初中几何最值问题.docx

1、初中几何最值问题初中几何最值问题XX：_指导：_日期：_几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。纲举则目X，执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：定点到定点：两点之间，线段最短；定点到定线：点线之间，垂线段最短。由此派生：定点到定点

2、：三角形两边之和大于第三边；定线到定线：平行线之间，垂线段最短；定点到定圆：点圆之间，点心线截距最短（长）；定线到定圆：线圆之间，心垂线截距最短；定圆到定圆：圆圆之间，连心线截距最短（长）。余不赘述，下面仅举一例证明：定点到定圆：点圆之间，点心线截距最短（长）。已知O半径为r，AO=d，P是O上一点，求AP的最大值和最小值。证明：由“两点之间，线段最短”得APAO+PO，AOAP+PO，得d-rAPd+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。上面几种是解决

3、相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。（一）直接包含基本图形。例1.在O中，圆的半径为6，B=30，AC是O的切线，则CD的最小值是 。简析：由B=30知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CDAC时最短为3。（二）动点路径待确定。例2.，如图，在AB

4、C中，ACB=90，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值是。简析：A是定点，B是动点，但题中未明确告知B点的运动路径，所以需先确定B点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-BC=1。例3.在ABC中，AB=AC=5，cosABC=3/5，将ABC绕点C顺时针旋转，得到ABC，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F，求线段EF长度的最大值与最小值的差。简析：E是定点，F

5、是动点，要确定F点的运动路径。先确定线段AB的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F是AB上任意一点，因此F的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2。（三）动线（定点）位置需变换。线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”。例4.如图，AOB=30，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP=6，当PMN的周长最小值为 。简析：动线段（或

6、定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图，把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，PMN的周长转化为P1M+MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径，得PMN的周长最小值为线段P1P2OP6。例5.如图，在锐角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MNBM+MN，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BNAC时，最小值为22。【平移变换类】典型问题：“造桥选址”。例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A到定点B的最短路径。如下图：