 也是本章的难点。直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)在定积分计算中，如果 D 的形状不能简单地用类似 1(x) y 2(x) 或 1(y) x 2(y)的形式来表示，则我们可以将 D a x b c y d分成若干块，并由积分性质f(x,y)

10、d f(x,y)d f(x, y)d .D D1 D2对右端各式进行计算。(2)交换积分次序不仅要考虑到区域 D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难， 若交换积分次序后， 由于累次积分的积分函数 (一元积分 )形式发生变化，可能会使新的积 分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对 x 积分，再对 y 积分，还是先对 y 积分，再对 x积分最终计算的结果应 该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域 D，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。 具体步骤如下： 确定 D 的边 界曲线，画出 D 的草图；2求出 D 边界曲线的交点坐标；3

11、将 D的边界曲线表示为 x或 y的单值函数；4考虑是否要将 D 分成几块；5用 x,y 的不等式表示 D.注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容： ()保证 各层积分的原函数能够求出； ()若 D为 X型(Y型),先对 x(y)积分；() 若 D既为 X型又为 Y型，且满足 ()时，要使对 D 的分块最少。(3)利用对称性等公式简化计算设 f(x,y)在区域 D 上连续，则1当区域 D 关于 x轴对称若 f (x, y) f (x, y)，则 f (x,y)d 0；D若 f(x, y) f(x,y)，则 f (x, y)d 2 f(x,y)d ，其中 D1为 D在 D D1x 轴上方部

12、分。2当区域 D 关于 y轴对称若 f ( x, y) f (x, y)，则 f (x,y)d 0；D若 f( x,y) f(x,y)，则 f (x, y)d 2 f(x,y)d ，其中 D2为 D 在 D D2y 轴右侧部分。3当区域 D关于 x轴和 y 轴都对称若 f ( x, y) f (x, y)或 f (x, y) f (x,y)，则 f(x,y)d 0；D若 f(x, y) f( x,y) f(x,y)，则 f (x, y)d 4 f (x,y)d ，其中 D1为D D1D 在第一象限部分4轮换对称式设 D关于直线 y x对称，则 f (x,y)d f (y, x)dDD 主要概念

13、梳理 】直角坐标系中二重积分计算当被积函数 f(x,y) 0且在 D上连续时,说明 :若积分区域既是 X型区域又是 Y型区域 , 则有b 2(x) dD f(x,y)dxdy adx (x) f ( x, y)d y c dy3在极坐标系中二重积分的计算极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函 数为 f (x2 y2),f(y), f ( x )等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。 xy【主要概念梳理 】利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下 , 用同心圆 r=常数及射线 ? =常数, 分划区域 D 为 k (k 1,2,L ,

14、n)。则 f(x,y)d f(r cos ,rsin )rdr d特别地若 D: 1()r2( ),则有 f (r cosD,rsin)r dr d2( )d f (r cos1( ),rsin)r dr若 D: 0r()则有 f (r cosD,rsin)rdrd()d f(r cos0,rsin)rdr0若D:r()02则有 f (r cosD,rsin)rdrd2 ( )d f (r cos00,r sin)rdr9.4 二重积分的应用二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。 几何应用之一是求 曲线所围成的面积， 应用之二是求曲面所围成的立体的体积； 物理应 用主要是平面薄片的质量。【主

15、要概念梳理 】(1) 空间立体的体积 V 设空间立体 由曲面 1 : z f(x, y) 与 2 : z g(x, y) 所围成， 在xoy面投影为平面区域 D，并且 f (x, y) g(x, y).则V f (x, y) g (x, y)d 或V dv.D(2)曲面面积 S设光滑曲面在 xoy 面上的投影区域同理可得：设光滑曲面 为 : x x(y,z) ，则 S 1 xy2 xz2 dydz ，Dyz其中 Dyz为 在 yoz面上的投影区域。设光滑曲面 为 : y y(x,z)，则S 1 yx2 y z2 dxdz ，其中Dxz为Dxz在 xoz 面上的投影区域。(3)平面薄片的质量设平面薄片的面密度为 (x, y) ，物体所占区域为 D，则它的质量为 m (x, y)d ，其中 dm (x, y)d , 称为质量元素。D